일반 굽힘(General Bending)

목차

• 1. 일반 굽힘 (General Bending)
  • 2.1. 응력 상태 (Stress State)
  • 2.2. 굽힘 모멘트와의 관계
  • 2.3. 굽힘에 대한 일반 응력식 (General Bending Stress Formula)
• 3. 여러 가지 예
  • 3.1. 대칭 단면의 이축 굽힘
  • 3.2. 대칭 단면의 단축 굽힘
  • 3.3. 비대칭 단면의 단축 굽힘

1. 일반 굽힘 (General Bending)

 지금까지는 길이 방향이 $x$방향인 보에 굽힘 모멘트 $M_z$만 작용하는 단축 굽힘에 대해서만 다뤘으나 3차원 보에는 그림 2처럼 굽힘 모멘트 $M_y$도 작용할 수 있다. 실제 보는 두 방향의 모멘트를 동시에 견디는 것이 일반적이기 때문에 이런 경우 보에 작용하는 응력 상태와 굽힘 거동에 대해 알아볼 필요가 있다. 이런 경우를 이축 굽힘(double axes bending)이라 한다.

 

 또한 지금까지는 굽힘 응력을 다룰 때 단면이 대칭인 경우만을 다뤘으나 단면이 비대칭인 경우를 생각해볼 필요가 있다. 이런 경우를 비대칭 굽힘(unsymmetric bending)이라고 한다. 앵글이나 채널 단면이 대표적인 비대칭 단면이며 이런 경우에는 중립면(neutral plane)이 틀어지게 된다. 앞으로 천천히 알아보자.

 

2.1. 응력 상태 (Stress State)

 보의 응력 상태는 각 방향의 모멘트가 단독으로 작용하는 경우에 대해 그림 2처럼 나타낼 수 있다. 

 

그림 1. 단축 굽힙 하중 하의 응력 상태

 

 두 방향으로 모멘트가 동시에 작용하는 이축 굽힘의 응력 상태는 중첩의 원리(principle of superposition)를 이용해 단축 굽힘 결과를 합한 것으로 생각할 수 있다.

$$\sigma_x = \sigma_x^{(1)} + \sigma_x^{(2)} = C_1y + C_2z$$

 

2.2. 굽힘 모멘트와의 관계

 굽힘 모멘트와 응력 사이의 관계를 이용해 미지의 계수 $C_1$과 $C_2$를 결정할 수 있다.

 

그림 2. 이축 굽힘

 

 단면의 미소면적에 작용하는 굽힘 모멘트와 응력 사이의 관계는 다음과 같다.

$$\begin{align} dM_z &= -\sigma_xdA\cdot y \\\\ &= \sigma_x(-y)dA \end{align}$$

$$\therefore M_z = \int_A \sigma_x(-y)dA$$

 

$$\begin{align} dM_y &= \sigma_xdA\cdot z \\\\ &= \sigma_x\cdot zdA \end{align}$$

$$\therefore M_y = \int_A \sigma_x\cdot z dA$$

 

 다시 맨 처음 결정한 응력 $\sigma_x = C_1y + C_2z$$를 대입하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$$\begin{align} M_z &= \int_A \sigma_x(-y)dA \\\\ &= \int_A (C_1y + C_2z)(-y)dA \\\\ &= -C_1\int_A y^2 dA - C_2\int_A yz dA \end{align}$$

$$\therefore M_z = -C_1I_z -C_2I_{yz}$$

 

$$\begin{align} M_y &= \int_A \sigma_x z dA \\\\ &= \int_A (C_1y + C_2z)zdA \\\\ &= C_1\int_A yz dA + C_2\int_A z^2 dA \end{align}$$

$$\therefore M_z = C_1I_{yz} -C_2I_{y}$$

 

 위의 두 식을 연립하면 $C_1$과 $C_2$를 얻을 수 있다.

