엄마가 공부하랄 때 할 걸/공돌이 필수 검색 결과

17 개의 검색 결과가 있습니다.

엄마가 공부하랄 때 할 걸/공돌이 필수

회전변환 - 내적을 이용한 쉽고 빠른 좌표 변환 및 회전

1. 좌표 변환 공간상에 어떤 점이 있다고 하자. 이 점들을 다른 좌표계에서 보고 싶다면 회전 변환을 이용할 수 있을 것이다. 그러나 회전변환은 회전축을 고려해야 하는 점이 머리가 아프다. 특히 회전각이 크다면 회전 순서에  따라 그 결과 또한 달라지기 때문에 좌표계를 어떻게 회전해야 할지 머리를 조금 써야 한다. 거기에 90도 회전하면서 다른 축과 종속되면 김벌 잠금(gimbal lock)에 빠져서 제자리에서 도는 상태가 되고 만다.  2. 내적 우리는 내적을 공부하면서 내적의 의미를 생각해본 적이 있다. 내적은 단순한 연산이 아니라 두 벡터가 얼마나 닮았는지를 알려주는 도구였다. 예를 들어 어떤 벡터 $\bf{a}$가 있을 때 다른 단위 벡터 $\bf{n}$과 내적하면 $\bf{n}$ 방향에 해당하는..

2024. 12. 12. 21:35

엄마가 공부하랄 때 할 걸/공돌이 필수

기초선형대수 - 볼록성 (Convexity)

-Basic Linear Algebra- 8. 볼록성(Convexity) 8.1. 대충 설명하자면.. 오늘은 볼록성에 대해 알아보자. 볼록성은 말 그대로 볼록하냐 안 하냐를 말하는 것이다. 예를 들어 볼록렌즈는 마냥 볼록하다. 무슨 소리냐 하면 렌즈면이 볼록할 뿐 중간에 조금이라도 움푹 들어간 부분이 없다는 뜻이다. 오목렌즈는 오목(concave)하다. 마찬가지로 오목렌즈는 렌즈면이 오목할 뿐 중간에 뽈록 튀어나온 부분이 없는 것이다. 그리고 우리는 직관적으로 이 볼록렌즈나 오목렌즈의 정점(vertex)이 렌즈면 중에서 가장 높거나 가장 낮다는 것을 알고 있다. 이와 유사하게 만약 어떤 함수가 볼록하다는 것을 알고 있으면 그 구간 안에 극소점(minimum)이 반드시 딱 한 개만 있을 것이고 그것이 곧 ..

2022. 8. 31. 01:37

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기초 선형대수 - 양정 행렬(Positive Definite)

-Basic Linear Algebra- 8. 양정과 양반정(Positive definite and Positive semi-definite) 8.1. 정의(Definition) 실수 공간에 있는 모든 벡터 $\boldsymbol{x}$에 대해 $\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \ge 0$이고 오직 $\boldsymbol{x}=0$일 때만 $\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$을 만족한다면 이 이차 형식은 양정(positive definite)이라 한다. 또는 대칭 행렬 $\boldsymbol{A}$는 양정이라 한다. \begin{align} &\boldsymbol{x}..

2022. 8. 28. 00:32

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기초 선형대수 - 이차 형식(Quadratic Form)

-Basic Linear Algebra- 7. 이차 형식(Quadratic Form) 7.1. 정의(Definition) 이차 형식은 함수의 꼴이 이차 다항식인 것을 말한다. 이를 표현하면 다음과 같다. $$\begin{align} f(\boldsymbol{x}) &= \boldsymbol{x}^{\mathsf{T}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x} \\\\ &= q_{11}x_1^2 + q_{22}x_2^2 + \cdots + q_{nn}x_n^2 + q_{12}x_1x_2 + \cdots + q_{n,n-1}x_nx_{n-1} \end{align}$$ 위 식에서 행렬 $\boldsymbol{Q}$는 크기가 $n \times n$인 계수 행렬이 된다. 간단한 예로 어떤 행렬 $\bolds..

