회전 변환 (점의 회전/좌표계의 회전) - 방향 여현(Direction Cosine)

1. 방향 여현(Direction cosines)

 어떤 벡터 $\boldsymbol{v}$가 좌표계의 기저 벡터들(basis vectors)과 이루는 각의 코사인(cosine)을 방향 여현(directional consines)라고 한다.

$$\cos\theta = \frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{e}_x}{||\boldsymbol{v}||}$$

 

 방향 여현은 꼭 기저 벡터를 대상으로 하지 않더라도 두 벡터 사이의 각에 대한 코사인 값을 말하기도 한다. 내적의 의미는 고등학교 때 정사영의 의미로 많이 배웠겠지만 조금 더 확장하자면 내적은 두 벡터가 얼마나 유사한지를 나타내는 척도가 된다. 두 벡터를 크기가 1인 단위 벡터로 두었을 때 두 벡터의 방향이 완전히 일치하면 내적의 결과가 1이고 방향이 90도로 직교하면 내적이 0이 된다. 단위 벡터는 크기가 1이기 때문에 단위 벡터 간의 내적은 곧 방향 여현이 되는 것이므로 방향 여현이 두 벡터의 유사도를 의미한다는 것을 이해할 수 있다.

$$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = ||\boldsymbol{a}||\ ||\boldsymbol{b}||\cos{\theta} $$

$$ \cos{\theta} = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\bf{b}}{||\boldsymbol{a}||\ ||\boldsymbol{b}||} $$

 

2. 2차원 좌표계에서 방향 여현

 그림 1과 같은 2차원 좌표계에서 방향 여현은 아래와 같다.

 

그림 1. 회전된 좌표계가 이루는 각도

 

\begin{align} l_{x'x} &= \cos{(x',x)} = \cos{\theta} \\\\ l_{x'y} &= \cos{(x',y)} = \cos{(90^{\circ}-\theta)} = \sin{\theta} \\\\ l_{y'x} &= cos{(y', x)} = \cos{(90^{\circ} + \theta)} = -\sin{\theta} \\\\ l_{y'y} &= \cos{(y',y)} = \cos{\theta} \end{align}

 

3. 변환 행렬(Transformation Matrix)

 변환 행렬은 아래와 같이 각 축끼리 이루는 각의 여현인 방향 여현을 이용해 나타낼 수 있다.

$$ \boldsymbol{R} = \begin{bmatrix} l_{x'x} & l_{y'x} & l_{z'x} \\ l_{x'y} & l_{y'y} & l_{z'y} \\ l_{x'z} & l_{y'z} & l_{z'z} \end{bmatrix} $$

 

 $Z$축에 대한 회전 변환 행렬을 써보면 아래와 같다.

$$ \boldsymbol{R}_z = \begin{bmatrix}
\cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\
\sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} $$

 

4. 좌표계의 변환(Coordinate Transformation)

 좌표계의 변환은 변환 행렬에 전치(transpose)를 해서 얻을 수 있다.

$$ \boldsymbol{T}_z = \boldsymbol{R}_z^{\mathsf{T}} = \begin{bmatrix}
\cos{\theta} & \sin{\theta} & 0\\
-\sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} $$