$$\begin{align} C_1 &= -\frac{M_yI_{yz} + M_zI_y}{I_yI_z - I_{yz}^2} \\\\ C_2 &= \frac{M_yI_z + M_zI_{yz}}{I_yI_z - I_{yz}^2} \end{align}$$

 

2.3. 굽힘에 대한 일반 응력식 (General Bending Stress Formula)

 이를 다시 $\sigma_x$에 대입하여 정리하면 다음과 같다. 이것이 굽힘에 대한 일반 응력식이다.

$$\begin{align} \sigma_x &= C_1y + C_2z \\\\ &= \frac{1}{I_yI_z - I_{yz}^2}\left[-(M_yI_{yz} + M_zI_y)y + (M_yI_z + M_zI_{yz})z\right] \end{align}$$

 

 중립면은 수직 응력 $\sigma_x$가 0이 되는 면이다. 따라서 일반 응력식이 0이 되는 경우를 보면 다음과 같다.

$$(M_yI_{yz} + M_zI_y)y = (M_yI_z + M_zI_{yz})z$$

 

 따라서 다음과 같이 각도로 정의할 수 있고 이것은 중립면의 기울기가 된다.

$$\therefore \tan\beta = \frac{z}{y} = \frac{M_yI_z + M_zI_{yz}}{M_yI_{yz} + M_zI_y}$$

 

그림 3. 중립면의 위치

 

3. 여러 가지 예

3.1. 대칭 단면의 이축 굽힘

 대칭 단면의 경우 단면의 상승모멘트는 0이다.

$$I_{yz} = 0$$

 

 따라서 대칭 단면에 대한 일반 응력식은 다음과 같이 정리된다.

$$\begin{align} \sigma_x &= \frac{1}{I_yI_z - I_{yz}^2}\left[-(M_yI_{yz} + M_zI_y)y + (M_yI_z + M_zI_{yz})z\right] \\\\ &= \frac{1}{I_yI_z }\left[-M_zI_y y + M_yI_z z\right] \\\\ &= -\frac{M_z}{I_z}y + \frac{M_y}{I_y}z \end{align}$$

 

 중립면은 $\sigma_x=0$인 경우에 대해 구하고 다음과 같다.

$$\frac{M_z}{I_z}y = \frac{M_y}{I_y}z$$

$$\therefore \tan\beta = \frac{M_zI_y}{M_yI_z}$$

 

3.2. 대칭 단면의 단축 굽힘

 대칭 단면의 단축 굽힘은 위의 대칭 단면의 이축 굽힘에서 $M_y=0$인 경우이다. 대입하고 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{align} \sigma_ x &= -\frac{M_z}{I_z}y + \frac{M_y}{I_y}z \\\\ &= -\frac{M_z}{I_z}y \end{align}$$

 

 중립면은 다음과 같다.

$$\frac{M_z}{I_z}y = \frac{M_y}{I_y}z = 0$$

 

 여기에서 $M_z \neq 0$이고 $I_z \neq 0$이므로 중립면은 다음과 같다.

$$\therefore y=0$$

 

 지금까지 우리가 주구장창 다뤄왔던 결과와 같다.

 

3.3. 비대칭 단면의 단축 굽힘

 비대칭 단면에 $M_z$만이 작용한다고 하면 $M_y =0$으로 놓고 일반 응력식에서 삭제할 수 있다. 이것이 비대칭 단면의 굽힘 응력식이다.

$$\begin{align} \sigma_x &= \frac{1}{I_yI_z - I_{yz}^2}\left[-(M_yI_{yz} + M_zI_y)y + (M_yI_z + M_zI_{yz})z\right] \\\\ &= \frac{M_z}{I_yI_z - I_{yz}^2}(I_y y + I_{yz} z) \end{align}$$

 

 중립면은 $\sigma_x=0$인 경우에 대해 구하고 다음과 같다.

$$I_y y = I_{yz}z$$

$$\therefore \tan\beta = \frac{z}{y} = \frac{I_y}{I_{yz}}$$