엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학 검색 결과

63 개의 검색 결과가 있습니다.

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

복합보의 굽힘 - 보강 콘크리트 보(Reinforced Concrete Beams)

5. 보강 콘크리트 보 (Reinforced Concrete Beams) 이번에는 보강된 콘크리트 보를 생각해 보자. 앞서 말했듯이 콘크리트는 인장이 취약하기 때문에 인장이 발생할 것으로 예상되는 부분에 철근을 삽입하기로 한다. 이를 아래 그림에 나타냈다. 중립축의 위치를 $k$를 이용해 나타냈다. 여기에서 $n$은 철근의 개수이고 $d$는 철근의 지름이다. 따라서 철근의 단면적 $A_s$와 콘크리트의 단면적 $A_c$는 다음과 같다. \begin{align} A_s &= n\cdot\frac{pi}{4}d^2 \\\\ A_c &= bh \end{align} 단면적의 아랫첨자를 그대로 써서 철근의 영률을 $E_s$, 그리고 콘크리트의 영률을 $E_c$라고 한다. 중요한 가정은 모든 인장력은 철근이 부담한..

2023. 7. 13. 23:41

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

복합보의 굽힘 - 변환 단면법(Transformed Section Method)

4. 변환 단면법 (Transformed Section Method) 어떤 복합보와 같은 거동(곡률)을 하는 단일 재료 보를 상상해보자. 같은 외력을 버터야 하므로 두 보의 내력은 같아야 한다. 단면에서 영률이 다른 부분은 같은 내력을 갖기 위해 면적이 다를 것이다. 일단 어떻게든 곡률을 구하기만 하면 각 영역의 응력은 원래대로 계산하기만 하면 된다. 곡률을 안다는 것은 변형률을 안다는 것이므로 응력 또한 알 수 있기 때문이다. 이렇게 내력이 같도록 단면의 치수를 변환하는 것을 변환 단면법, 또는 등가 단면법(equivalent section method)라고도 한다. 4.1. 굽힘 변형률 (Bending Strain) 곡률이 일정하다는 가정이 동일하므로 굽힘 변형률은 연속이다. $$ \varepsilo..

2023. 7. 13. 21:27

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

복합보의 굽힘 (Bending of Composite Beams)

1. 복합보 (Composite Beams) 복합보는 단면이 두 가지 이상의 재료로 구성된 보를 말한다. 지금까지는 단일 재료로 구성된 보만을 다뤘으나 실제로는 재료의 단점을 보완하기 위해 여러 재료로 구성된 복합보를 이용하는 경우가 종종 있다. 복합보를 다루는 방법으로는 이론적인 방법과 변환 단면법(transformed section method) 등이 있다. 대표적인 예가 요즘 부실 시공으로 논란인 철근 콘크리트이다. 심심하니까 철근 콘크리트에 대해 살짝 알아보자. 콘크리트는 단단한 바위를 시공 현장에서 설계자의 요구대로 성형할 수 있다는 장점이 있어 고대 로마시대부터 꾸준히 쓰여온 재료이다. 다만 콘크리트는 기본적으로 취성재이기 때문에 압축에는 아주 강하지만 인장에는 취약하다는 단점이 있다. 이것을..

2023. 7. 13. 20:13

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

소성 굽힘 (Plastic Bending)

1. 소성이 발생한 보 굽힘 하중을 받는 보의 변형이 탄성 영역에 있을 때는 아래와 같은 수직 응력과 굽힘 모멘트 사이의 관계를 이용했다. $$ \sigma_x = -\frac{M}{I}y $$ 이제부터는 보에 큰 굽힘 하중이 작용하여 소성이 발생하는 경우를 생각해 보자. 위 식을 보면 보가 굽힘 하중을 받을 때 최대 응력이 발생하는 부분은 가장 바깥쪽이다. 만약 응력이 항복 강도에 도달하게 되면 가장 바깥쪽부터 소성이 발생하기 시작하고 하중이 커질수록 점차 내부로 소성 영역이 전파할 것이라는 것을 짐작할 수 있다. 2. 재료와 경도 일반적인 탄소성 재료는 대체로 탄성 구간 이후에 응력 변형률 선도가 완만하게 증가한다. 이 구간에서 제하(unloading)를 하면 탄성구간의 기울기를 따르면서 변형이 회복..

2023. 1. 8. 16:17

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

일반 굽힘(General Bending)

1. 일반 굽힘 (General Bending) 지금까지는 길이 방향이 $x$방향인 보에 굽힘 모멘트 $M_z$만 작용하는 단축 굽힘에 대해서만 다뤘으나 3차원 보에는 그림 2처럼 굽힘 모멘트 $M_y$도 작용할 수 있다. 실제 보는 두 방향의 모멘트를 동시에 견디는 것이 일반적이기 때문에 이런 경우 보에 작용하는 응력 상태와 굽힘 거동에 대해 알아볼 필요가 있다. 이런 경우를 이축 굽힘(double axes bending)이라 한다. 또한 지금까지는 굽힘 응력을 다룰 때 단면이 대칭인 경우만을 다뤘으나 단면이 비대칭인 경우를 생각해볼 필요가 있다. 이런 경우를 비대칭 굽힘(unsymmetric bending)이라고 한다. 앵글이나 채널 단면이 대표적인 비대칭 단면이며 이런 경우에는 중립면(neutral..

