목차
4. 특이함수법(Singular Function Method)
지금까지 분할법을 이용해 보에 작용하는 내력을 구하거나 직접 적분법을 이용해 내력을 구했다. 분할법을 이용하면 직관적이긴 하지만 반력을 구해야 하고 구간마다 자유물체도를 그려야 하는 불편이 있었다. 직접 적분법을 이용하면 반력을 구하거나 매번 자유물체도를 그릴 필요는 없지만 구간의 경계에서 조금 더 생각을 해야 했다.
특이함수법은 Maucalay's method 또는 double integration method라 하기도 하며 임의의 외력을 분포 하중을 이용해 표현하는 방법이다. 이 방법을 이용하면 집중 하중이나 집중 모멘트의 경우에도 분포 하중으로 나타낼 수 있기 때문에 지배 미분방정식의 우변 q(x)로 외력을 나타낼 수 있게 된다. 시스템의 입력이 바로 표현되므로 구간을 나눠서 생각할 필요가 없고 따라서 직접 적분법과 마찬가지로 반력도 안 구해도 된다. 이 방법은 내력을 구할 때도 쓰이지만 나중에 보의 처짐(deflection)을 계산할 때도 요긴하게 쓰이므로 잘 알아두면 편리하게 쓸 수 있다.
4.1. 특이함수(Singular Function)
특이함수는 Maucalay's function이라고 부르기도 하며 아래와 같이 정의한다. <>는 singular bracket이라고 하며 특별히 이것이 특이함수임을 나타내는 표식이다. 지수 n에 따라 여러 가지 형태의 하중을 표현할 수 있다.
F_n = <x-a>^n \\\\ n = -2, -1, 0, 1, 2, \cdots
4.1.1. n=-2: doublet or dual function
F_{-2}(x) = <x-a>^{-2} = \begin{cases} \pm\infty & \text{at } \quad x = a \\ 0 & \text{at } \quad x \neq a \end{cases}
Dual function은 집중 모멘트를 분포하중 q(x)로 표현할 때 이용한다. F_{-2} 함수는 Dirac delta function을 한 번 미분한 형태이다.
모멘트는 우력(couple)이 있을 때 발생한다. 그리고 어떤 모멘트는 아주 작은 길이 e에 분포 하중이 우력으로 작용하는 것으로 표현할 수 있다.
\begin{align} M_0 &= \lim_{e\rightarrow 0} q(x)e\cdot\frac{e}{2}\cdot 2 \\\\ &= \lim_{e\rightarrow 0}q(x)e^2 \\\\ &= \lim_{x\rightarrow a}q(x)(x-a)^2 \end{align}
따라서 분포 하중은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\begin{align} \therefore q(x) &= \lim_{x\rightarrow a}\frac{M_0}{(x-a)^2} \\\\ &= M_0<x-a>^{-2} \end{align}
주의할 점은 그림 2에 표시된 M_0처럼 시계 방향을 양의 방향으로 정의한다는 점이다.
4.1.2. n=-1: impulse function
F_{-1}(x) = <x-a>^{-1} = \begin{cases} \infty & \text{at } \quad x = a \\ 0 & \text{at } \quad x \neq a \end{cases}
Impulse function은 집중 하중을 분포 하중을 이용해 표현할 때 이용한다. 정의는 Dirac delta function과 같다.
집중 하중은 아주 작은 영역 e에 분포 하중이 작용하는 것으로 생각할 수 있다.
그림 4의 영역 e가 점점 작아지도록 극한을 취하면 집중 하중 P와 같게 된다.
\begin{align} P &= \lim_{e\rightarrow 0}q(x)e \\\\ &= \lim_{x\rightarrow a}q(x)(x-a) \end{align}
따라서 집중 하중은 분포 하중으로 아래와 같이 쓸 수 있다.
\begin{align} q(x) &= \lim_{x\rightarrow a} \frac{P}{x-a} \\\\ &= P<x-a>^{-1} \end{align}
4.1.3. n=0: unit step function
F_{0}(x) = <x-a>^{0} = \begin{cases} 1 & \text{at } \quad x \geq a \\ 0 & \text{at } \quad x < a \end{cases}
이 함수는 익히 알고 있는 단위 계단 함수이다. 균일 분포 하중을 나타낼 때 쓴다.
