목차
1. 두께가 얇은 단면 (Thin-walled Section)
어떤 가늘고 긴 부재가 비틀림이나 굽힘을 받을 때 무게 대비 효율을 최대하는 방법은 속을 비우는 것이다. 비틀림에서는 도심에서 멀수록 큰 토크를 감당하고 도심 부근에서는 토크를 거의 부담하지 않기 때문에 파내도 된다.
τ=TIpr
굽힘에서는 재료가 도심에서 멀리 퍼져있을 수록 단면 2차 모멘트가 커져 굽힘 강성이 증가하므로 유리하다. 따라서 굽힘 강성에 영향이 미미한 내부를 파내는 것이 좋다. 무게가 줄면 자중에 의한 처짐도 줄고 운송도 쉬워진다. 이런 장점이 내부를 파내서 발생하는 강성의 손실보다 크다고 할 수 있다.
σ=−MIy
이런 이유로 구조물을 설계할 때 단면의 외각 치수는 크지만 두께는 얇은 부재를 이용하게 된다. 중공 원형 단면을 갖는 파이프나 형강이 이에 해당한다. 이런 얇은 두께를 갖는 단면을 thin-walled section이라 한다. 그리고 관(pipe)와 같이 틈(gap or crack)이 없는 형태를 닫힌 단면 또는 폐단면(closed section)이라 하고 형강과 같은 것은 열린 단면 또는 개단면(opened section)이라 한다. 균열이 있는 관이나 두께가 얇은 형강은 thin-walled open section이 된다.

2. 전단 흐름 (Torsional Shear Flow)
위 비틀림 전단 응력 식을 보면 전단 응력은 중심에서 떨어진 거리에 따라 달라진다. 이때 단면의 두께 t가 아주 얇다면 두께방향으로의 전단 응력 차이는 거의 무시할 수있을 것이다. 따라서 두께가 얇은 부재에서 전단 응력은 두께 t에 작용하는 평균 전단 응력으로 생각하는 것이 편리하다. 이제 다음 그림 2와 같이 얇은 단면의 한 조각에서 평형을 생각해보자.

그림 2에서 A면과 B면의 두께는 tA와 tB로 다르다. 그리고 두 면은 도심에서의 거리도 달라 전단 응력도 같지 않다고 하자. 일단 x방향 단면에서의 전단 응력은 부재에 작용하는 토크와 같은 방향으로 작용할 것이다.
이제 위 조각에 대해 평형 방정식을 세워보자. A면에 작용하는 힘과 B면에 작용하는 전단력은 서로 평형을 이뤄야하므로 크기가 같고 방향은 반대일 것이다.
∑V=τAtAdx−τBtBdx=0
위 식에서 dx를 소거하면 다음과 같은 식을 얻는다.
τAtA=τBtB
위 식은 어떤 위치에서 전단응력과 두께의 곱은 항상 일정하다는 것을 의미한다. 전단 흐름 q를 일정한 유량(flow)라고 생각하면 폭 t가 좁을 경우 전단 응력 τ가 커지고 폭이 넓은 경우 전단 응력이 작아진다. 이제 우리는 이 전단 응력과 두께의 곱을 전단 흐름(shear flow)이라고 정의하고 아래와 같이 쓴다.
q=τt=constant
위 조각에 작용하는 전단력이 V=τtds가 되므로 전단 흐름은 q=τt=V/ds가 된다. 따라서 전단 흐름의 단위는 단위 길이당 전단 하중이다.
q=τt=Vds
2.1. 비틀림 (Torsion)
2.1.1. 비틀림 전단 흐름
비틀림 상태에서 전단 흐름은 그림 3처럼 나타낼 수 있다.

이때 토크와 전단 흐름의 관계는 다음과 같다.
dT=q⋅ds⋅r=qr⋅ds

dT를 폐단면에서 적분하면,
T=∮dT=∮qr⋅ds=q∮rds=q(2Am)
∴q=T2Am
여기에서 Am은 sectional area라고 하며 두께의 반으로 구성된 폐단면적으로 다음과 같다. r과 ds가 이루는 삼각형 면적을 한바퀴 돌면서 합친 면적이라고 생각하면 된다.
Am=12∮rds
2.1.2. 비틀림 전단 응력
전단 응력은 다음과 같이 구할 수 있다.
τ=qt=T2qAmt
∴τ=T2qAmt
여기에서 sectional area Am은 다음과 같다.
Am=12∮rds≈12(Ai+Ao)
Ai는 내부 경계에 의한 면적(inner perimetric area)이고 Ao는 외부 경계에 의한 면적(outter perimetric area)를 말한다. Am,Ai 그리고 Ao를 그림 3에 나타냈다.

