엄마가 공부하랄 때 할 걸 검색 결과

109 개의 검색 결과가 있습니다.

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

복합보의 굽힘 - 보강 콘크리트 보(Reinforced Concrete Beams)

5. 보강 콘크리트 보 (Reinforced Concrete Beams) 이번에는 보강된 콘크리트 보를 생각해 보자. 앞서 말했듯이 콘크리트는 인장이 취약하기 때문에 인장이 발생할 것으로 예상되는 부분에 철근을 삽입하기로 한다. 이를 아래 그림에 나타냈다. 중립축의 위치를 $k$를 이용해 나타냈다. 여기에서 $n$은 철근의 개수이고 $d$는 철근의 지름이다. 따라서 철근의 단면적 $A_s$와 콘크리트의 단면적 $A_c$는 다음과 같다. \begin{align} A_s &= n\cdot\frac{pi}{4}d^2 \\\\ A_c &= bh \end{align} 단면적의 아랫첨자를 그대로 써서 철근의 영률을 $E_s$, 그리고 콘크리트의 영률을 $E_c$라고 한다. 중요한 가정은 모든 인장력은 철근이 부담한..

2023. 7. 13. 23:41

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복합보의 굽힘 - 변환 단면법(Transformed Section Method)

4. 변환 단면법 (Transformed Section Method) 어떤 복합보와 같은 거동(곡률)을 하는 단일 재료 보를 상상해보자. 같은 외력을 버터야 하므로 두 보의 내력은 같아야 한다. 단면에서 영률이 다른 부분은 같은 내력을 갖기 위해 면적이 다를 것이다. 일단 어떻게든 곡률을 구하기만 하면 각 영역의 응력은 원래대로 계산하기만 하면 된다. 곡률을 안다는 것은 변형률을 안다는 것이므로 응력 또한 알 수 있기 때문이다. 이렇게 내력이 같도록 단면의 치수를 변환하는 것을 변환 단면법, 또는 등가 단면법(equivalent section method)라고도 한다. 4.1. 굽힘 변형률 (Bending Strain) 곡률이 일정하다는 가정이 동일하므로 굽힘 변형률은 연속이다. $$ \varepsilo..

2023. 7. 13. 21:27

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복합보의 굽힘 (Bending of Composite Beams)

1. 복합보 (Composite Beams) 복합보는 단면이 두 가지 이상의 재료로 구성된 보를 말한다. 지금까지는 단일 재료로 구성된 보만을 다뤘으나 실제로는 재료의 단점을 보완하기 위해 여러 재료로 구성된 복합보를 이용하는 경우가 종종 있다. 복합보를 다루는 방법으로는 이론적인 방법과 변환 단면법(transformed section method) 등이 있다. 대표적인 예가 요즘 부실 시공으로 논란인 철근 콘크리트이다. 심심하니까 철근 콘크리트에 대해 살짝 알아보자. 콘크리트는 단단한 바위를 시공 현장에서 설계자의 요구대로 성형할 수 있다는 장점이 있어 고대 로마시대부터 꾸준히 쓰여온 재료이다. 다만 콘크리트는 기본적으로 취성재이기 때문에 압축에는 아주 강하지만 인장에는 취약하다는 단점이 있다. 이것을..

2023. 7. 13. 20:13

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소성 굽힘 (Plastic Bending)

1. 소성이 발생한 보 굽힘 하중을 받는 보의 변형이 탄성 영역에 있을 때는 아래와 같은 수직 응력과 굽힘 모멘트 사이의 관계를 이용했다. $$ \sigma_x = -\frac{M}{I}y $$ 이제부터는 보에 큰 굽힘 하중이 작용하여 소성이 발생하는 경우를 생각해 보자. 위 식을 보면 보가 굽힘 하중을 받을 때 최대 응력이 발생하는 부분은 가장 바깥쪽이다. 만약 응력이 항복 강도에 도달하게 되면 가장 바깥쪽부터 소성이 발생하기 시작하고 하중이 커질수록 점차 내부로 소성 영역이 전파할 것이라는 것을 짐작할 수 있다. 2. 재료와 경도 일반적인 탄소성 재료는 대체로 탄성 구간 이후에 응력 변형률 선도가 완만하게 증가한다. 이 구간에서 제하(unloading)를 하면 탄성구간의 기울기를 따르면서 변형이 회복..

