복합보의 굽힘 - 변환 단면법(Transformed Section Method)

목차

• 4. 변환 단면법 (Transformed Section Method)
  • 4.1. 굽힘 변형률 (Bending Strain)
  • 4.2. 굽힘 응력 (Bending Stress)
  • 4.3. 힘의 등가성 (Force equivalance)
  • 4.4. 굽힘 응력 공식 (Bending Stress Formula)
  • 4.5. 사각형 단면의 예
  • 4.6. 원형 단면의 예

4. 변환 단면법 (Transformed Section Method)

 어떤 복합보와 같은 거동(곡률)을 하는 단일 재료 보를 상상해보자. 같은 외력을 버터야 하므로 두 보의 내력은 같아야 한다. 단면에서 영률이 다른 부분은 같은 내력을 갖기 위해 면적이 다를 것이다. 일단 어떻게든 곡률을 구하기만 하면 각 영역의 응력은 원래대로 계산하기만 하면 된다. 곡률을 안다는 것은 변형률을 안다는 것이므로 응력 또한 알 수 있기 때문이다. 이렇게 내력이 같도록 단면의 치수를 변환하는 것을 변환 단면법, 또는 등가 단면법(equivalent section method)라고도 한다. 

 

그림 8. 변환 단면법

 

4.1. 굽힘 변형률 (Bending Strain)

 곡률이 일정하다는 가정이 동일하므로 굽힘 변형률은 연속이다.

$$\varepsilon_x = -\frac{y}{\rho}$$

 

4.2. 굽힘 응력 (Bending Stress)

 굽힘 응력 또한 이론적 방법과 동일하다.

$$\begin{align} \sigma_x^{(1)} &= E_1\varepsilon_x = -\frac{E_1}{\rho}y \\\\ \sigma_x^{(2)} &= E_2\varepsilon_x = -\frac{E_2}{\rho}y \end{align}$$

 

4.3. 힘의 등가성 (Force equivalance)

 영역 (2)의 영률이 영역 (1)과 같다면 어떤 미소 면적에 작용하는 내력을 동일하게 하기 위해서는 미소 단면의 면적이 달라져야 한다. 우리는 보의 깊이(단면의 높이)는 그대로 두고 폭만 바꾸기로 한다.

$$\begin{align} dF &= \sigma_x^{(2)}bdy \\\\ &= \sigma_x^{(1)}b'dy \end{align}$$

 

 따라서 다음과 같은 관계를 얻는다.

$$\sigma_x^{(2)}b = \sigma_x^{(1)}b'$$

 

 변환된 치수 $b'$을 $b$로 나타내면 다음과 같다.

  $$\begin{align} b' &= \frac{\sigma_x^{(2)}}{\sigma_x^{(1)}}b \\\\ &= \frac{-E_2y/\rho}{-E_1y/\rho}b \\\\ &= \frac{E_2}{E_1}b \end{align}$$

 

$$\therefore b' = \frac{E_2}{E_1}b$$

 

4.4. 굽힘 응력 공식 (Bending Stress Formula)

 단면을 변환해 단일 재료로 구성된 보가 되었기 때문에 곡률은 다음과 같이 하나의 영률로 나타난다.

$$\kappa = \frac{1}{\rho} = \frac{M}{E_1I}$$

 

 각 영역의 굽힘 응력은 다음과 같이 간단하게 쓸 수 있다.

$$\begin{align} \sigma_x^{(1)} &= -\frac{E_1}{\rho}y = -E_1y\cdot\frac{M}{E_1}{I} \\\\ &= -\frac{M}{I}y \\\\ \sigma_x^{(2)} &= -\frac{E_2}{\rho}y = -E_2y\frac{M}{E_1I} \\\\ &= -\frac{E_2}{E_1}\frac{M}{I}y \end{align}$$

 

4.5. 사각형 단면의 예

 다음과 같이 3개 영역으로 구분된 단면이 있다고 하자.

그림 9. 사각형 단면의 변환 단면

 

 그림 9를 보면 우리 다뤘던 H형강의 형태라는 걸 알 수 있다. 따라서 단면의 2차 관성 모멘트 $I$는 형강처럼 평행축 정리를 이용해 구하면 된다.

 

 변환된 치수 $b_i$는 다음과 같다.

$$\begin{align} b_1 &= b \\\\ b_2 &= \frac{E_2}{E_1}b \\\\ b_3 &= \frac{E_3}{E_1}b \end{align}$$

 

 곡률은 다음과 같다.

$$\kappa = \frac{1}{\rho} = \frac{M}{E_1I}$$

 

 굽힘 응력은 다음과 같다.

$$\begin{align} \sigma_x^{(1)} &= -E_1\frac{y}{\rho} = -\frac{M}{I}y \\\\ \sigma_x^{(2)} &= -E_2\frac{y}{\rho} = -\frac{E_2}{E_1}\frac{M}{I}y \\\\ \sigma_x^{(3)} &= -E_3\frac{y}{\rho} = -\frac{E_3}{E_1}\frac{M}{I}y \end{align}$$

 

4.6. 원형 단면의 예

 다음과 같은 원형 단면을 생각해 보자. 단면을 줄이기 위해 폭을 바꾸면 상단의 반원은 타원이 된다. 물론 타원의 방정식을 이용해 단면의 2차 모멘트를 계산할 수 있긴 하지만 그냥 이론적인 방법으로 접근하는 편이 쉽다.

 

그림 10. 원형 단면의 변환 단면

 

 이론적인 방법으로 곡률을 구하면 다음과 같다.

$$\kappa = \frac{1}{\rho} = \frac{M}{E_1I_1 + E_2I_2}$$

 

 중립축의 위치는 다음 식으로 결정한다.

$$E_1A_1\overline{y_1} + E_2A_2\overline{y_2} = 0$$

 

 반원의 도심을 이용해 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\begin{align} \overline{y_1} &= -\left(R-\frac{4R}{3\pi} - \overline{y}\right) \\\\ \overline{y_2} &= R + \frac{4R}{3\pi} - \overline{y} \end{align}$$