엄마가 공부하랄 때 할 걸/푸리에 해석 검색 결과

8 개의 검색 결과가 있습니다.

엄마가 공부하랄 때 할 걸/푸리에 해석

디랙 델타 함수 (Dirac delta function)

Dirac delta function이라고도 부르는 충격 함수는 인덱스가 같으면 1, 다르면 0을 의미하는 크로네커 델타(Kronecker's delta)의 연속 함수 형태이다. 폴 디랙(Paul Dirac) 선생님이 무려 25세 때 양자 역학 책을 쓰면서 소개한 개념이라고 하니 역시 천재는 다르구나 싶다. 사실 학교 다닐 때에는 충격 함수를 보고 "뭐 이런 더러운 함수가 다 있어"라고 생각했다. 대천재 폰 노이만 선생님도 수학적인 관점에서 망상이라고 했다고 하니 쓸데없이 뿌듯한 생각이 든다. 내가 하면 무식한 소리지만 이런 위대한 분들이 하면 뭔가 이유가 있을 것이다. 아무튼 그때는 억지로 만든 정의라고 생각하면서 꾸역꾸역 문제나 풀었는데 이제서야 다시 보니 신호처리나 시스템 해석에서 아주 중요한 개념..

2021. 1. 24. 01:40

엄마가 공부하랄 때 할 걸/푸리에 해석

이산 시간 푸리에 급수 (Discrete Time Fourier Series)

학교 수업에서는 연속 함수에 대한 변환 까지만 강의하는 경우가 부지기수다. 하지만 실제로는 거의 대부분 이산 신호를 다루기 때문에 졸업하고 실무에 들어가면 멘붕이 오고 뭔가 배우긴 했던 것 같은데 어떻게 써야하는지 갈피를 잡을 수 없게 된다. 사실 배운적이 없으니 그럴 수 밖에! 우리는 보통 컴퓨터나 데이터 수집 보드(Data Acquisition Board)를 이용해 신호를 수집하고 그 결과로 일정한 시간 간격마다 숫자로 이루어진 측정값들의 나열을 얻는다. 따라서 이산 신호를 처리하는 방법의 출발인 이산 시간 푸리에 급수(Discrete Time Fourier Series, DTFS)를 반드시 알아 둘 필요가 있다. 특히 우리가 최종적으로 사용하게 될 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Trans..

2021. 1. 7. 22:07

엄마가 공부하랄 때 할 걸/푸리에 해석

연속 시간 푸리에 변환 (CTFT, Continuous Time Fourier Transform)

1. 적분 변환 적분 변환은 원래의 함수를 적분 형태를 통해 다른 변수에 대한 함수로 변환하는 것을 말한다. 푸리에 변환은 이런 적분 변환의 하나이다. 푸리에 급수를 이용하면 조화 함수의 합으로, 그러니까 기본 주파수의 정수배가 되는 정현파의 합으로 주기 함수를 표현할 수 있었다. 그러나 이런 주기 함수뿐만 아니라 비주기 함수를 다뤄야 할 때가 많이 있다. 어떤 비주기 함수의 길이가 $2L$일 때 이 길이를 가상의 '주기'로 생각해보자. 이 함수가 $2L$마다 계속해서 반복한다고 생각하면 주기 함수로 생각해 푸리에 급수를 적용할 수 있을 것이다. 이 상태에서 함수의 주기를 무한대로 보내면 영원히 '반복되지 않는' 주기 함수가 된다. 이와 같은 방법으로 비주기 함수에 푸리에 급수의 아이디어를 적용할 수 있..

2020. 12. 26. 19:30

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푸리에 변환 (Fourier Transform)

푸리에 급수를 이용하면 임의의 주기 함수를 기본 주파수의 정수배가 되는 정현파의 합으로 나타낼 수 있다. 여기에서 한번 더 나아가 푸리에 급수의 주기를 무한대로 확장하면 비주기 함수를 다룰 수 있게 된다. 이때 주기가 무한대가 되면서 합산(summation)이 적분으로 바뀌고 기존 함수의 변수에서 다른 변수에 대한 함수로 변환된다. 이렇게 적분식의 형태로 표현되면서 함수의 도메인을 바꾸는 것을 적분 변환이라 한다. 1. 비주기 함수를 주기 함수로 표현 하기 인위적인 신호는 주기 함수인 경우가 많다. 예를 들어 전자회로에서 동작 클럭을 확인한다면 주기적인 사각파를 얻게 되된다. 그러나 소음이나 진동에 관련된 신호는 시간에 따라 무작위로 나타나는 랜덤 신호가 될 것이다. 이런 랜덤 신호는 비주기 특성을 보이..

