1. 변환 공식
우리는 이미 응력의 변환을 공부했으니 텐서의 변환을 공부한 셈이다. 변형률도 응력과 마찬가지로 텐서의 변환을 할 수 있다.
응력의 변환은 아래와 같다.
\begin{align} \sigma_{x'} &= \sigma_x\cos^2{\theta} + \sigma_y\sin^2{\theta} +2\tau_{xy}\cos{\theta}\sin{\theta} \\\\ \sigma_{y'} &= \sigma_x\sin^2{\theta} + \sigma_y\cos^2{\theta} -2\tau_{xy}\sin{\theta}\cos{\theta} \\\\ \tau_{x'y'} &= -(\sigma_x-\sigma_y)\sin{\theta}\cos{\theta} + \tau_{xy}(\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}) \end{align}
여기에서 응력 성분을 다음과 같이 치환한다.
\begin{align} &\sigma_{x'}, \ \sigma_{y'} \rightarrow \epsilon_{x'}, \ \epsilon_{y'} \\\\ &\tau_{x'y'} \rightarrow \frac{1}{2}\gamma_{x'y'} \\\\ &\sigma_x,\ \sigma_y \rightarrow \epsilon_x,\ \epsilon_y \\\\ &\tau_{xy} \rightarrow \frac{1}{2}\gamma_{xy} \end{align}
변형률의 변환 공식은 아래처럼 정리 된다.
\begin{align} \epsilon_{x'} &= \epsilon_x\cos^2{\theta} + \epsilon_y\sin^2{\theta} +\gamma_{xy}\cos{\theta}\sin{\theta} \\\\ \epsilon_{y'} &= \epsilon_x\sin^2{\theta} + \epsilon_y\cos^2{\theta} -\gamma_{xy}\sin{\theta}\cos{\theta} \\\\ \gamma_{x'y'} &= -2(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin{\theta}\cos{\theta} + \gamma_{xy}(\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}) \end{align}
아래의 삼각함수 합차 공식을 이용하면 더욱 간단하게 정리할 수 있다.
\begin{align} \sin{2\theta} &= 2\sin{\theta}\cos{\theta} \\\\ \cos{2\theta} &= \cos^2{\theta} -\sin^2{\theta} \\\\ \cos^2{\theta} &= \frac{1}{2}(1+\cos{2\theta}) \\\\ \sin^2{\theta} &= \frac{1}{2}(1-\cos{2\theta}) \end{align}
따라서 식은 아래와 같이 최종적으로 정리된다.
\begin{align} \epsilon_{x'} &= \frac{1}{2}(\epsilon_x+\epsilon_y) + \frac{1}{2}(\epsilon_x-\epsilon_y)\cos{2\theta} +\frac{1}{2}\gamma_{xy}\sin{2\theta} \\\\ \epsilon_{y'} &= \frac{1}{2}(\epsilon_x+\epsilon_y) - \frac{1}{2}(\epsilon_x-\epsilon_y)\cos{2\theta} -\frac{1}{2}\gamma_{xy}\sin{2\theta} \\\\ \gamma_{x'y'} &= -(\epsilon_x-\epsilon_y)\sin{2\theta} +\gamma_{xy}\cos{2\theta} \end{align}
하지만 변형률의 변환은 삼각함수 합차 공식으로 정리하기 이전 공식을 더 많이 쓰는 듯 하다. 그리고 변형률의 변환 공식이 응력의 경우와 조금 달라 보일 수 있지만 $\gamma$ 대신 $\epsilon$을 사용하면 동일하다는 것을 알 수 있다. 변환 공식에서는 $\gamma$를 바로 구하기 위해 위와 같은 형태로 식을 정리해 사용했지만 텐서를 이용한 변형률의 변환에서는 전단 변형률도 $\epsilon$ 형태를 써서 구해야 한다.
$$ \boldsymbol{\epsilon} = \begin{bmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \epsilon_{x} & \epsilon_{xy} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \epsilon_{x} & \frac{1}{2}\gamma_{xy} \\ \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \epsilon_y \end{bmatrix} $$
2. 변형률 변환 (Strain Transformation)
응력과 동일하게 방향 여현(direction cosine)으로 표현된 변환 행렬을 이용할 수 있다. 아래는 방향 여현으로 표현된 회전 행렬이다. 이것은 대상물의 회전임에 주의한다.
$$ \bf{R} = \begin{bmatrix} l_{x'x} & l_{y'x} \\ l_{x'y} & l_{y'y} \end{bmatrix} $$
변환 행렬은 아래와 같다. 이것은 좌표계의 회전임에 주의한다.
$$ \bf{T} = \bf{R}^\mathsf{T} $$
변환 행렬을 이용한 평면 변형률의 변환은 아래와 같다.
$$ \boldsymbol{\epsilon '} = \begin{bmatrix} \epsilon_{x'} & \epsilon_{x'y'} \\ \epsilon_{y'x'} & \epsilon_y ' \end{bmatrix} = \bf{T}\boldsymbol{\epsilon}\bf{T}^\mathsf{T} $$
여기에서 2차원 변환 행렬은 회전 행렬의 전치로 아래처럼 쓸 수 있다.
$$ \bf{T} = \begin{bmatrix} l_{x'x} & l_{y'x} \\ l_{x'y} & l_{y'y} \end{bmatrix}^\mathsf{T} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}^\mathsf{T} $$
따라서 평면 변형률의 변환은 아래와 같다.
$$ \begin{bmatrix} \epsilon_{x'} & \frac{1}{2}\gamma_{x'y'} \\ \frac{1}{2}\gamma_{y'x'} & \epsilon_y ' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \epsilon_{x} & \frac{1}{2}\gamma_{xy} \\ \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \epsilon_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $$
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