2023. 1. 8. 16:17

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일반 굽힘(General Bending)

1. 일반 굽힘 (General Bending) 지금까지는 길이 방향이 $x$방향인 보에 굽힘 모멘트 $M_z$만 작용하는 단축 굽힘에 대해서만 다뤘으나 3차원 보에는 그림 2처럼 굽힘 모멘트 $M_y$도 작용할 수 있다. 실제 보는 두 방향의 모멘트를 동시에 견디는 것이 일반적이기 때문에 이런 경우 보에 작용하는 응력 상태와 굽힘 거동에 대해 알아볼 필요가 있다. 이런 경우를 이축 굽힘(double axes bending)이라 한다. 또한 지금까지는 굽힘 응력을 다룰 때 단면이 대칭인 경우만을 다뤘으나 단면이 비대칭인 경우를 생각해볼 필요가 있다. 이런 경우를 비대칭 굽힘(unsymmetric bending)이라고 한다. 앵글이나 채널 단면이 대표적인 비대칭 단면이며 이런 경우에는 중립면(neutral..

2022. 12. 30. 22:17

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전단 중심 (Shear Center)

1. 전단 중심 (Shear Center) 1.1. 전단 중심 전단 중심이란 단면에 비틀림이 발생하지 않도록 전단력이 작용해야할 위치를 말한다. $$ \sum M_x = 0 $$ 대칭 중실 단면(solid section)은 도심이 전단 중심이다. 도심을 향해 하중을 작용하면 굽힘만 발생할 것이다. 폐단면의 경우에도 대칭인 경우에는 도심이 전단 중심이 된다. 위 두 경우에서 하중이 단면의 도심을 향해 작용한다면 부재는 비틀림 없이 굽힘만 발생하게 된다. 그러나 대칭이 아닌 단면의 경우에는 도심을 향해 하중이 작용할 경우 부재가 비틀어지게 된다. 비대칭 개단면의 전단 중심은 그림 3과 같다. 대칭인 축은 도심과 일치하지만 비대칭인 축은 전단 중심의 위치가 도심과 다르다. 이런 경우 구조물에 굽힘과 비틀림이 ..

2022. 12. 30. 20:04

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전단 흐름 (Shear Flow)

1. 두께가 얇은 단면 (Thin-walled Section) 어떤 가늘고 긴 부재가 비틀림이나 굽힘을 받을 때 무게 대비 효율을 최대하는 방법은 속을 비우는 것이다. 비틀림에서는 도심에서 멀수록 큰 토크를 감당하고 도심 부근에서는 토크를 거의 부담하지 않기 때문에 파내도 된다. $$ \tau = \frac{T}{I_p}r $$ 굽힘에서는 재료가 도심에서 멀리 퍼져있을 수록 단면 2차 모멘트가 커져 굽힘 강성이 증가하므로 유리하다. 따라서 굽힘 강성에 영향이 미미한 내부를 파내는 것이 좋다. 무게가 줄면 자중에 의한 처짐도 줄고 운송도 쉬워진다. 이런 장점이 내부를 파내서 발생하는 강성의 손실보다 크다고 할 수 있다. $$ \sigma = -\frac{M}{I}y $$ 이런 이유로 구조물을 설계할 때 단..

2022. 12. 23. 21:16

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기초선형대수 - 볼록성 (Convexity)

-Basic Linear Algebra- 8. 볼록성(Convexity) 8.1. 대충 설명하자면.. 오늘은 볼록성에 대해 알아보자. 볼록성은 말 그대로 볼록하냐 안 하냐를 말하는 것이다. 예를 들어 볼록렌즈는 마냥 볼록하다. 무슨 소리냐 하면 렌즈면이 볼록할 뿐 중간에 조금이라도 움푹 들어간 부분이 없다는 뜻이다. 오목렌즈는 오목(concave)하다. 마찬가지로 오목렌즈는 렌즈면이 오목할 뿐 중간에 뽈록 튀어나온 부분이 없는 것이다. 그리고 우리는 직관적으로 이 볼록렌즈나 오목렌즈의 정점(vertex)이 렌즈면 중에서 가장 높거나 가장 낮다는 것을 알고 있다. 이와 유사하게 만약 어떤 함수가 볼록하다는 것을 알고 있으면 그 구간 안에 극소점(minimum)이 반드시 딱 한 개만 있을 것이고 그것이 곧 ..

