1. 변형률 텐서 (Strain Tensor) 3차원 계(system)의 변형률 텐서는 다음과 같다. $$ \boldsymbol{\epsilon} = [ϵxxϵxyϵxzϵyxϵyyϵyzϵzxϵzyϵzz] = \begin{bmatrix} \epsilon_{x} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_y & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy..
1. 응력과의 관계 변형률의 변환은 응력의 변환 공식에서 응력 성분을 아래처럼 치환해주기만 하면 된다. σx→ϵxσy→ϵyτxy→12γxy 2. 주변형률 (Principal Strain) 주변형률은 최대 수직 변형률이다. 응력과 마찬가지로 변환 공식을 미분하여 극대 극소를 구할 수 있다. 하지만 형태가 같으므로 응력 변환 공식에서 변수를 치환하면 아래와 같다. $$ \epsilon_{1, 2} = \frac{1}{2}(\epsilon_x + \epsilon_y) \pm \frac..
1. 변환 공식 우리는 이미 응력의 변환을 공부했으니 텐서의 변환을 공부한 셈이다. 변형률도 응력과 마찬가지로 텐서의 변환을 할 수 있다. 응력의 변환은 아래와 같다. \begin{align} \sigma_{x'} &= \sigma_x\cos^2{\theta} + \sigma_y\sin^2{\theta} +2\tau_{xy}\cos{\theta}\sin{\theta} \\\\ \sigma_{y'} &= \sigma_x\sin^2{\theta} + \sigma_y\cos^2{\theta} -2\tau_{xy}\sin{\theta}\cos{\theta} \\\\ \tau_{x'y'} &= -(\sigma_x-\sigma_y)\sin{\theta}\cos{\theta} + \tau_{xy}(\cos^2{\th..
1. 평면 변형률 (Plane Strain) 잠시 평면 응력(plane stress)을 다시 생각해보자. 평면 응력 상태는 의미 있는 응력 성분이 하나의 평면 상에 존재하는 상태를 말한다. 예를 들어 두께가 얇은 경우에는 면외 저항을 거의 하지 않기 때문에 두께 방향으로 상대 변위가 거의 없다. 따라서 두께 방향 응력이 아주 작게 되어 σz=0으로 취급하고 2차원 응력 상태로 다룰 수 있게 된다. σz=0,τxz=0,τyz=0 $$ [σ] = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx}..
1. 변형과 변위 1.1. 변위 (displacement) 변위는 위치가 변하는 것을 말한다. 어떤 점의 이동 거리와 방향을 벡터를 이용해 표현한다. 어떤 물체의 위치가 변했을 때 물체 내부의 모든 점이 같은 변위를 갖는다면 강체 운동(rigidbody motion)을 한 것이 된다. 1.2. 변형 (deformation) 변형은 형태가 변하는 것이다. 형태가 변한다는 것은 대상물의 크기와 형상이 변하는 현상으로 내부 점들 사이에 상대 변위가(relative displacement)가 발생한 것이다. 변형에는 길이 변형(length deformation)과 각 변형(angle deformation) 두 가지가 있다. 길이 변형은 크기가 변하는 것으로 수직력에 의해 발생하고 각 변형은 형상이 변하는 것으로..
고등고체역학을 공부하게 되면 갑작스레 텐서(tensor)를 맞닥뜨리게 된다. 별별 계산을 다 하면서 텐서에 조금 익숙해질 때쯤이면 그만 지쳐서 고등고체역학은 머리에 남아 있질 않게 된다. 그리고 학기가 끝나고 나면 텐서 연산을 쓰는 사람을 찾아보기 힘들기 때문에 결국 아무것도 남는 것이 없다. 사실 학부 수준의 고체역학에서도 텐서를 잠시 다룬다. 하지만 아마도 지금 여러분은 '그런게 있었어?'라고 생각하고 있을지도 모른다. 고체역학에서 텐서가 살짝 나타나는 부분이 응력의 변환과 불변량이다. '아니 이게 뭔 소리야' 하고 당황하지만 오늘은 그 불변량이 어디에서 나오는지 알아보자. 1. 텐서 (Tensor) 텐서는 좌표를 변환해도 변하지 않는 물리량의 총칭이다. 텐서는 0차, 1차, 2차, 그리고 그 이상의..
1. 3차원 응력 (3-D Stress) 지금까지 주로 평면 응력 상태 다뤘다. 평면 응력 상태는 두께 방향 응력(σz)을 0으로 보고 무시해 2차원 응력으로 단순화한 것이다. 3차원 응력은 z 방향 응력 성분이 있을 뿐 크게 다를 것은 없다. 3차원 응력은 아래처럼 3x3 행렬로 응력 텐서(stress tensor)를 쓴다. [σ]=[σxτxyτxzτxyσyτyzτzxτzyσz] 공액 전단 응력은 아래와 같다. \begin{al..