2022. 12. 30. 22:17

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

전단 중심 (Shear Center)

1. 전단 중심 (Shear Center) 1.1. 전단 중심 전단 중심이란 단면에 비틀림이 발생하지 않도록 전단력이 작용해야할 위치를 말한다. $$ \sum M_x = 0 $$ 대칭 중실 단면(solid section)은 도심이 전단 중심이다. 도심을 향해 하중을 작용하면 굽힘만 발생할 것이다. 폐단면의 경우에도 대칭인 경우에는 도심이 전단 중심이 된다. 위 두 경우에서 하중이 단면의 도심을 향해 작용한다면 부재는 비틀림 없이 굽힘만 발생하게 된다. 그러나 대칭이 아닌 단면의 경우에는 도심을 향해 하중이 작용할 경우 부재가 비틀어지게 된다. 비대칭 개단면의 전단 중심은 그림 3과 같다. 대칭인 축은 도심과 일치하지만 비대칭인 축은 전단 중심의 위치가 도심과 다르다. 이런 경우 구조물에 굽힘과 비틀림이 ..

2022. 12. 30. 20:04

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

전단 흐름 (Shear Flow)

1. 두께가 얇은 단면 (Thin-walled Section) 어떤 가늘고 긴 부재가 비틀림이나 굽힘을 받을 때 무게 대비 효율을 최대하는 방법은 속을 비우는 것이다. 비틀림에서는 도심에서 멀수록 큰 토크를 감당하고 도심 부근에서는 토크를 거의 부담하지 않기 때문에 파내도 된다. $$ \tau = \frac{T}{I_p}r $$ 굽힘에서는 재료가 도심에서 멀리 퍼져있을 수록 단면 2차 모멘트가 커져 굽힘 강성이 증가하므로 유리하다. 따라서 굽힘 강성에 영향이 미미한 내부를 파내는 것이 좋다. 무게가 줄면 자중에 의한 처짐도 줄고 운송도 쉬워진다. 이런 장점이 내부를 파내서 발생하는 강성의 손실보다 크다고 할 수 있다. $$ \sigma = -\frac{M}{I}y $$ 이런 이유로 구조물을 설계할 때 단..

2022. 12. 23. 21:16

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

보에 작용하는 전단 응력 (Shear Stress in Beams)

1. 순수 굽힘과 전단력 우리가 처음 보의 굽힘 거동을 다룰 때 순수 굽힘(pure bending)을 알아본 적이 있다. 순수 굽힘 상태의 보는 모멘트에 의해서 휘고 보에 작용하는 전단력은 무시했다. 순수 굽힘은 외력 모멘트만 작용하는 상태이고 내력 모멘트가 휨이 발생하는 구간에서 일정(constant)하다는 것을 기억해야 한다. 보에 작용하는 외력이 모멘트뿐이니 전단력도 없고 따라서 전단 응력도 없다. 심심할 때 보에 모멘트를 주고 분할법으로 보의 내력 선도를 그려보자. 그런데 지금까지 외팔보에 외력 $P$를 작용하면 휜다는 예제를 많이 풀었으니 이게 무슨 소리인지 잠깐 어지러울 수 있다. 물론 전단력이 작용할 때도 당연히 보는 휘어지지만 이 때는 순수 굽힘이 아니다. 그렇다면 보에 전단력만이 작용할 ..

2022. 2. 5. 21:42

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

내력의 선도-특이함수법(Singular Function Method)

4. 특이함수법(Singular Function Method) 지금까지 분할법을 이용해 보에 작용하는 내력을 구하거나 직접 적분법을 이용해 내력을 구했다. 분할법을 이용하면 직관적이긴 하지만 반력을 구해야 하고 구간마다 자유물체도를 그려야 하는 불편이 있었다. 직접 적분법을 이용하면 반력을 구하거나 매번 자유물체도를 그릴 필요는 없지만 구간의 경계에서 조금 더 생각을 해야 했다. 특이함수법은 Maucalay's method 또는 double integration method라 하기도 하며 임의의 외력을 분포 하중을 이용해 표현하는 방법이다. 이 방법을 이용하면 집중 하중이나 집중 모멘트의 경우에도 분포 하중으로 나타낼 수 있기 때문에 지배 미분방정식의 우변 $q(x)$로 외력을 나타낼 수 있게 된다. 시..