2022. 8. 31. 01:37

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기초 선형대수 - 양정 행렬(Positive Definite)

-Basic Linear Algebra- 8. 양정과 양반정(Positive definite and Positive semi-definite) 8.1. 정의(Definition) 실수 공간에 있는 모든 벡터 $\boldsymbol{x}$에 대해 $\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \ge 0$이고 오직 $\boldsymbol{x}=0$일 때만 $\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$을 만족한다면 이 이차 형식은 양정(positive definite)이라 한다. 또는 대칭 행렬 $\boldsymbol{A}$는 양정이라 한다. \begin{align} &\boldsymbol{x}..

2022. 8. 28. 00:32

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기초 선형대수 - 이차 형식(Quadratic Form)

-Basic Linear Algebra- 7. 이차 형식(Quadratic Form) 7.1. 정의(Definition) 이차 형식은 함수의 꼴이 이차 다항식인 것을 말한다. 이를 표현하면 다음과 같다. \begin{align} f(\boldsymbol{x}) &= \boldsymbol{x}^{\mathsf{T}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x} \\\\ &= q_{11}x_1^2 + q_{22}x_2^2 + \cdots + q_{nn}x_n^2 + q_{12}x_1x_2 + \cdots + q_{n,n-1}x_nx_{n-1} \end{align} 위 식에서 행렬 $\boldsymbol{Q}$는 크기가 $n \times n$인 계수 행렬이 된다. 간단한 예로 어떤 행렬 $\bolds..

2022. 8. 27. 02:40

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기초 선형대수 - 고유값과 고유벡터(Eigenvalue and Eigenvector)

-Basic Linear Algebra- 6. Eigenvalue and Eigenvector 6.1. Definition $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$인 어떤 행렬 $\boldsymbol{A}$가 있다고 하자. $\boldsymbol{A}$는 실수 원소를 갖는 $n \times n$ 크기의 정방 행렬이다. 그리고 $\boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V}^n $인 어떤 벡터 $\boldsymbol{v}$가 있다고 하자. 여기에서 $\boldsymbol{V}$는 n-dimensional subspace를 말한다. 이 때 0이 아닌 $\lambda$가 존재하고 다음을 만족하는 경우에 $\lambda$를 고유치(eigenvalue), 그리..

2022. 6. 30. 21:27

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기초 선형대수 - 내적(Dot Product)

-Basic Linear Algebra- 5. Dot Product (내적) 5.1. Definition $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$에 대하여, \begin{align} \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle &= \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} = \boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{y} \\\\ &= \sum_{i=1}^{n}x_iy_i = \|x\|\|y\|\cos\theta \end{align} 여기에서 $\|x\|=\sqrt{\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle} = \sqrt{\boldsy..

2022. 6. 30. 21:04

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기초 선형대수 - 용어(Terminology)

-Basic Linear Algebra- 4. Termonology (용어) 4.1. Span (생성) 다음과 같은 벡터들이 있다고 하자. $$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k \in \mathbb{R}^n$$ $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k$의 span은 모든 선형 결합들의 집합이다. 즉 벡터 공간 상에 존재하는 이 벡터들로 이루어진 조합의 모든 경우의 수를 말한다. 따라서 "span a space"는 공간을 형성(또는 생성)한다는 뜻이다. $$\text{span}\left[\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots,..

2022. 4. 5. 02:07

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기초 선형대수 - 선형 결합과 선형 독립(Linear Combination and Linear Independence)

-Basic Linear Algebra- 3. Linear Combination (선형 결합) 3.1. Linear Combination (선형 결합) 아래와 같이 일련의 항들을 상수배하여 더한 것을 선형 결합이라 한다. $$ c = \sum_{i=1}^{n}x_iy_i = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n $$ 아래와 같은 선형 방정식이 있다고 하자. 아래 방정식에서 $\boldsymbol{x}$와 $\boldsymbol{y}$는 $(n\times 1)$ 크기를 갖고 $\boldsymbol{A}$는 $(n\times n)$ 크기를 갖는 정사각 행렬(square matrix)이다. $$ \boldsymbol{y} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \Long..

2022. 4. 5. 01:30