2022. 8. 27. 02:40

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기초 선형대수 - 고유값과 고유벡터(Eigenvalue and Eigenvector)

-Basic Linear Algebra- 6. Eigenvalue and Eigenvector 6.1. Definition $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$인 어떤 행렬 $\boldsymbol{A}$가 있다고 하자. $\boldsymbol{A}$는 실수 원소를 갖는 $n \times n$ 크기의 정방 행렬이다. 그리고 $\boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V}^n$인 어떤 벡터 $\boldsymbol{v}$가 있다고 하자. 여기에서 $\boldsymbol{V}$는 n-dimensional subspace를 말한다. 이 때 0이 아닌 $\lambda$가 존재하고 다음을 만족하는 경우에 $\lambda$를 고유치(eigenvalue), 그리..

2022. 6. 30. 21:27

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기초 선형대수 - 내적(Dot Product)

-Basic Linear Algebra- 5. Dot Product (내적) 5.1. Definition $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$에 대하여, $$\begin{align} \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle &= \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} = \boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{y} \\\\ &= \sum_{i=1}^{n}x_iy_i = \|x\|\|y\|\cos\theta \end{align}$$ 여기에서 $\|x\|=\sqrt{\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle} = \sqrt{\boldsy..

2022. 6. 30. 21:04

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기초 선형대수 - 용어(Terminology)

-Basic Linear Algebra- 4. Termonology (용어) 4.1. Span (생성) 다음과 같은 벡터들이 있다고 하자. $$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k \in \mathbb{R}^n$$ $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k$의 span은 모든 선형 결합들의 집합이다. 즉 벡터 공간 상에 존재하는 이 벡터들로 이루어진 조합의 모든 경우의 수를 말한다. 따라서 "span a space"는 공간을 형성(또는 생성)한다는 뜻이다. $$\text{span}\left[\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots,..

2022. 4. 5. 02:07

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기초 선형대수 - 선형 결합과 선형 독립(Linear Combination and Linear Independence)

-Basic Linear Algebra- 3. Linear Combination (선형 결합) 3.1. Linear Combination (선형 결합) 아래와 같이 일련의 항들을 상수배하여 더한 것을 선형 결합이라 한다. $$c = \sum_{i=1}^{n}x_iy_i = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$$ 아래와 같은 선형 방정식이 있다고 하자. 아래 방정식에서 $\boldsymbol{x}$와 $\boldsymbol{y}$는 $(n\times 1)$ 크기를 갖고 $\boldsymbol{A}$는 $(n\times n)$ 크기를 갖는 정사각 행렬(square matrix)이다. $$ \boldsymbol{y} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \Long..

2022. 4. 5. 01:30

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기초 선형대수 - 벡터, 행렬, 집합(Vector, Matrix, and Set)

-Basic Linear Algebra- 1. Vector & Matrix (벡터 & 행렬) 1.1. Vector (벡터) 벡터는 다음과 같이 쓴다. 기본적으로 벡터는 열벡터(column vector)로 쓰고 문서에 표기할 때는 공간을 절약하기 위해 전치(transpose)로 나타내곤 한다. $$\begin{align} &\boldsymbol{x} = [x_1, x_2, \cdots, x_n]^{\mathsf{T}} &\text{n-dimensional column vector} \\\\ &\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}} = [x_1, x_2, \cdots, x_n] &\text{n-dimensional row vector} \end{align}$$ $$ \boldsymbol{x} \in \m..

2022. 4. 5. 01:29

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회전 변환 (점의 회전/좌표계의 회전) - 방향 여현(Direction Cosine)

1. 방향 여현(Direction cosines) 어떤 벡터 $\boldsymbol{v}$가 좌표계의 기저 벡터들(basis vectors)과 이루는 각의 코사인(cosine)을 방향 여현(directional consines)라고 한다. $$\cos\theta = \frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_x}{||\boldsymbol{v}||}$$ 방향 여현은 꼭 기저 벡터를 대상으로 하지 않더라도 두 벡터 사이의 각에 대한 코사인 값을 말하기도 한다. 내적의 의미는 고등학교 때 정사영의 의미로 많이 배웠겠지만 조금 더 확장하자면 내적은 두 벡터가 얼마나 유사한지를 나타내는 척도가 된다. 두 벡터를 크기가 1인 단위 벡터로 두었을 때 두 벡터의 방향이 완전히 일치하면 내적..

