단면의 주축 (Principal Axes of a Cross Section)

목차

• 1. 단면 2차 모멘트의 좌표 변환
• 2. 단면의 주축
• 3. 여러 가지 단면의 주축
  • 3.1. 사각형 단면
  • 3.2. 원형 단면
  • 3.3. 정사각형 단면

1. 단면 2차 모멘트의 좌표 변환

그림 1. 단면의 좌표계와 회전

 그림 1과 같이 원래 좌표계 $y-z$에서 $\theta$만큼 회전된 좌표계를 $y'-z'$이라고 하자. 응력과 변형률의 좌표변환과 마찬가지로 다음과 같이 새로운 좌표를 계산할 수 있다.
$$\begin{align} y'&=y\cos\theta + z\sin\theta \\\\ z'&=z\cos\theta - y\sin\theta \end{align}$$
 
 단면 2차 모멘트의 정의에 의해 변환된 좌표계에서 단면 2차 모멘트를 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\begin{align} I_{y'} &= \int_A z'^2dA \\\\ &= \int_A (z\cos\theta - y\sin\theta)^2dA \\\\ &= \int_A (z^2\cos^2\theta - 2yz\cos\theta\sin\theta + y^2\sin^2\theta)dA \\\\ &= \cos^2\theta\int_Az^2dA + \sin^2\theta\int_Ay^2dA -2\sin\theta\cos\theta\int_AyzdA \end{align}$$
 
 위의 마지막 식에서 적분 형태는 모두 원래 좌표계에서의 단면 2차 모멘트를 의미한다.
$$\begin{align} I_y &= \int_Az^2dA \\\\ I_z &= \int_Ay^2dA \\\\ I_{yz} &= \int_AyzdA \end{align}$$
 
 따라서 회전된 좌표계에서의 단면 2차 모멘트는 다음과 같다.
$$\therefore I_{y'} = I_y\cos^2\theta + I_z\sin^2\theta -2I_{yz}\sin\theta\cos\theta$$
 
 마찬가지로 $I_{z'}$을 구해보면 아래와 같다.
$$\begin{align} I_{z'} &= \int_A z'^2dA \\\\ &= \int_A (y\cos\theta + z\sin\theta)^2dA \\\\ &= \int_A (y^2\cos^2\theta + 2yz\cos\theta\sin\theta + z^2\sin^2\theta)dA \\\\ &= \cos^2\theta\int_Ay^2dA + \sin^2\theta\int_Az^2dA +2\sin\theta\cos\theta\int_AyzdA \end{align}$$
 
$$\therefore I_{z'} = I_z\cos^2\theta + I_y\sin^2\theta +2I_{yz}\sin\theta\cos\theta$$
 
 $I_{yz}$는 다음과 같다.
$$\begin{align} I_{z'} &= \int_A y'z'dA \\\\ &= \int_A (z\cos\theta - y\sin\theta)(y\cos\theta + z\sin\theta)dA \\\\ &= \int_A (yz\cos^2\theta + z^2\cos\theta\sin\theta - y^2\cos\theta\sin\theta - yz\sin^2\theta)dA \\\\ &= \cos^2\theta\int_AyzdA - \sin^2\theta\int_Az^2dA +\sin\theta\cos\theta\int_Az^2dA -\sin\theta\cos\theta\int_Ay^2dA \end{align}$$
 
$$\therefore I_{y'z'} = -(I_z-I_y)\sin\theta\cos\theta +I_{yz}(\cos^2\theta - \sin^2\theta)$$
 
 정리하면 단면 2차 모멘트의 좌표 변환은 다음과 같다.

$$\begin{align} I_{y'} &= I_y\cos^2\theta + I_z\sin^2\theta -2I_{yz}\sin\theta\cos\theta \\\\ I_{z'} &= I_z\cos^2\theta + I_y\sin^2\theta +2I_{yz}\sin\theta\cos\theta \\\\ I_{y'z'} &= -(I_z-I_y) \sin\theta\cos\theta +I_{yz}(\cos^2\theta - \sin^2\theta) \end{align}$$

또는 삼각함수의 합차 공식을 이용해서,

$$\begin{align} I_{y'} &= \frac{1}{2}(I_y+I_z) + \frac{1}{2}(I_y-I_z)\cos2\theta - I_{yz}\sin2\theta \\\\  I_{z'} &= \frac{1}{2}(I_y+I_z) -\frac{1}{2}(I_y-I_z)\cos2\theta + I_{yz}\sin2\theta \\\\  I_{y'z'} &= -\frac{1}{2}(I_y-I_z)\sin2\theta +I_{yz}\cos2\theta \end{align}$$

 
 니가 왜 거기서 나와? 응력과 변형률의 변환과 동일하다는 것을 알 수 있다.
 

