1. 모어 원(Mohr's Circle)
모어 원은 응력 변환(stress transformation)의 도식법(graphical method)이다. 회전된 좌표계에 대한 응력 성분을 구할 때 변환 공식을 이용하는 대신 간단하게 원을 몇 개 그려서 구할 수 있는 방법이다. 1800년대에 Otto Mohr라는 독일의 철도기사가 좌표에 따른 응력의 변환을 도식적으로 구하는 방법에 대해 연구한 것으로 이 공로를 인정받아 독일 명문 Stuttgart 공과대학 교수로 초빙되었다. 이때 그의 나이 무려 23세였다. 젊은 나이에 교수가 되는 것도 대단하지만 철도 기사가 교수가 되는 독일 사회도 놀라울 뿐이다.
\begin{align} \sigma_x' &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) + \frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\cos2\theta + \tau_{xy}\sin2\theta \\\\ \tau_{x'y'} &= -\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\sin2\theta + \tau_{xy}\cos2\theta \end{align}
2. 응력 원(Stress Circle)
위에 있는 응력 변환 공식을 가만히 보고 있자니 뭔가 공통된 부분들이 보인다. 수직 응력식을 살짝 바꿔서 아래처럼 써보면 더 눈에 잘 보이게 된다.
\begin{align} \sigma_x' - \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) &= \frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\cos2\theta + \tau_{xy}\sin2\theta \\\\ \tau_{x'y'} &= -\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\sin2\theta + \tau_{xy}\cos2\theta \end{align}
이제 두 식 양변을 제곱한다.
\begin{align} \left[\sigma_x' - \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y)\right]^2 &= \frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2\cos^2{2\theta} + \tau_{xy}^2\sin^2{2\theta} + \frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\tau_{xy}\cos2\theta\sin2\theta \\\\ \tau_{x'y'}^2 &= \frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2\sin^2{2\theta} + \tau_{xy}^2\cos^2{2\theta} -\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\tau_{xy}\cos2\theta\sin2\theta \end{align}
두 식을 더 한다.
\begin{align} \left[\sigma_x' - \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y)\right]^2 + \tau_{x'y'}^2 = &\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2(\cos^2{2\theta} + \sin^2{2\theta}) \\\\ &+ \tau_{xy}^2(\cos^2{2\theta} + \sin^2{2\theta}) \end{align}
여기에서 \cos^2{2\theta} + \sin^2{2\theta} = 1이므로 정리하면 아래와 같다.
\left[\sigma_x' - \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y)\right]^2 + \tau_{x'y'}^2 = \frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2
이제 다음과 같이 변환된 수직 응력과 전단 응력을 변수로 생각하고 복잡해 보이는 식을 간단하게 치환해보자.
\begin{align} &\sigma_x' \Rightarrow \sigma \\\\ & \tau_{x'y'} \Rightarrow \tau \\\\ &\frac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y) = \sigma_{\text{av}} \\\\ &\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2 = r^2 \end{align}
결과적으로 식은 다음과 같이 익숙한 원의 방정식 형태로 간단하게 정리된다. 이것을 응력 원(stress circle)이라고 한다.
(\sigma-\sigma_{\text{av}})^2 + \tau^2 = r^2
3. 모어 원 그리는 방법(Construction Method of Mohr's Circle)
모어 원을 그리는 이유는 이미 알고 있는 응력 상태를 이용해 주응력과 주평면, 그리고 최대 전단 응력과 최대 전단 응력 평면을 쉽게 구할 수 있기 때문이다.
\sigma_x, \ \sigma_y, \ \tau_{xy} \Rightarrow \sigma_1,\ \sigma_2,\ \theta_p,\ \tau_{\text{max}},\ \theta_s
주어진 응력 상태로 평균 수직 응력을 중심으로하는 원을 그리면 아래 그림 2와 같다.
먼저 \sigma축과 \tau 축을 그린다. \tau의 방향이 반대인 점에 유의 한다. Beer책으로 공부한 사람들은 \tau축을 위로 올라가는 방향으로 그릴 텐데 어떤 방법으로 하던지 여러분의 마음이다.
현재 좌표계에서의 응력 성분 \sigma_x,\ \sigma_y를 각각 표시하고 그 평균인 \sigma_{\text{av}}를 표시한다. 이 평균 수직 응력이 모어 원의 중심이 된다.
그다음 그래프 위 (\sigma_x, \tau_{xy})의 위치에 점을 찍고(E점) 원의 중심과 선을 이은 뒤 이 선을 반경으로 하는 원을 그린다.
그려진 원은 그림 2와 같다. 이 원에서 A점은 최소 주응력 \sigma_2을 의미한다. B점은 최대 주응력 \sigma_1을 의미한다. 마찬가지로 F점은 \tau 축에서 최대이므로 \tau_{\text{max}}를 의미한다는 것을 알 수 있다.
그림 2에서 선분들의 길이는 아래 관계를 갖는다.
\begin{align} \overline{OC} &= \sigma_{\text{av}} \\\\ \overline{CD} &= \overline{OD} - \overline{OC} \\\\ &= \sigma_x - \frac{1}{2}\sigma_{\text{av}} \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y) \\\\ \overline{OA} &= \overline{OC} - r \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) - r \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) -\sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2} = \sigma_2 \\\\ \overline{OB} &= \overline{OC} + r \\\\ &= \frac{1}{2} (\sigma_x+\sigma_y) + r \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) +\sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2} = \sigma_1 \\\\ \overline{CF} &= r \\\\ &= \sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2} = \tau_{\text{max}} \end{align}
주평면과 최대 전단 응력 평면의 각도는 아래 그림 3처럼 찾을 수 있다.
그림 3에 나타난 선분들의 각도는 다음 관계를 갖는다.
\begin{align} \tan\angle{DCE} &= \frac{\overline{DE}}{\overline{CD}} \\\\ &= \frac{\tau_{xy}}{\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)} \\\\ &= \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} = \tan2\theta_p \\\\ \tan(-\angle{ECF}) &= -\tan\angle{ECF} \\\\ &= -\frac{\overline{CD}}{\tau_{xy}} \\\\ &= -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2\tau_{xy}} = \tan2\theta_s \end{align}
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