1. 응력의 극값(extreme values)
주응력(principal stress)은 수직 응력(normal stress)의 극값이었다. 주응력을 얻기 위해 각도에 대한 수직 응력의 식을 미분하여 극대값과 극소값을 찾았다. 최대 전단 응력도 마찬가지로 각도에 대한 전단 응력의 식을 미분하여 극값을 구하면 얻을 수 있다. 주응력과 최대 전단 응력은 부재에 작용하는 새로운 응력 상태가 아니다. 이미 정해진 응력 상태를 시점을 바꿔 가면서 전단 응력 성분이 최대가 되는 방향과 그 크기가 얼마인지 살펴보는 것이라는 점을 주의한다.
$$ \tau_{x'y'} = -\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\sin{2\theta} +\tau_{xy}\cos{2\theta} $$
2. 극값의 조건 (Extreme Condition)
위 전단 응력 식을 각도 $\theta$에 대해 미분하여 도함수가 0이 되는 것이 전단 응력이 극값이 되는 조건이다.
$$ \frac{d\tau_{x'y'}}{d\theta} = 0 $$
잠시 풋풋한 고등학생으로 돌아가서 미분을 해보자.
$$ \frac{d\tau_{x'y'}}{d\theta} = -\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)(2\cos2\theta) + \tau_{xy}(-2\sin2\theta) = 0 $$
위 미분 결과를 정리하면,
$$ \tan2\theta = \frac{\sin2\theta}{\cos2\theta} = \frac{-\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)}{\tau_{xy}} = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2\tau_{xy}} $$
위 식에서 $\theta$는 도함수가 0이 되는 각도가 되므로 $ \theta \Rightarrow \theta_s $ 라고 하면 $ \tau_{x'y'} \Rightarrow \tau_{\text{max}} $가 된다.
전단 응력에 대한 극값의 방향은 다음과 같다.
$$ \tan2\theta_s = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2\tau_{xy}} $$
2. 최대 전단 응력의 방향
위에서 구한 극값의 방향 $\theta_s$는 최대 전단 응력 평면(maximum shear stress plane)의 방향이다. 이것을 그래프로 그림 2처럼 나타낼 수 있다.
$$ \tan2\theta_s = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2\tau_{xy}} $$
여기에서 $\theta_{s1}$은 최대 전단 응력 평면의 방향이고 $\theta_{s2}$는 최소 전단 응력 평면의 방향이다.
그림 2에서 최대전단응력 평면을 나타내는 선분의 반경을 $r$이라고 하면 다음과 같이 구할 수 있다.
$$ r= \sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x - \sigma_y)^2 + \tau^2_{xy}} $$
3. 최대 전단 응력과 최소 전단 응력
그림 2에서 최대 전단 응력 방향 방향에서 대한 $\cos2\theta_{s1}$과 $\sin2\theta_{s1}$을 구하면 다음과 같다.
\begin{align} \cos2\theta_{s1} &= \frac{\tau_{xy}}{r} \\\\ \sin2\theta_{s1} &= -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2r} \end{align}
이것을 다시 회전 각도에 대한 전단 응력의 일반식에 대입하면 다음과 같다.
\begin{align} \tau_{\text{max}} &= \tau_{x'y'}|_{\theta \rightarrow \theta_{s1}} \\\\ &= -\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\sin2\theta_{s1} + \tau_{xy}\cos2\theta_{s1} \\\\ &= -\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\left(-\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2r}\right) + \tau_{xy}\left(\frac{\tau_{xy}}{r}\right) \\\\ &= \frac{1}{r}\left[ \frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2 \right] \\\\ &= \frac{1}{r}\cdot r^2 \\\\ &= r \\\\ &= \sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2} \end{align}
최소 전단 응력 방향은 최대 전단 응력 방향에서 90도 회전한 위치에 있다. 따라서 최소 전단 응력 방향 $\theta_{s2}$에 대한 $\cos2\theta_{s2}$와 $\sin2\theta_{s2}$는 다음과 같이 구할 수 있다. 물론 그림 2의 그래프에서 직접 구해도 된다.
\begin{align} \cos2\theta_{s2} &= \cos(180^\circ + 2\theta_{s1}) = -\cos2\theta_{s1} = -\frac{\tau_{xy}}{r} \\\\ \sin2\theta_{s2} &= \sin(180^\circ + 2\theta_{s1}) = -\sin2\theta_{s1} = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2r}\end{align}
이것을 다시 회전 각도에 대한 전단 응력의 일반식에 대입하면 다음과 같다. 최대 전단 응력과 마찬가지로 전개하며 육아 때문에 시간이 없어서 자세한 과정은 생략한다.
\begin{align} \tau_{\text{min}} &= \tau_{x'y'}|_{\theta \rightarrow \theta_{s2}} \\\\ &= -\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\sin2\theta_{s2} + \tau_{xy}\cos2\theta_{s2} \\\\ &= -r \\\\ &= -\sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2} \end{align}
따라서 최대, 최소 전단 응력은 아래와 같이 정리된다.
$$ \tau_{\text{max, min}} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2} $$
전단 응력은 모양을 찌그러트리는 것으로 그 방향이 반대면 체적이 반대 방향으로 찌그러질 뿐이다. 따라서 인장과 압축처럼 물리적으로 차이가 있다고 보기 어렵다. 이런 이유로 설계와 해석에서는 전단 응력의 부호는 별로 중요치 않고 크기만을 신경 쓰는 경우가 많다. 마찬가지로 최소 전단 응력은 방향만 반대일 뿐 '최대' 전단 응력과 동등하게 취급해야 하는 점을 주의해야 한다. 실제로 연성 재료의 파단면을 보면 컵-콘이 되는데 최대 전단 응력 방향만 생각하면 하나의 대각선으로 잘려야 할 것 같지만 90도 돌아간 위치의 최소 전단 응력 평면 역시 파단면이 되기 때문이다.
4. 최대 전단 응력 평면에서의 수직 응력
주평면에서 전단 응력을 구해보면 0이었다. 그렇다면 최대 전단 응력 평면에서는 수직 응력이 0이 될까? 한 번 구해보자.
\begin{align} \sigma_x'|_{\theta\rightarrow\theta_{s1}} &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) +\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\cos2\theta_{s1} + \tau_{xy}\sin2\theta_{s1} \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) + \frac{1}{2}\left(\frac{\tau_{xy}}{r}\right) + \tau_{xy}\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2r}\right) \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) \\\\ &= \sigma_{\text{av}} \end{align}
최대 전단 응력 평면에 발생하는 수직 응력은 두 방향 수직 응력의 평균이라는 것을 알 수 있다. 그렇다면 최소 전단 응력 평면에서는 어떨까? 부호만 바뀌므로 똑같이 평균 수직 응력이 된다는 것을 알 수 있다.
$$ \sigma_x'|_{\theta\rightarrow\theta_{s2}} = \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) $$
전단 응력의 최대 최소 평면에 관계없이 수직 응력은 항상 평균 응력이 되므로 아래처럼 쓸 수 있다.
$$ \therefore \sigma_x'|_{\theta\rightarrow\theta_s} = \sigma_{\text{av}} = \frac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y) $$
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