평면 응력의 변환 (Transformation of Plane Stress)

 

평면 변형률의 변환(Tranformation of Plane Strain)

 

2. 단면의 주축

 단면의 주축은 단면의 2차 모멘트가 최대 또는 최소가 되는 축을 말한다. 단면의 2차 모멘트가 최대가 되는 방향으로 굽힘 하중을 받도록 하면 굽힘 강성을 최대화할 수 있기 때문에 효율적인 구조 설계를 할 수 있게 된다.
 
 보통 부재의 축방향을 $x$로 두고 $z$축에 대한 굽힘을 생각하므로 보의 깊이(두께) 방향은 $y$축이 된다. 따라서 보통 굽힘을 다룰 때는 $I_z$를 굽힘에 대한 단면 2차 모멘트로 쓴다.
 
 $I_z$가 최대 또는 최소가 되는 각도 $\theta$는 위에서 구한 $I_{z'}$에 대한 일반식을 $\theta$에 대해 미분하여 구할 수 있다.
$$I_{z'} = \frac{1}{2}(I_y+I_z) - \frac{1}{2}(I_y-I_z)\cos2\theta - I_{yz}\sin2\theta$$
 
 위 식을 $\theta$에 대해 미분하면,
$$\frac{dI_{z'}}{d\theta} = 0 - \frac{1}{2}(I_y-I_z)(-2\sin2\theta) - I_{yz}(2\cos2\theta)$$
 
 위 미분이 0일 때의 $\theta$가 주축의 방향이 된다.
$$\frac{dI_{z'}}{d\theta} = 0 \Rightarrow \theta\rightarrow \theta_p$$
 
 따라서 다음과 같이 정리된다.
$$\therefore \frac{\sin2\theta_p}{\cos2\theta_p} = \frac{I_{yz}}{\frac{1}{2}(I_z-I_y)}$$
$$\therefore \tan2\theta_p = \frac{2I_{yz}}{I_z-I_y}$$
 

그림 2 주축의 방향

 
 그림 2에서 $\theta_{p1}$은 단면 2차 모멘트가 최대가 되는 방향, $\theta_{p2}$는 최소가 되는 방향이다. 모든 것이 주응력을 다룰 때 본 식과 같은 형태라는 것을 알 수 있다. 따라서 모어원도 쓸 수 있다.
 
$$\begin{align} R &= \sqrt{\frac{1}{4}(I_z-I_y)^2+I_{yz}^2} \\\\ I_{\text{max}} &= \frac{1}{2}(I_z+I_y) + R \\\\ I_{\text{min}} &= \frac{1}{2}(I_z+I_y) - R \end{align}$$
 
 주축 방향일 때 단면의 상승 모멘트는 어떻게 될까?
$$\begin{align} I_{yz}|_{\theta_p} &= -\frac{1}{2}(I_z-I_y)\sin2\theta_p + I_{yz}\cos2\theta_p \\\\ &= \frac{1}{2}(I_z-I_y)\left(\frac{I_{yz}}{R}\right) + I_{yz}\left(\frac{I_z-I_y}{2R}\right) \\\\ &= 0 \end{align}$$
 
 단면의 주축 방향에서 상승 모멘트는 0이 됨을 알 수 있다. 마치 주응력 방향에서 전단 응력처럼!
 

3. 여러 가지 단면의 주축

3.1. 사각형 단면

 

그림 3. 사각형 단면

 
 그림 3의 사각형 단면에 대한 단면 2차 모멘트는 다음과 같다.
$$\begin{align} I_y &= \frac{hb^3}{12} \\\\ I_z &= \frac{bh^3}{12} \\\\ I_{yz} &= 0 \end{align}$$
 
 모어원을 이용해 최대 최소를 구해보면 다음과 같다.
$$\begin{align} I_{\text{max,min}} &= \frac{1}{2}(I_z+I_y) \pm \sqrt{\frac{1}{4}(I_z-I_y)^2+I_{yz}^2} \\\\ & = \frac{1}{2}(I_z+I_y) \pm \frac{1}{2}(I_z-I_y) \end{align}$$
 
$$\begin{align} \therefore I_{\text{max}} &= I_z \\\\ I_{\text{min}} &= I_y \end{align}$$
 
 단면의 상승 모멘트가 0이므로 주축의 방향은 다음과 같다.
$$\therefore \tan2\theta_p = \frac{2I_{yz}}{I_z-I_y} = 0$$
$$\begin{align} \therefore \theta_{p'} &= 0^\circ \\\\ \theta_{p''} &= 90^\circ \end{align}$$
 
 계산해보면 0도일 때가 최대, 90도일 때가 최소이고 90도 회전한 것은 $I_y$와 같다.
 