1. 모어 원(Mohr's Circle) 모어 원은 응력 변환(stress transformation)의 도식법(graphical method)이다. 회전된 좌표계에 대한 응력 성분을 구할 때 변환 공식을 이용하는 대신 간단하게 원을 몇 개 그려서 구할 수 있는 방법이다. 1800년대에 Otto Mohr라는 독일의 철도기사가 좌표에 따른 응력의 변환을 도식적으로 구하는 방법에 대해 연구한 것으로 이 공로를 인정받아 독일 명문 Stuttgart 공과대학 교수로 초빙되었다. 이때 그의 나이 무려 23세였다. 젊은 나이에 교수가 되는 것도 대단하지만 철도 기사가 교수가 되는 독일 사회도 놀라울 뿐이다. \begin{align} \sigma_x' &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) + ..
1. 주응력과 최대 전단 응력의 관계 주응력은 아래처럼 쓸 수 있다. σ1=12(σx+σy)+√14(σx−σy)2+τ2xyσ2=12(σx+σy)−√14(σx−σy)2+τ2xy 두 주응력의 차는 다음과 같다. \begin{align} \sigma_1 - \sigma_2 &= 2\sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2} \\\\ &= 2\tau..
1. 응력의 극값(extreme values) 주응력(principal stress)은 수직 응력(normal stress)의 극값이었다. 주응력을 얻기 위해 각도에 대한 수직 응력의 식을 미분하여 극대값과 극소값을 찾았다. 최대 전단 응력도 마찬가지로 각도에 대한 전단 응력의 식을 미분하여 극값을 구하면 얻을 수 있다. 주응력과 최대 전단 응력은 부재에 작용하는 새로운 응력 상태가 아니다. 이미 정해진 응력 상태를 시점을 바꿔 가면서 전단 응력 성분이 최대가 되는 방향과 그 크기가 얼마인지 살펴보는 것이라는 점을 주의한다. τx′y′=−12(σx−σy)sin2θ+τxycos2θ 2. 극값의 조건 (E..
1. 응력의 극값(extreme values) 주응력(pricipal stress)는 수직 응력(normal stress)의 극치(extreme values)이다. 극치는 미분을 공부할 때 여러 번 접했던 극대값과 극소값을 의미한다. 2차원 평면 응력 상태에서 주응력은 극대, 극소 두 개의 값을 갖게 되고 3차원 응력 상태에서는 세 개의 극값을 갖게 된다. 주응력의 의미를 다시 생각해보자. 부재가 어떤 응력 상태에 있을 때 관심 있는 부분에 대해 바라보는 방향(각도)을 회전시키면서 살펴볼 수 있다. 이때 응력 성분들이 수직 응력 성분으로 몰리다가 최댓값을 찍고 다시 내려오는 구간이 보이게 된다. 이때가 최대 주응력이 된다. 마찬가지로 계속 회전하다 보면 수직 응력이 전단 응력 성분으로 넘어가다가 전단 응..
1. 좌표 변환 (Coordinate Transformation) 지금까지는 우리가 긴 부재를 수직으로만 절단해서 내력과 응력을 살펴봤지만 반드시 수직으로만 절단할 필요는 없다. 가끔 심심하면 45도 각도로 절단하고 싶을 때도 있을 것이다. 사실 재료의 특성에 따라 어떤 재료는 45도 각도로 부서지고 어떤 재료는 90도 각도로 부서지기 때문이다. 따라서 재료에 따라 45도 틀어진 면 또는 임의의 각도만큼 틀어진 면에 작용하는 응력 상태를 살펴볼 필요도 있는 것이다. 이렇게 절단 방향과 무관한 응력 상태를 구하기 위해 응력의 좌표 변환을 한다. 2. 변환 공식 (Transformation Formula) 다음과 그림 1과 같은 미소 면적 dA=dxdy에 작용하는 응력을 살펴보자. 그림 1의 삼각형만..
1. 방향 여현(Direction cosines) 어떤 벡터 \boldsymbol{v}가 좌표계의 기저 벡터들(basis vectors)과 이루는 각의 코사인(cosine)을 방향 여현(directional consines)라고 한다. \cos\theta = \frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_x}{||\boldsymbol{v}||} 방향 여현은 꼭 기저 벡터를 대상으로 하지 않더라도 두 벡터 사이의 각에 대한 코사인 값을 말하기도 한다. 내적의 의미는 고등학교 때 정사영의 의미로 많이 배웠겠지만 조금 더 확장하자면 내적은 두 벡터가 얼마나 유사한지를 나타내는 척도가 된다. 두 벡터를 크기가 1인 단위 벡터로 두었을 때 두 벡터의 방향이 완전히 일치하면 내적..
1. 평면 응력 (Plane Stress) 평면 응력(plane stress)은 말 그대로 면적에 비해 두께가 아주 얇은 박판에 에 작용하는 응력 상태이다. 이런 얇은 박판은 두께 방향의 응력 성분이 다른 면내 방향 응력 성분들 보다 아주 작기 때문에 두께 방향 응력을 무시할 수 있게 된다. 따라서 평면 응력은 두께 방향의 응력 성분이 0이 되는 응력 상태를 말한다. \sigma_z = 0,\quad \tau_{xz} = 0,\quad \tau_{yz} = 0 $$ \begin{bmatrix} \sigma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ ..
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