2021. 5. 25. 20:00

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회전 변환 (점의 회전/좌표계의 회전) - 오일러 공식(Euler's Formula)

1. 오일러 공식(Euler's Formula) 오일러의 공식을 이용하면 삼각함수의 합차 공식을 외우고 있지 않더라도 삼각함수의 합차 연산을 할 수가 있다. $$e^{j\theta} = \cos{\theta} + j\sin{\theta}$$ 여러분이 삼각함수 합차 공식을 잘 외우고 있다면 아래 에 오일러 공식을 이용한 방법을 건너뛰고 바로 계산해도 된다. 2. 점의 2차원 회전 변환 어떤 점 $\boldsymbol{P}$가 좌표축의 원점을 기준으로 $\theta$만큼 회전한 위치를 알고 싶다고 하자. 고등학교 때 6차 교육과정을 받은 노인들까지는 좌표 변환을 수학 시간에 공부했기 때문에 금방(?) 회전 변환을 생각해내고 찾아볼 수 있겠지만 7차 교육과정 이후로는 좌표 변환이 교육과정에서 빠졌다. 대체..

2021. 3. 28. 16:34

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선형성 (Linearity)

1. 그냥 옛날 생각 얼마 전 회의 시간에 선형이라 괜찮다는 이야기가 나오자 대장께서 물으셨다. "그런데 선형이라는 게 뭐죠?" "..." 일동 침묵했고 누군가가 이렇게 대답했다. "직선이라는 거죠" "..." 또다시 일동 침묵했고 누군가가 이렇게 부연 설명을 했다. "입력을 나눠서 넣어도 된다는 소리죠" "..." 대충은 다 맞는 말이었지만 더 이상 논의는 없었고 그렇구나 하면서 다음 이야기가 바쁘게 진행되었다. 이런저런 이야기가 오가는 답답한 회의실에서 나는 혼자 추억에 잠겼다. '선형이란..' 담장에 개나리 꽃이 피어오르던 어느 날, 스쿠터가 가득한 골목길을 지나고 자욱한 담배연기를 헤치며 구름다리를 지나 강의실에 들어섰다. 젊은 교수님은 전기공학을 가르치고 있었다. 막 군대에서 출소해 강제 노역에..

2021. 3. 27. 19:09

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모델의 적합성과 결정 계수 (Accuracy Measure)

(1) 보간과 회귀 (2) 쉬운 방법 (3) 통계 방법 (4) 일반적인 방법 (5) 모델의 적합성과 결정 계수 지금까지 근사 모델을 만들어 봤다. 이 모델이 오차가 최소가 되는 것은 알겠는데 내가 적당한 모델을 가정했는지 판단이 안 된다. 만약 실제 현상은 지수 증가인데 선형 증가로 모델링 했다면 오차의 합이 최소가 되는 선형 모델은 얻겠지만 실제 현상과는 동떨어진 엉뚱한 모델을 사용하게 될 것이다. 그럼 이제 이 모델이 얼마나 현상을 잘 표현해 주는지를 따져봐야 한다. 1. 결정 계수 (the coefficient of determination) 대개 모델이 얼마나 잘 맞는지 알려주는 파라미터로 $R^2$를 사용하는 것은 잘 알고 있다. 학교에서 여기까지는 알려주기 때문이다. 그래도 까먹었으니 이제부터..

2020. 12. 22. 01:27

엄마가 공부하랄 때 할 걸/공돌이 필수

최소제곱법(Least Square Method) - 일반적인 방법

(1) 보간과 회귀 (2) 쉬운 방법 (3) 통계 방법 (4) 일반적인 방법 (5) 모델의 적합성과 결정 계수 1. 일반적인 접근 앞서 알아본 단순선형회귀보다 더 일반적인 다중선형회귀 모델을 만들어서 생각해보자. 지난번과 마찬가지로 $n$개의 데이터 세트를 가지는 $m$개의 입력 변수 $f_i^{(j)}$와 출력 $y_i$가 있다. 단, $(i = 1, 2, ..., n), (j = 1, 2, ..., m)$ $$y^e(\boldsymbol{x}) = b_j(\boldsymbol{x})c^j$$ 여기서 $y^e$는 모델의 출력이고, $c$는 계수 벡터, $b$는 기저 벡터(basis vector)라고 하며 아래와 같다. 여기서 $f^{(j)}$는 $j$번째 변수(variable, predictor..

2020. 12. 22. 01:27