2.1.3. 비틀림 변형률 에너지
비틀림 변형률 에너지(torsional strain energy)는 다음과 같다.
U=∫Vu0dV
u0는 변형률 에너지 밀도(strain energy density)이다.
u0=∫V12τγdV=12τ2G=12G[T2Amt]2=T28GA2mt2
따라서 비틀림 변형률 에너지는 다시 다음과 같이 구할 수 있다.
U=T28GA2mt2=∫L0T28GA2m[∫AdAt2]dx
여기에서 dA=tdS이므로,
∫AdAt2=∮tt2ds=∮dst
∴U=∫L0T28GA2m[∮dst]dx
흔히 사용하는 축부재는 G,Am,T가 일정한 prismatic bar이며 이 경우에는 다음과 같이 정리할 수 있다.
U=T2L8GA2m∮dst
2.1.4. 비틀림 각
외부에서 토크가 축에 한 일(external work)은 다음과 같다. Kt는 비틀림 강성이다.
W=∫Δ0PdΔ=∫Φ0TdΦ=∫Φ0KtΦdΦ=Kt⋅Φ22=12(Kt⋅Φ)Φ=12TΦ
∴W=12TΦ
에너지 보존 법칙에 의해 외력이 한 일은 변형률 에너지와 같다.
U=W
따라서 prismatic bar에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
T2L8GA2m∮dst=12TΦ
따라서 비틀림 각은 다음과 같이 구할 수 있다.
Φ=TL4GA2m∮dst
지금까지 위에서 구한 폐단면의 여러가지 식을 이전에 얻은 비틀림의 식과 비교해볼 수 있다. 단순한 대칭 형태의 중공 단면을 이용해 확인해보면 두 결과가 동일하다는 것을 확인할 수 있다. 그러나 단면의 형상이 복잡하다면 위의 폐단면 식을 이용해 구조물의 거동을 예측할 수 있다.
2.2 굽힘 (Bending)
앞서 보의 굽힘에서 발생하는 전단 응력을 다음과 같이 구했다.
τ=VQIb
여기에서 단면의 폭 b가 아주 작아서 얇게 된다고 하자. 구분을 위해 얇은 두께를 t라고 다시 쓴다.
b→t
전단 응력은 다시 얇은 두께 t에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
τ=VQIt
where, Q=∫A0ydA=A0¯y0
비틀림에서와 달리 굽힘에서는 전단흐름 q가 일정하지 않다. 지난 글에서 우리는 굽힘의 경우 도심에서 전단 응력이 최대가 되고 바깥면에서는 작용하지 않는 것을 확인했다. 따라서 굽힘에서의 전단 흐름은 다음과 같다.
q=τt=VQI

그림 4를 보면 전단 흐름은 일정하지 않다. 굽힘에 대한 전단 응력은 포물선으로 분포하므로 웨브(web)에서 전단흐름 역시 도심에서 최대가 되고 끝단에서 0이 된다. 플랜지(flange)에서는 선형으로 분포한다. 주의할 점은 어떤 저자는 모두 같은 q로 표기하는 경우가 많지만 flange와 web에서의 전단 흐름은 그 응력 성분의 출처가 다르다는 것을 알고 있어야 한다. 위 그림 4에는 좌표계를 표시하지 않았지만 보의 길이 방향(지면을 뚫고 나오는 방향)이 x축이고 세로 방향이 y축이다.
이제 공부를 열심히 한 사람은 의문을 가지게 된다. 플랜지에 작용하는 굽힘에 의한 전단 응력도 τxy만 있을 것 같은데 왜 τxz가 나오느냐 하는 것이다. 물론 τxy도 존재하고 계산에 반영하겠지만 이 τxz가 어째서 존재하는지에 대한 의문을 풀어야 한다.
플랜지의 끝단을 절단하여 자유물체도를 그리면 그림 5와 같다. 절단부의 x방향 단면적을 A0라고 하자.

이 자유 물체도에 대한 평형을 고려하면 다음과 같다.
∑Fx=∫A0σ|x+ΔxdA−∫A0σ|xdA−F=0
굽힘 응력은 다음과 같다.
σ=−MbyIz
내력 F를 굽힘 응력에 대해 정리하면 다음과 같다.
F=−∫A0Mb|x+ΔxyIzdA+∫A0Mb|xyIz=−Mb|x+Δx−Mb|xIz∫A0ydA
여기에서 x+Δx 위치에서 모멘트에 대한 테일러 급수 전개를 하고 1차 항까지만 고려하면 다음과 같다.
Mb(x+Δx)=Mb(x)+dMb(x)dxΔx
Mb|x+Δx−Mb|xIz=dMb(x)dxΔx
다시 굽힙 모멘트의 미분은 전단력과 같다.
dMbdx=−V
따라서 내력 F는 다음과 같이 표현할 수 있다.
F=VIzΔx∫A0ydA
양변을 Δx로 나누면 좌변은 단위 길이당 내력이므로 전단 흐름이 된다.
FΔx=qz=τzxtf=τxztf
따라서 플랜지에 작용하는 전단 응력은 다음과 같다.
τxz=VQsIztf
Qs는 플랜지의 개방단에 s만큼 떨어진 거리까지에 해당하는 면적의 도심에 대한 단면 2차 모멘트이다.
Qs=∫A0ydA
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