2022. 2. 3. 22:14

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

내력의 선도-직접적분법(Direct Integration Method)

3. 직접적분법(Direct Integration Method) 직접적분법은 앞서 우리가 구한 2계 미분방정식을 직접 풀어서 내력을 결정하는 것이다. \begin{align} \frac{dV}{dx} &= -q(x) \\\\ \frac{dM}{dx} &= -V(x) \\\\ \frac{d^2M}{{dx}^2} &= -\frac{dV}{dx} = q(x) \end{align} 먼저 보에 작용하는 분포 하중 $q(x)$를 파악해야 한다. 그 이후에는 다음과 같이 두 번의 적분을 통해 모멘트와 전단력을 구하게 된다. 수직력은 굽힘을 유발하지 않기 때문에 수식에 나타나지 않고 신경 쓸 필요가 없다. \begin{align} \frac{d^2M}{{dx}^2} &= q(x) \\\\ \frac{dM}{dx} &=..

2022. 2. 2. 23:42

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

내력의 선도-분할법(Section Method)

1. 내력의 선도(Internal Force Diagram) 부재를 설계할 때 내력 선도를 그리는 것이 중요하다. 부재에 작용하는 힘과 모멘트를 한눈에 파악할 수 있고 하중이 집중되는 부분을 파악해 하중을 완화하거나 구조를 보강할 수 있기 때문이다. 파악해야 할 내력의 선도에는 다음과 같은 것들이 있다. AFD(Axial Force Diagram) - 축 하중 선도 SFD(Shear Force Diagram) - 전단 하중 선 BMD(Bending Moment Diagram) - 굽힘 모멘트 선도 우리가 지금까지 다룬 내력에는 수직력, 전단력, 그리고 내력 모멘트가 있으며 각각 AFD, SFD 그리고 BMD에 대응하는 내력들이다. 이런 내력 선도를 그리는 방법은 세 가지 정도가 있는데 분할법, 직접 적분..

2022. 1. 13. 22:53

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

전단 응력과 굽힘 모멘트 사이의 관계 (Relationship between Shear Force and Bending Moment)

1. 분포 하중과 전단 응력, 그리고 모멘트 1.1. 분포 하중이 작용하는 보 그림 1과 같은 보에 $q(x)$의 분포 하중(distributed load)가 작용하고 있다. 여기에서 아주 작은 크기 $dx$에 해당하는 부분을 확대해서 그림 2에 나타내고 하중 상태를 표시했다. 특별한 것은 없고 구배(gradient)에 의한 하중 증분이 반영되어 있다. 1.2. 힘의 평형(Force Equilibrium) 그림 2에서 힘의 평형 방정식은 다음과 같다. $$ \sum{F_y} = -V + \left(V + \frac{dV}{dx}dx\right) + q(x)dx = 0 $$ $$ \therefore \frac{dV}{dx} + q(x) = 0 $$ 1.3. 모멘트의 평형(Moment Equilibrium)..

2022. 1. 11. 23:43

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

단면의 주축 (Principal Axes of a Cross Section)

1. 단면 2차 모멘트의 좌표 변환 그림 1과 같이 원래 좌표계 $y-z$에서 $\theta$만큼 회전된 좌표계를 $y'-z'$이라고 하자. 응력과 변형률의 좌표변환과 마찬가지로 다음과 같이 새로운 좌표를 계산할 수 있다. \begin{align} y'&=y\cos\theta + z\sin\theta \\\\ z'&=z\cos\theta - y\sin\theta \end{align} 단면 2차 모멘트의 정의에 의해 변환된 좌표계에서 단면 2차 모멘트를 다음과 같이 구할 수 있다. \begin{align} I_{y'} &= \int_A z'^2dA \\\\ &= \int_A (z\cos\theta - y\sin\theta)^2dA \\\\ &= \int_A (z^2\cos^2\theta - 2yz\cos\..

2022. 1. 6. 19:04

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

평행 축 정리 (Parallel Axis Theorem)

1. 평행 축 정리 (Parallel Axis Theorem) 평행축 정리는 단면 2차 모멘트를 평행 이동된 다른 좌표계에 대해서 구할 때 유용하다. H beam이나 I beam과 같이 복잡한 단면 형상의 경우 간단한 사각형으로 나누고 평행축 정리를 이용해 결과를 조합하면 쉽게 단면 2차 모멘트를 구할 수 있다. 그림 1과 같이 도심을 원점으로 하는 좌표계 $z-y$가 있다. 이 좌표계를 평행 이동한 $z'-y'$ 좌표계를 생각해보자. 새로운 좌표계에 대한 도심의 위치는 $(\bar{z}, \bar{y})$가 된다. 그림 1에 나타낸 단면의 면적을 $A$라고 하면 아래와 같이 $z'-y'$ 좌표계에서의 단면 1차 모멘트를 생각할 수 있다. $$ \int_A y dA = A\bar{y} $$ $$ \int..

2022. 1. 2. 20:17