2020. 12. 26. 16:44

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연속 시간 푸리에 급수 (CTFS, Continuous Time Fourier Series)

푸리에 급수는 임의의 주기 함수를 조화 함수의 합으로 나타내는 것이다. 덕분에 우리는 어떤 주기 함수를 삼각 함수의 합으로 분해할 수 있다는 것을 알았다. 따라서 어떤 못생긴 파동은 잘생긴 파동들의 합으로 표현할 수가 있게 된다. 여기부터는 일반적으로 신호처리에 사용하는 시간에 대한 함수로 $f(t)$를 다룬다. 푸리에 선생님: 임의의 주기 함수는 삼각함수의 합이다. 지난 시간에 푸리에 급수도 구할 수 있게 됐으니 심심해서 삼각파의 푸리에 계수도 구해 보고 사각파도 한 번 구해보면서 즐거운 시간을 갖다보면 같은 주파수의 $\sin$파와 $\cos$파가 계속 함께 나타난다는 것을 알 수 있다. $$ f(t) = c_0+\sum_{ n=1 }^{ \infty } \left[ a_n \cos {\left( n..

2020. 12. 23. 23:01

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푸리에 급수 (Fourier Series)

우리 모두는 고등학교 때 무한급수를 열심히 공부한 경험이 있다. 이 급수를 한자로 써보면 級數인데 차례를 말하는 '급'자에 숫자 할 때 '수'이다. 차례로 있는 수라니? 얼핏 수열의 느낌이 들지만 급수는 그 숫자들을 차례차례 더한 것이다. 이때 급수의 항이 무한개가 있으면 익히 알고 있는 무한급수이다. 임의의 함수를 다항식의 무한급수로 표현하는 테일러 급수도 무한급수이다. 마찬가지로 오늘 설명할 푸리에 급수도 무한급수이다. 푸리에 급수와 변환에 대한 자세한 증명 과정은 한참 사용하다가 급수와 변환에 익숙해지고 나면 그때 깊이 있게 공부해도 좋다. 왜냐하면 우리는 일단 잘 써먹는 것이 중요하다. 더욱이 푸리에 급수의 응용은 증명에 비해 단순하기 때문에 시작부터 어려운 증명 과정에 진이 빠져서는 안 된다. ..

2020. 12. 22. 01:29

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테일러 급수 전개 (Taylor Series Expansion)

학부 1, 2학년 때 배우는 테일러 급수는 너무 유명해서 모르는 사람이 없다. 테일러 급수를 이용하면 임의의 함수를 우리가 쉽게 다룰 수 있는 다항식으로 근사할 수 있다. 이를 이용하면 삼각함수 표 없이도 삼각함수를 근사 다항식으로 쉽게 계산해 내거나 초월 함수를 계산할 수 있게 된다. 그리고 비율 판정을 쉽게 할 수 있다는 장점있다. 1. 테일러 급수의 유도 테일러 급수를 유도하는 방법은 미분을 이용하는 것이 이해하기 쉽다. 점 $x=a$에서의 미분은 아래와 같다. $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \cdots (1) $$ $\epsilon-\delta$ 정의를 이용하고 $\epsilon\left|x-a\right|$를 $R_1(x)$로 쓰면 아래처럼..

2020. 12. 22. 01:29

엄마가 공부하랄 때 할 걸/푸리에 해석

직교성(orthogonality)의 공학적 의미

우리가 자주 사용하는 공학 도구들이 직교성에서 출발하는데도 아쉽게도 학교에서 공부할 때에는 그 중요성을 잘 인지하지 못했다. 결론부터 말하자면 직교는 독립의 충분조건(sufficient condition)이다. 직교하면 독립이지만 독립이라고 해서 반드시 직교는 아니다. 하지만 직교한다는 것만 확인한다면 어떤 물리량을 서로 독립된 특성들로 분리해서 늘어놓을 수 있게 된다. 심지어는 요즘에는 소프트웨어 개발 분야에서도 orthogonal이라는 용어를 사용하는 듯하다. 소프트웨어 개발에 직교라니 뭔 소리야 하겠지만 끝까지 읽어보면 이것도 별 다를 게 없는 의미구나 하는 생각이 들 것이다. 그럼 이게 뭔 소린지 같이 알아보자. 1. 선형 종속(linear dependence) 두 벡터가 그림 1처럼 같은 선상에..

2020. 12. 22. 01:25