1. 응력의 극값(extreme values)
주응력(pricipal stress)는 수직 응력(normal stress)의 극치(extreme values)이다. 극치는 미분을 공부할 때 여러 번 접했던 극대값과 극소값을 의미한다. 2차원 평면 응력 상태에서 주응력은 극대, 극소 두 개의 값을 갖게 되고 3차원 응력 상태에서는 세 개의 극값을 갖게 된다.
주응력의 의미를 다시 생각해보자. 부재가 어떤 응력 상태에 있을 때 관심 있는 부분에 대해 바라보는 방향(각도)을 회전시키면서 살펴볼 수 있다. 이때 응력 성분들이 수직 응력 성분으로 몰리다가 최댓값을 찍고 다시 내려오는 구간이 보이게 된다. 이때가 최대 주응력이 된다. 마찬가지로 계속 회전하다 보면 수직 응력이 전단 응력 성분으로 넘어가다가 전단 응력이 최댓값을 찍는 순간이 보이게 되는데 이때가 최대 전단 응력이 된다. 다시 말해 하나의 응력 상태에 대해서 바라보는 관점을 달리하면(절단 방향을 다르게 하면) 수직 응력이 크게 보일 수도 있고 전단 응력이 크게 보일 수도 있다.
이제 같은 응력 상태에 있더라도 수직 응력에 의해 파손되는 재료는 최대 수직 응력 방향인 주응력 방향으로 절단되고 전단 응력에 의해 파손되는 재료는 최대 전단 응력이 나타나는 방향으로 절단될 것이라고 예상해볼 수 있다.
2. 극값의 조건
평면 응력 상태에서 각도에 대한 수직 응력의 일반식은 아래와 같다.
$$ \sigma'_x = \frac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\cos{2\theta} + \tau_{xy}\sin{2\theta} $$
주응력은 수직 응력의 극대 값과 극소값을 의미하므로 각도에 대한 수직 응력의 일반식을 각도 $\theta$에 대해 미분하여 미분 값이 0이 되는 $\theta$를 찾으면 된다.
$$ \frac{d\sigma'_x}{d\theta} = 0 + \frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)(-2\sin2{\theta}) + \tau_{xy}(2\cos2{\theta}) = 0 $$
$\theta$에 대해 정리하면,
$$ \tan{2\theta} = \frac{\sin2\theta}{\cos2\theta} = \frac{\tau_{xy}}{\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)} \Rightarrow \tan2\theta_p $$
따라서,
$$ \tan2\theta_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} $$
3. 주응력의 방향
위에서 구한 수직 응력의 극값을 주응력이라고 한다. 이 극값 중 최댓값은 최대 주응력(maximum principal stress), 최솟값은 최소 주응력(minimum principal stress)이 된다. 이 주응력의 방향을 그래프로 아래처럼 나타낼 수 있다.
여기에서 $\theta_{p1}$ 은 최대 주응력 방향이고 $\theta_{p2}$는 최소 주응력 방향이 된다. 이 방향들을 주평면(principal plane)이라고 한다. 다시 말해 주평면은 수직 응력이 극치가 되는 평면을 말한다.
주평면을 나타내는 그림 2의 그래프에서 회전하는 직선의 반경을 $r$이라고 하면 다음과 같다.
$$ r= \sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x - \sigma_y)^2 + \tau^2_{xy}} $$
4. 최대 주응력과 최소 주응력
그림 2에서 최대 주응력 방향에 대한 $\cos{2\theta_{p1}}$와 $\sin{2\theta_{p1}}$를 구하면 다음과 같다.
\begin{align} \cos{2\theta_{p1}} &= \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2r} \\\\ \sin{2\theta_{p1}} &= \frac{\tau_{xy}}{r} \end{align}
이것을 회전 각도에 대한 수직 응력의 일반식에 대입하여 최대 주응력을 구해보자.
\begin{align} \sigma_{\text{max}} &= \sigma'_x|_{\theta\rightarrow\theta_{p1}} \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y) + \frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2r} \right) + \tau_{xy} \left( \frac{\tau_{xy}}{r} \right) \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y) + r \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y) + \sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x - \sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2} \end{align}
최소 주응력 방향은 최대 주응력 방향에서 90도 회전한 위치에 있다. 따라서 $\cos{2\theta_{p2}}$와 $\sin{2\theta_{p2}}$는 아래와 같다.
\begin{align} \cos2\theta_{p2} &= \cos(180^\circ + 2\theta_{p1}) = -\cos2\theta_{p1} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2r} \\\\ \sin2\theta_{p2} &= \sin(180^\circ + 2\theta_{p1}) = -\sin2\theta_{p1} = -\frac{\tau_{xy}}{r} \end{align}
위 식을 이용해 최소 주응력을 구하면 아래와 같다.
\begin{align} \sigma_{\text{min}} &= \sigma'_x|_{\theta\rightarrow\theta_{p2}} \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y) - r \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y) - \sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x - \sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2} \end{align}
따라서 최대, 최소 주응력은 아래와 같이 정리된다.
$$ \sigma_{1, 2} = \frac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y) \pm \sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x - \sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2} $$
5. 주평면에서 전단 응력
주평면에서 전단 응력을 구해보면 0이 된다. 즉 주응력 방향에서는 전단 응력이 존재하지 않는다. 다시 말해 모든 응력 성분이 수직 응력으로 나타나게 된다.
\begin{align} \tau_{x'y'}|_{\theta\rightarrow\theta_{p1}} &= -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\sin2\theta_{p1} + \tau_{xy}\cos2\theta_{p1} \\\\ &= -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y) \left( \frac{\tau_{xy}}{r} \right) + \tau_{xy} \left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2r} \right) \\\\ &= 0 \end{align}
\begin{align} \tau_{x'y'}|_{\theta\rightarrow\theta_{p2}} &= -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\sin2\theta_{p2} + \tau_{xy}\cos2\theta_{p2} \\\\ &= -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y) \left( -\frac{\tau_{xy}}{r} \right) + \tau_{xy} \left( -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2r} \right) \\\\ &= 0 \end{align}
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