목차
1. 변형률 텐서 (Strain Tensor)
3차원 계(system)의 변형률 텐서는 다음과 같다.
\boldsymbol{\epsilon} = \begin{bmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \epsilon_{x} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_y & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \epsilon_{x} & \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \frac{1}{2}\gamma_{xz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \epsilon_y & \frac{1}{2}\gamma_{yz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{zx} & \frac{1}{2}\gamma_{zy} & \epsilon_z \end{bmatrix}
2. 변형률의 불변량 (Invariants of Strain)
변형률 텐서도 3x3 2차 텐서이므로 응력과 같은 형태의 불변량을 갖는다.
2.1. 변형률의 제1 불변량
E_1 = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z = \epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3
2.2. 변형률의 제2 불변량
E_2 = \begin{vmatrix} \epsilon_x & \frac{1}{2}\gamma_{xy} \\ \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \epsilon_y \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \epsilon_y & \frac{1}{2}\gamma_{yz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{zy} & \epsilon_z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \epsilon_x & \frac{1}{2}\gamma_{xz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{zx} & \epsilon_z \end{vmatrix}
2.3. 변형률의 제3 불변량
E_3 = \det\begin{bmatrix} \boldsymbol{\epsilon} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\epsilon_x & \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \frac{1}{2}\gamma_{xz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \frac{1}{2}\gamma_y & \frac{1}{2}\gamma_{yz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{zx} & \frac{1}{2}\gamma_{zy} & \epsilon_z \end{bmatrix}
3. 주변형률
주변형률은 다음 방정식의 근을 찾는다. 세개의 실근 중에 제일 큰 것이 최대 주변형률 \epsilon_1이고 제일 작은 것이 최소 주변형률 \epsilon_3가 된다.
\epsilon^3 - E_1\epsilon^2 + E_2\epsilon - E_3 = 0
4. 변형률 변환 (Strain Transformation)
변형률의 변환은 다음과 같다.
\boldsymbol{\epsilon '} = \begin{bmatrix} \epsilon_{x'} & \epsilon_{x'y'} & \epsilon_{x'z'} \\ \frac{1}{2}\gamma_{y'x'} & \epsilon_y ' & \frac{1}{2}\gamma_{y'z'} \\ \frac{1}{2}\gamma_{z'x'} & \frac{1}{2}\gamma_{z'y'} & \epsilon_z ' \end{bmatrix} = \bf{T}\boldsymbol{\epsilon}\bf{T}^\mathsf{T}
여기에서 \bf{T}는 변환 행렬이고 회전행렬의 전치이다. 회전 행렬은 다시 방향 여현으로 아래와 같이 쓸 수 있다.
\bf{R} = \begin{bmatrix} l_{x'x} & l_{y'x} & l_{z'x} \\ l_{x'y} & l_{y'y} & l_{z'y} \\ l_{x'z} & l_{y'z} & l_{z'z} \end{bmatrix}
\text{where, } l_{x'x} = \cos(x',x)
\bf{T} = \bf{R}^\mathsf{T}
또는 텐서 표기법을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.
\sigma_{\alpha\beta} = l_{\alpha i}l_{\beta j}\sigma_{ij}
\begin{align} \text{where, } &\alpha,\ \beta = x',\ y',\ z' \\\\ &i,\ j = x,\ y,\ z, \end{align}
5. 최대 전단 변형률
최대 전단 변형률은 주변형률과의 관계를 이용해 다음과 같이 구한다.
\begin{align} \gamma_1 &= |\epsilon_2 - \epsilon_3| \\\\ \gamma_2 &= |\epsilon_3-\epsilon_1| \\\\ \gamma_3 &= |\epsilon_1-\epsilon_2| \end{align}
6. 모어 원 (Mohr's Circle of Strain)
응력과 마찬가지로 변형률에 대해서도 모어 원을 그리고 필요한 값을 구할 수 있다.
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