1. 좌표 변환 (Coordinate Transformation)
지금까지는 우리가 긴 부재를 수직으로만 절단해서 내력과 응력을 살펴봤지만 반드시 수직으로만 절단할 필요는 없다. 가끔 심심하면 45도 각도로 절단하고 싶을 때도 있을 것이다. 사실 재료의 특성에 따라 어떤 재료는 45도 각도로 부서지고 어떤 재료는 90도 각도로 부서지기 때문이다. 따라서 재료에 따라 45도 틀어진 면 또는 임의의 각도만큼 틀어진 면에 작용하는 응력 상태를 살펴볼 필요도 있는 것이다. 이렇게 절단 방향과 무관한 응력 상태를 구하기 위해 응력의 좌표 변환을 한다.
2. 변환 공식 (Transformation Formula)
다음과 그림 1과 같은 미소 면적 $dA = dxdy$에 작용하는 응력을 살펴보자.
그림 1의 삼각형만 떼어서 다시 살펴보면 아래 그림 2처럼 나타낼 수 있다.
삼각형의 변 BC의 길이를 $dx$, AB의 길이를 $dy$, AC의 길이를 $ds$라고 하자. 이 삼각형의 Z축 방향 깊이는 두께 $t$이다. 이 삼각형을 자유물체도라고 보고 평형 방정식을 써보면 아래와 같다.
\begin{align} \sum{F_x'} = \sigma_{x'}(ds\cdot t) &-\sigma_x\cos{\theta}(dy\cdot t) -\tau_{xy}\sin{\theta}(dy\cdot t) \\\\ &- \sigma_y\sin{\theta}(dx\cdot t) -\tau_{yx}\cos{\theta}(dx\cdot t) = 0 \\\\ \sum{F_y'} = \tau_{x'y'}(ds\cdot t) &+\sigma_x\sin{\theta}(dy\cdot t) -\tau_{xy}\cos{\theta}(dy\cdot t) \\\\ &-\sigma_y\cos{\theta}(dx\cdot t) + \tau_{yx}\sin{\theta}(dx\cdot t) = 0 \end{align}
위 식을 $\sigma_{x'}$과 $\tau_{x'y'}$에 대해 정리하면 아래와 같다.
\begin{align} \sigma_{x'} &= \sigma_x\cos{\theta}\left(\frac{dy}{ds}\right) + \sigma_y\sin{\theta}\left(\frac{dx}{ds}\right) + \tau_{xy}\sin{\theta}\left(\frac{dy}{ds}\right) +\tau_{yx}\cos{\theta}\left(\frac{dx}{ds}\right) \\\\ \tau_{x'y'} &= -\sigma_x\sin{\theta}\left(\frac{dy}{ds}\right) +\sigma_y\cos{\theta}\left(\frac{dx}{ds}\right) +\tau_{xy}\cos{\theta}\left(\frac{dy}{ds}\right) -\tau_{yx}\sin{\theta}\left(\frac{dx}{ds}\right) \end{align}
그림 1에서 아래와 같은 삼각함수 관계가 있다. 좌표계의 각도 $\theta$의 위치를 잘 확인해 $\sin, \cos$의 정의와 햇갈리지 않도록 주의한다.
\begin{align} \frac{dy}{ds} &= \cos{\theta} \\\\ \frac{dx}{ds} &= \sin{\theta} \end{align}
그리고 전단 응력 $\tau_{xy} = \tau_{yx}$이므로 위 식은 아래와 같이 정리된다.
\begin{align} \sigma_{x'} &= \sigma_x\cos^2{\theta} + \sigma_y\sin^2{\theta} +2\tau_{xy}\cos{\theta}\sin{\theta} \\\\ \tau_{x'y'} &= -(\sigma_x-\sigma_y)\sin{\theta}\cos{\theta} + \tau_{xy}(\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}) \end{align}
같은 방법으로 아래 그림 2의 삼각형을 이용해 $\sigma_y$ 역시 구할 수 있다.
