1. 변형과 변위
1.1. 변위 (displacement)
변위는 위치가 변하는 것을 말한다. 어떤 점의 이동 거리와 방향을 벡터를 이용해 표현한다. 어떤 물체의 위치가 변했을 때 물체 내부의 모든 점이 같은 변위를 갖는다면 강체 운동(rigidbody motion)을 한 것이 된다.
1.2. 변형 (deformation)
변형은 형태가 변하는 것이다. 형태가 변한다는 것은 대상물의 크기와 형상이 변하는 현상으로 내부 점들 사이에 상대 변위가(relative displacement)가 발생한 것이다. 변형에는 길이 변형(length deformation)과 각 변형(angle deformation) 두 가지가 있다. 길이 변형은 크기가 변하는 것으로 수직력에 의해 발생하고 각 변형은 형상이 변하는 것으로 전단력에 의해 발생한다.
2. 변형률
변형률은 변형의 크기를 나타내는 척도(deformation intensity)이다. 원래의 길이나 각도에서 얼마나 변했는지 비율로 나타낸다. 비율이기 때문에 단위는 무차원(dimensionless)이며 편의상 %를 주로 쓰고 μ나 mm/m를 쓰기도 한다.
2.1. 수직 변형률 (Normal Strain)
수직 변형률은 길이의 변화율(length change rate)이다. 변형률의 부호는 응력의 부호와 동일하다.
$$ \epsilon_x = \lim_{L\rightarrow 0} \frac{L - L_0}{L} = \frac{\delta_n}{dL} $$
2.2. 전단 변형률 (Shear Strain)
전단 변형률은 각도의 변화율(angle change rate)이다.
$$ \gamma_{xy} = \lim_{L_0\rightarrow 0} \frac{\delta_s}{L_0} = \tan(\Phi_0 - \Phi) $$
여기에서 아주 작은 변형(infitesimal deformation)이라고 가정하면,
$$ \gamma_{xy} = \lim_{\Phi_0 - \Phi \rightarrow 0} \tan(\Phi_0 - \Phi) \approx \Phi_0 - \Phi $$
조금 더 확장해서 생각해보면 그림 3처럼 변형하고 변형률은 마찬가지로 각의 변화로 계산한다.
$$ \gamma_{xy} = \frac{\Delta x}{L_y} + \frac{\Delta y}{L_x} =\tan\alpha + \tan\beta $$
아주 작은 변형이라고 가정하면,
$$ \gamma_{xy} = \tan\alpha + \tan\beta \approx \alpha + \beta = \Phi_0 - \Phi $$
3. 변위와 변형률의 관계
다음과 같은 변위 벡터를 생각해보자. 아래 식에서 $u, v, w$는 각각 $x, y, z$ 방향의 변위이다.
$$ \boldsymbol{d} = u\boldsymbol{i} + v\boldsymbol{j} + w\boldsymbol{k} $$
아래 그림 4와 같은 변형에서 변형률과 변위의 관계식을 구할 수 있다.
수직 변형률은 다음과 같이 구할 수 있다.
\begin{align} \epsilon_x &= \frac{dx'-dx}{dx} \\\\ &= \frac{\left(dx+u+\frac{\partial u}{\partial x}dx - u\right) - dx}{dx} \\\\ &= \frac{\partial u}{\partial x} \end{align}
\begin{align} \epsilon_y &= \frac{dy'-dy}{dy} \\\\ &= \frac{\left(dy+v+\frac{\partial v}{\partial y}dy - v\right) - dy}{dy} \\\\ &= \frac{\partial v}{\partial y} \end{align}
전단 변형률은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$ \alpha \approx \tan(\alpha) = \frac{u+\frac{\partial u}{\partial y}dy - u}{dy'} = \frac{\frac{\partial u}{\partial y}dy}{dy'} \approx \frac{\partial u}{\partial y} $$
$$ \beta \approx \tan(\beta) = \frac{v+\frac{\partial v}{\partial x}dx - v}{dy'} = \frac{\frac{\partial v}{\partial x}dx}{dx'} \approx \frac{\partial v}{\partial x} $$
$$ \therefore \gamma_{xy} = \alpha + \beta = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} $$
같은 방법으로 $z$ 방향에 대해서도 구할 수 있다.
\begin{align} \epsilon_z &= \frac{\partial w}{dz} \\\\ \gamma_{xz} &= \frac{\partial u}{dz} + \frac{\partial w}{dx} \\\\ \gamma_{yz} &= \frac{\partial v}{dz} + \frac{\partial w}{dy} \end{align}
정리해서 다시 쓰면 다음과 같다.
\begin{align} \epsilon_x &= \frac{\partial u}{dx} \\\\ \epsilon_y &= \frac{\partial v}{dy} \\\\ \epsilon_z &= \frac{\partial w}{dz} \\\\ \gamma_{xy} &= \frac{\partial x}{dy} + \frac{\partial v}{dx} \\\\ \gamma_{xz} &= \frac{\partial u}{dz} + \frac{\partial w}{dx} \\\\ \gamma_{yz} &= \frac{\partial v}{dz} + \frac{\partial w}{dy} \end{align}
4. 변형률의 일반식
미소 변형에서 변형률의 일반식은 아래와 같다. 여기에서 $u$는 변위이고 $X$는 길이이다. 아래첨자는 기저 벡터의 방향을 의미한다. 위에서 설명한 수직 변형률과 전단 변형률이 정말 나오는지 구해보자.
$$ \epsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i}\right) $$
전단 변형률을 다룰 때 다음 관계를 주의한다.
$$ \gamma_{xy} = 2\epsilon_{xy} $$
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