1. 분포 하중과 전단 응력, 그리고 모멘트

1.1. 분포 하중이 작용하는 보

그림 1. 분포 하중이 작용하는 보

 

 그림 1과 같은 보에 $q(x)$의 분포 하중(distributed load)가 작용하고 있다. 여기에서 아주 작은 크기 $dx$에 해당하는 부분을 확대해서 그림 2에 나타내고 하중 상태를 표시했다. 특별한 것은 없고 구배(gradient)에 의한 하중 증분이 반영되어 있다. 

 

그림 2. 미소 영역의 하중 상태

 

1.2. 힘의 평형(Force Equilibrium)

 그림 2에서 힘의 평형 방정식은 다음과 같다.

$$ \sum{F_y} = -V + \left(V + \frac{dV}{dx}dx\right) + q(x)dx = 0 $$

$$ \therefore \frac{dV}{dx} + q(x) = 0 $$

 

1.3. 모멘트의 평형(Moment Equilibrium)

 모멘트 평형은 다음과 같다.

$$ \sum{M_z}|_{x+dx} = -M + \left(M + \frac{dM}{dx}dx\right) + Vdx - q(x)dx\left(\frac{dx}{2}\right) = 0 $$

 

 위 식에서 마지막 항의 ${dx}^2$은 아주 작은 $dx$를 제곱한 것으로 나머지 항에 비해 너무너무 작기 때문에 무시할 수 있다.

$$ \therefore \frac{dM}{dx} + V = 0 $$

 

1.4. 모멘트와 분포 하중 사이의 관계

 위의 모멘트 평형의 결과로 모멘트와 전단 응력의 관계를 구했다.

$$ \frac{dM}{dx} = -V(x) $$

 

 위 식을 한 번 더 미분 해보자.

$$ \frac{d^2M}{{dx}^2} = -\frac{dV}{dx} $$

 

 힘의 평형에서 전단 응력의 미분은 분포 하중이 됨을  알 수 있었다.

$$ \frac{dV}{dx} = -q(x) $$

 

 따라서 모멘트와 분포 하중은 다음 관계를 갖는다.

$$ \therefore \frac{d^2M}{{dx}^2} = q(x) $$

 

2. 예제

그림 3. 등분포 하중이 작용하는 단순보

 

 그림 3에 등분포 하중 $-q_0$가 작용하는 보를 나타냈다.

 

2.1. 반력의 결정

 평형 방정식은 다음과 같다.

\begin{align} \sum{F_x} &= A_x = 0 \\\\ \sum{F_y} &= A_y + B_y - q_0L = 0 \\\\ \sum{M_z}|_A &= B_yL -q_0L\cdot\frac{L}{2} = 0 \end{align}

 

$$ \therefore A_y = B_y = \frac{q_0L}{2} $$

 

2.2. 내력의 결정

그림 4. 분할법에 의한 내력의 결정

 

 그림 4와 같이 $x$ 위치에서의 내력을 구해보자. 자동으로 평형 방정식을 만들어야 한다.

\begin{align} \sum{F_x} &= A_x + F = 0 \\\\ \sum{F_y} &= A_y + V - q_0x = 0 \\\\ \sum{M_z}|_A &= = -q_0x\cdot\frac{x}{2} + Vx + M = 0 \end{align}

 

 위 식을 정리해서 내력을 구하면 다음과 같다.

\begin{align} F &= 0 \\\\ V &= q_0x - A_y \\\\ &= q_0x - \frac{q_0L}{2} \\\\ M &= \frac{q_0x^2}{2} - Vx \\\\ &= \frac{q_0x^2}{2} - q_0x^2 - \frac{q_0Lx}{2} \\\\ &= -\frac{q_0x^2}{2} - \frac{q_0Lx}{2} \end{align}

 

\begin{align} \therefore F &= 0 \\\\ V &= q_0x - \frac{q_0L}{2} \\\\ M &= -\frac{q_0x^2}{2} + \frac{q_0Lx}{2} \end{align}

 

2.3. 전단 응력과 분포 하중

 위에서 구한 전단 응력을 미분해보자.

$$ \frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}\left(q_0x - \frac{q_0L}{2}\right) = q_0 $$

 

 이 예제에서 분포 하중은 다음과 같다.

$$ q(x) = -q_0 $$

 

 따라서 다음 분포 하중과 전단 응력 사이의 관계가 성립한다.

$$ \frac{dV}{dx} = -q(x) = q_0 $$

 

2.4. 굽힘 모멘트와 전단 응력

 위에서 구한 굽힘 모멘트를 미분해보자.

$$ \frac{dM}{dx} = \frac{d}{dx}\left(-\frac{q_0x^2}{2} + \frac{q_0Lx}{2}\right) = -q_0x + \frac{q_0L}{2} $$

 

 위에서 구한 전단 응력은 다음과 같다.

$$ V = q_0x - \frac{q_0L}{2} $$

 

 따라서 굽힘 모멘트와 전단 응력 사이의 관계가 성립한다.

$$ \frac{dM}{dx} = -V(x) = -q_0x + \frac{q_0L}{2} $$

 

2.5. 굽힘 모멘트와 분포 하중

 굽힘 모멘트를 두 번 미분하면 다음과 같다.

$$ \frac{d^2M}{{dx}^2} = \frac{d^2}{{dx}^2}\left(-\frac{q_0x^2}{2} + \frac{q_0Lx}{2}\right) = -q_0 $$

 

 따라서 다음의 관계가 성립한다.

$$ \frac{d^2M}{{dx}^2} = q(x) $$ 

  • 네이버 블러그 공유하기
  • 네이버 밴드에 공유하기
  • 페이스북 공유하기
  • 카카오스토리 공유하기