편한 방법은 이미 구해 놓은 $\sigma_{x'}$식에서 각도를 90도만큼 더 돌려서 $\theta \rightarrow \theta + 90^\circ$를 대입하여 구할 수 있다.
\begin{align} \sigma_{y'} &= \sigma_x\cos^2{(\theta + 90^\circ)} + \sigma_y\sin^2{(\theta+90^\circ)} +2\tau_{xy}\cos{(\theta+90^\circ)}\sin{(\theta+90^\circ)} \\\\ &= \sigma_x(-\sin{\theta})^2 +\sigma_y(\cos{\theta})^2 + 2\tau_{xy}(-\sin{\theta})(\cos{\theta}) \\\\ &= \sigma_x\sin^2{\theta} + \sigma_y\cos^2{\theta} -2\tau_{xy}\sin{\theta}\cos{\theta} \end{align}
변환된 응력을 다시 정리해서 쓰면 아래와 같다.
\begin{align} \sigma_{x'} &= \sigma_x\cos^2{\theta} + \sigma_y\sin^2{\theta} +2\tau_{xy}\cos{\theta}\sin{\theta} \\\\ \sigma_{y'} &= \sigma_x\sin^2{\theta} + \sigma_y\cos^2{\theta} -2\tau_{xy}\sin{\theta}\cos{\theta} \\\\ \tau_{x'y'} &= -(\sigma_x-\sigma_y)\sin{\theta}\cos{\theta} + \tau_{xy}(\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}) \end{align}
아래의 삼각함수 합차 공식을 이용하면 더욱 간단하게 정리할 수 있다.
\begin{align} \sin{2\theta} &= 2\sin{\theta}\cos{\theta} \\\\ \cos{2\theta} &= \cos^2{\theta} -\sin^2{\theta} \\\\ \cos^2{\theta} &= \frac{1}{2}(1+\cos{2\theta}) \\\\ \sin^2{\theta} &= \frac{1}{2}(1-\cos{2\theta}) \end{align}
따라서 식은 아래와 같이 최종적으로 정리된다.
\begin{align} \sigma_{x'} &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) + \frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\cos{2\theta} +\tau_{xy}\sin{2\theta} \\\\ \sigma_{y'} &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) - \frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\cos{2\theta} -\tau_{xy}\sin{2\theta} \\\\ \tau_{x'y'} &= -\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\sin{2\theta} +\tau_{xy}\cos{2\theta} \end{align}
3. 응력 변환 (Stress Transformation)
그림 3과 같이 회전된 좌표계에 대한 방향 여현은 아래와 같다.
\begin{align} l_{x'x} &= \cos{(x',x)} = \cos{\theta} \\\\ l_{x'y} &= \cos{(x',y)} = \cos{(90^{\circ}-\theta)} = \sin{\theta} \\\\ l_{y'x} &= cos{(y', x)} = \cos{(90^{\circ} + \theta)} = -\sin{\theta} \\\\ l_{y'y} &= \cos{(y',y)} = \cos{\theta} \end{align}
방향 여현을 이용한 회전 행렬은 아래와 같다. 이것은 대상물의 회전임에 주의한다.
$$ \bf{R} = \begin{bmatrix} l_{x'x} & l_{y'x} & l_{z'x} \\ l_{x'y} & l_{y'y} & l_{z'y} \\ l_{x'z} & l_{y'z} & l_{z'z} \end{bmatrix} $$
변환 행렬은 아래와 같다. 이것은 좌표계의 회전임에 주의한다.
$$ \bf{T} = \bf{R}^\mathsf{T} $$
변환 행렬을 이용한 응력의 변환은 아래와 같다.
$$ \begin{bmatrix} \sigma ' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{x'} & \tau_{x'y'} & \tau_{x'z'} \\ \tau_{y'x'} & \sigma_y ' & \tau_{y'z'} \\ \tau_{z'x'} & \tau_{z'y'} & \sigma_z ' \end{bmatrix} = \bf{T}\boldsymbol{\sigma}\bf{T}^\mathsf{T} $$
2차원 응력은 변환 행렬을 다음과 같이 단순하게 쓸 수 있다.
$$ \bf{T} = \begin{bmatrix} l_{x'x} & l_{y'x} \\ l_{x'y} & l_{y'y} \end{bmatrix}^\mathsf{T} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}^\mathsf{T} $$
따라서 평면 응력의 변환은 아래와 같다.
$$ \begin{bmatrix} \sigma_{x'} & \tau_{x'y'} \\ \tau_{y'x'} & \sigma_y ' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} & \sigma_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $$
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