이것은 정의이기 때문에 따로 유도가 필요 없고 임의의 위치에 존재하는 균일 분포 하중은 중첩의 원리를 이용해 이 단위 계단 함수의 선형 결합으로 나타낼 수 있다.
그림 6의 분포 하중은 하나의 단위 계단 함수로는 나타낼 수 없다. 따라서 그림 7처럼 두 개의 단위 계단 함수로 나타낸 분포 하중을 더해서 b 이후의 분포 하중을 상쇄하는 방법으로 나타낼 수 있다.
따라서 그림 6의 분포 하중은 아래처럼 쓸 수 있다.
q(x) = -q_0<x-a>^0 + q_0<x-b>^0
4.1.4. n=1: unit ramp function
F_{1}(x) = <x-a>^{1} = \begin{cases} (x-a) & \text{at } \quad x \geq a \\ 0 & \text{at } \quad x < a \end{cases}
Unit ramp function은 선형으로 증가 또는 감소하는 형태의 분포 하중을 표현한다. 이 함수의 기울기는 1이며 계수를 통해 기울기를 조절할 수 있다.
4.1.5. n\geq 2: arbitrary function
F_{n}(x) = <x-a>^{n} = \begin{cases} (x-a)^n & \text{at } \quad x \geq a \\ 0 & \text{at } \quad x \geq a \end{cases}
n이 2 이상인 경우는 임의의 함수를 표현하기 위해 이용한다. 0차의 step function이나 1차의 ramp function을 포함하여 여러 가지 차수를 갖는 항의 결합으로 다항식을 구성하면 임의의 형태를 갖는 함수를 표현할 수 있다.
4.2. Integration Formula
I = \int<x-a>^{n}dx = \begin{cases} <x-a>^{n+1} & \text{if } \quad n \leq 0 \\ \frac{1}{n+1}<x-a>^{n+1} & \text{if } \quad n > 0 \end{cases}
특이함수의 적분 방법은 일반적인 적분과 같지만 n < 0인 경우에는 거듭제곱만 올리고 끝낸다는 점을 주의한다.
4.3. 집중 모멘트(Concentrated Moment)
분할법에서 다뤘던 집중 모멘트가 작용하는 문제를 특이함수법으로 해결해보자.
반력도 구하지 말고 구간도 나누지 말고 보에 작용하는 분포 하중을 아래처럼 나타낸다. 모멘트의 방향이 반시계 방향이므로 음의 부호를 쓴다.
q(x) = -M_0<x-a>^{-2}
지배 방정식의 우변에 위에 나타낸 집중 하중을 반영하면 아래와 같다.
\frac{d^2M}{{dx}^2} = -M_0<x-a>^{-2}
이 지배 방정식을 한 번 적분하면 전단력이 된다. 특이함수의 지수 n이 음수이므로 지수만 하나 올려 준다.
\frac{dM}{dx} = -M_0<x-a>^{-1} + C_1 = -V(x)
\therefore V(x) = M_0<x-a>^{-1} - C_1
두 번 적분하면 내력 모멘트가 된다. 여전히 특이함수의 지수 n이 음수이므로 지수만 하나 올려 준다.
M = -M_0<x-a>^0 + C_1x + C_2
경계 조건은 보의 양 끝단에서 핀 지지와 롤러 지지를 하고 있으므로 지지점에서 내력 모멘트는 0이다.
\begin{align} M_z|_{x=0} &= 0 \\\\ M_z|_{x=L} = 0 \end{align}
위에서 구한 식에 대입해 보면,
\begin{align} M(0) &= C_2 = 0 \\\\ M(L) &= -M_0 + C_1L = 0 \end{align}
\begin{align} \therefore C_1 &= \frac{M_0}{L} \\\\ C_2 &= 0 \end{align}
적분 상수를 모두 구했으니 원래 내력 모멘트 해에 적용하면 다음과 같이 내력 모멘트와 전단력을 구할 수 있다.
\begin{align} V(x) &= M_0<x-a>^{-1} - \frac{M_0}{L} \\\\ M(x) &= -M_0<x-a>^0 +\left(\frac{M_0}{L}\right)x \end{align}
특이함수가 정의된 구간을 고려해서 내력 선도를 그려보면 분할법으로 구한 것과 동일하다는 것을 알 수 있다.
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