3. 직접적분법(Direct Integration Method)
직접적분법은 앞서 우리가 구한 2계 미분방정식을 직접 풀어서 내력을 결정하는 것이다.
\begin{align} \frac{dV}{dx} &= -q(x) \\\\ \frac{dM}{dx} &= -V(x) \\\\ \frac{d^2M}{{dx}^2} &= -\frac{dV}{dx} = q(x) \end{align}
먼저 보에 작용하는 분포 하중 q(x)를 파악해야 한다. 그 이후에는 다음과 같이 두 번의 적분을 통해 모멘트와 전단력을 구하게 된다. 수직력은 굽힘을 유발하지 않기 때문에 수식에 나타나지 않고 신경 쓸 필요가 없다.
\begin{align} \frac{d^2M}{{dx}^2} &= q(x) \\\\ \frac{dM}{dx} &= \int q(x) dx + C_1 = -V(x) \\\\ M &= \int\left[\int q(x) dx\right] dx + C_1x + C_2 \end{align}
적분 결과식에서 적분 상수 C_1과 C_2는 경계 조건(boundary condition)을 이용해 구한다. 경계 조건은 구조물의 경계에서 모멘트와 전단력 조건이다. 이 경계는 지지점(support)이나 자유단(free end)을 의미한다. 어떤 경계 조건을 쓰는 것인지 예제를 통해 알아보자.
3.1. 외팔보(Cantilever)
먼저 위 그림 1의 외팔보에는 아무런 분포 하중이 작용하지 않고 있다.
q(x) = 0
따라서 미분 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\frac{d^2M}{{dx}^2} = 0
한 번 적분하면 다음과 같다.
\frac{dM}{dx} = -V(x) = C_1
\therefore V(x) = -C_1
두 번 적분하면 다음과 같다.
M = C_1x + C_2
경계 조건은 다음과 같다.
M|_{x=L} = 0 \\\\ V|_{x=L} = -P
위에서 구한 적분 결과에 전단력 경계 조건을 대입해 본다.
V(L) = -C_1 = -P
\therefore C_1 = P
마찬가지로 모멘트 경계 조건을 대입해본다.
\begin{align} M(L) &= C_1L + C_2 \\\\ &= PL + C_2 = 0 \end{align}
\therefore C_2 = -PL
따라서 내력은 다음과 같이 결정된다.
\begin{align} M(x) &= P(x-L) \\\\ V(x) &= -P \end{align}
분할법으로 구한 결과와 동일한 것을 알 수 있다.
3.2. 집중 하중(Concentrated Load)
이제 외팔보는 너무 쉬우니까 단순보에 집중 하중이 작용하는 경우를 살펴보자.
위 단순보에도 분포 하중은 전혀 없으므로 q(x) = 0이다.
\frac{d^2M}{{dx}^2} = 0
이번에는 하중 P가 작용하는 점을 기준으로 좌우를 나눠서 따져보아야 한다.
A. 0 \leq x \leq a
\frac{d^2M}{{dx}^2} = 0
\begin{align} V_1(x) &= -C_1 \\\ M_1(x) &= C_1x + C_2 \end{align}
B. a \leq x \leq b
\frac{d^2M}{{dx}^2} = 0
\begin{align} V_2(x) &= -C_3 \\\ M_2(x) &= C_3x + C_4 \end{align}
양단에서 회전을 구속하지 않기 때문에 경계 조건은 다음과 같다.
\begin{align} M_1|_{x=0} &= 0 \\\\ M_2|_{x=L} &= 0 \end{align}
적분 결과에 대입해 보면 다음과 같다.
M_1(0) = C_2 = 0
\therefore C_2 = 0
M_2(L) = C_3L + C_4 = 0
\therefore C_3L = -C_4
적분 상수 C_2만 구할 수 있을 뿐이다. 이런 경우에는 하중점 P의 전후로 내력이 달라지는 것을 이용해 V_1과 V_2 그리고 M_1과 M_2의 관계를 찾아야 한다. 하중점 부근에서 간단하게 자유 물체도를 그리고 평형 방정식을 풀어보자. 물론 평형 방정식으로 반력을 구하고 각 구간의 내력을 구한 뒤 서로 간의 관계를 알아볼 수 있겠지만 지금 분할법을 안 하겠다고 이러고 있는 것이라는 점을 다시 상기하도록 하자.
그림 3에 하중점 부근의 하중 상태를 나타냈다. 가운데 기준으로 평형 방정식을 구하면 다음과 같다.
\begin{align} \sum F_y &= -V_1^* -P + V_2^* \\\\ \sum M_z|_{x=a} &= -M_1 + M_2 -V_1\left(\frac{de}{2}\right)+ V_2\left(\frac{de}{2}\right) = 0 \end{align}
위 모멘트 평형식에서 de \rightarrow 0인 극한을 생각해보면 de가 곱해진 항은 모두 0이 되어 사라진다. 따라서 다음과 같이 하중점 좌우 내력의 관계를 구할 수 있다.
\begin{align} V_1^* &= V_2^* + P \\\\ M_1^* &= M_2^* \end{align}
따라서,
\begin{align} V_1(a) &= V_2(a) + P \\\\ -C_1 &= -C_3 + P \end{align}
\begin{align} M_1(a) &= M_2(a) \\\\ C_1a &= C_3a - C_3L \end{align}
두 식을 연립하면,
C_3a - Pa = C_3a - C_3L \\\\ \therefore C_3 = -\frac{Pa}{L}
지금까지 구한 상수들을 이용해 식을 다시 써보자.
\begin{align} C_1 & = -P\left(1-\frac{a}{L}\right) = -\frac{Pb}{L} \\\\ C_2 &= 0 \\\\ C_3 &= -\frac{Pa}{L} \\\\ C_4 &= Pa \end{align}
\begin{align} V_1(x) &= \frac{Pb}{L} \\\\ M_1(x) &= \frac{Pbx}{L} \\\\ V_2(x) &= \frac{Pa}{L} \\\\ M_2(x) &= Pa\left(1 - \frac{x}{L}\right) \end{align}
분할법으로 구한 것과 동일한 결과를 얻었다.
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