3.2. 원형 단면

그림 4. 원형 단면

 
 원형 단면의 단면 2차 모멘트는 다음과 같다.
$$I_z = I_y = \frac{\pi r^4}{4}$$
 
 모어원을 이용해 최대 최소를 구해보면 다음과 같다.
$$\begin{align} I_{\text{max,min}} &= \frac{1}{2}(I_z+I_y) \pm \sqrt{\frac{1}{4}(I_z-I_y)^2+I_{yz}^2} \\\\ & = \frac{1}{2}(I_z+I_y) \\\\ &= I_z = I_y \end{align}$$
 
$$\begin{align} \therefore I_{\text{max}} &= I_z = I_y \\\\ I_{\text{min}} &= I_z = I_y \end{align}$$
 
 단면의 상승 모멘트가 0이고 $I_y = I_z$이므로 주축의 방향은 다음과 같다.
$$\therefore \tan2\theta_p = \frac{2I_{yz}}{I_z-I_y} = \frac{0}{0}$$
 
 응? 부정이 된다. 즉, 모든 방향이 주축이라는 뜻이다. 그럴듯하죠?
 

3.3. 정사각형 단면

 위의 그림 2에서 $b=h=a$인 정사각형 단면을 생각해보자.
$$I_y = I_z = \frac{a^4}{12}$$
 
 아래 그림 5과 같이 45도 회전된 정사각형도 생각해보자.

그림 5. 45도 회전된 정사각형 단면

 
 45도 회전된 정사각형 단면의 단면 2차 모멘트는 다음과 같다. 대칭 단면이므로 단면의 상승 모멘트는 역시 0이다.
$$\begin{align} I_{y'} &= \frac{1}{2}(I_y+I_z) + \frac{1}{2}(I_y-I_z)\cos90^\circ + I_{yz}\sin90^\circ \\\\ &= \frac{1}{2}(I_y+I_z) + \frac{1}{2}(I_y-I_z) + I_{yz} \\\\ &= I_y \\\\ I_{z'} &= \frac{1}{2}(I_y+I_z) -\frac{1}{2}(I_y-I_z)\cos90^\circ - I_{yz}\sin90^\circ \\\\ &= \frac{1}{2}(I_y+I_z) -\frac{1}{2}(I_y-I_z) - I_{yz} \\\\ &= I_z \end{align}$$
 
 정사각형 단면의 2차 모멘트는 회전 전과 후가 동일하다. 
  $$I_y = I_y' = I_z = I_z'$$
 
 다시 $I_y = I_z$이므로 단면의 상승 모멘트는 아래처럼 0이 되고 대칭 단면이니까 역시 그렇다는 것을 알 수 있다.
$$\begin{align} I_{y'z'} &= -\frac{1}{2}(I_y-I_z)\sin90^\circ +I_{yz}\cos90^\circ \\\\ &= -\frac{1}{2}(I_y-I_z) \\\\ &= 0 \end{align}$$
 
 단면 2차 모멘트가 같다는 것은 결론적으로 두 형상의 굽힘에 대한 저항이 동일하다는 것을 말한다. 다시 말해 굽힘 강성($EI$)이 동일한 것이다. 그러나 굽힘 응력을 보면 조금 다르다. 굽힘 응력의 최댓값은 보의 가장 바깥면에서 나타난다는 것을 우리는 알고 있다. 위 그림 5의 형상에서 중립 축에서 가장 멀리 떨어진 거리는 회전하기 전에 $a/2$이고 45도 회전한 형상은 $a/\sqrt{2}$이다. 즉 45도 회전한 형상의 최대 거리가 더 크다.
 
 굽힘 응력을 구하는 식은 다음과 같다. 
$$\sigma = -\left(\frac{M}{I}\right)y$$
 
 두 형상에 대해 굽힘 응력을 구해보자. 0도 회전한 형상의 최대 굽힘 응력은 다음과 같다.
$$\sigma' = -\left(\frac{M}{I_z}\right)a = \frac{6M}{a^3}$$
 
 45도 회전한 형상의 최대 굽힘 응력은 다음과 같다.
$$\sigma' = -\left(\frac{M}{I_z}\right)\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}M}{a^3}$$
 
 강성은 동일하지만 45도 회전한 형상이 $\sqrt{2}$배 더 큰 굽힘 응력을 받게 되어 설계에 불리하다는 것을 알 수 있다.