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171 개의 검색 결과가 있습니다.

엄마가 공부하랄 때 할 걸/공돌이 필수

기초선형대수 - 볼록성 (Convexity)

-Basic Linear Algebra- 8. 볼록성(Convexity) 8.1. 대충 설명하자면.. 오늘은 볼록성에 대해 알아보자. 볼록성은 말 그대로 볼록하냐 안 하냐를 말하는 것이다. 예를 들어 볼록렌즈는 마냥 볼록하다. 무슨 소리냐 하면 렌즈면이 볼록할 뿐 중간에 조금이라도 움푹 들어간 부분이 없다는 뜻이다. 오목렌즈는 오목(concave)하다. 마찬가지로 오목렌즈는 렌즈면이 오목할 뿐 중간에 뽈록 튀어나온 부분이 없는 것이다. 그리고 우리는 직관적으로 이 볼록렌즈나 오목렌즈의 정점(vertex)이 렌즈면 중에서 가장 높거나 가장 낮다는 것을 알고 있다. 이와 유사하게 만약 어떤 함수가 볼록하다는 것을 알고 있으면 그 구간 안에 극소점(minimum)이 반드시 딱 한 개만 있을 것이고 그것이 곧 ..

2022. 8. 31. 01:37

엄마가 공부하랄 때 할 걸/공돌이 필수

기초 선형대수 - 양정 행렬(Positive Definite)

-Basic Linear Algebra- 8. 양정과 양반정(Positive definite and Positive semi-definite) 8.1. 정의(Definition) 실수 공간에 있는 모든 벡터 $\boldsymbol{x}$에 대해 $\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \ge 0$이고 오직 $\boldsymbol{x}=0$일 때만 $\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$을 만족한다면 이 이차 형식은 양정(positive definite)이라 한다. 또는 대칭 행렬 $\boldsymbol{A}$는 양정이라 한다. \begin{align} &\boldsymbol{x}..

2022. 8. 28. 00:32

엄마가 공부하랄 때 할 걸/공돌이 필수

기초 선형대수 - 이차 형식(Quadratic Form)

-Basic Linear Algebra- 7. 이차 형식(Quadratic Form) 7.1. 정의(Definition) 이차 형식은 함수의 꼴이 이차 다항식인 것을 말한다. 이를 표현하면 다음과 같다. \begin{align} f(\boldsymbol{x}) &= \boldsymbol{x}^{\mathsf{T}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x} \\\\ &= q_{11}x_1^2 + q_{22}x_2^2 + \cdots + q_{nn}x_n^2 + q_{12}x_1x_2 + \cdots + q_{n,n-1}x_nx_{n-1} \end{align} 위 식에서 행렬 $\boldsymbol{Q}$는 크기가 $n \times n$인 계수 행렬이 된다. 간단한 예로 어떤 행렬 $\bolds..

2022. 8. 27. 02:40

엄마가 공부하랄 때 할 걸/공돌이 필수

기초 선형대수 - 고유값과 고유벡터(Eigenvalue and Eigenvector)

-Basic Linear Algebra- 6. Eigenvalue and Eigenvector 6.1. Definition $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$인 어떤 행렬 $\boldsymbol{A}$가 있다고 하자. $\boldsymbol{A}$는 실수 원소를 갖는 $n \times n$ 크기의 정방 행렬이다. 그리고 $\boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V}^n $인 어떤 벡터 $\boldsymbol{v}$가 있다고 하자. 여기에서 $\boldsymbol{V}$는 n-dimensional subspace를 말한다. 이 때 0이 아닌 $\lambda$가 존재하고 다음을 만족하는 경우에 $\lambda$를 고유치(eigenvalue), 그리..

2022. 6. 30. 21:27

엄마가 공부하랄 때 할 걸/공돌이 필수

기초 선형대수 - 내적(Dot Product)

-Basic Linear Algebra- 5. Dot Product (내적) 5.1. Definition $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$에 대하여, \begin{align} \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle &= \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} = \boldsymbol{x}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{y} \\\\ &= \sum_{i=1}^{n}x_iy_i = \|x\|\|y\|\cos\theta \end{align} 여기에서 $\|x\|=\sqrt{\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle} = \sqrt{\boldsy..

2022. 6. 30. 21:04

엄마가 공부하랄 때 할 걸/공돌이 필수

기초 선형대수 - 용어(Terminology)

-Basic Linear Algebra- 4. Termonology (용어) 4.1. Span (생성) 다음과 같은 벡터들이 있다고 하자. $$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k \in \mathbb{R}^n$$ $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k$의 span은 모든 선형 결합들의 집합이다. 즉 벡터 공간 상에 존재하는 이 벡터들로 이루어진 조합의 모든 경우의 수를 말한다. 따라서 "span a space"는 공간을 형성(또는 생성)한다는 뜻이다. $$\text{span}\left[\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots,..

2022. 4. 5. 02:07

엄마가 공부하랄 때 할 걸/공돌이 필수

기초 선형대수 - 선형 결합과 선형 독립(Linear Combination and Linear Independence)

-Basic Linear Algebra- 3. Linear Combination (선형 결합) 3.1. Linear Combination (선형 결합) 아래와 같이 일련의 항들을 상수배하여 더한 것을 선형 결합이라 한다. $$ c = \sum_{i=1}^{n}x_iy_i = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n $$ 아래와 같은 선형 방정식이 있다고 하자. 아래 방정식에서 $\boldsymbol{x}$와 $\boldsymbol{y}$는 $(n\times 1)$ 크기를 갖고 $\boldsymbol{A}$는 $(n\times n)$ 크기를 갖는 정사각 행렬(square matrix)이다. $$ \boldsymbol{y} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \Long..

2022. 4. 5. 01:30

엄마가 공부하랄 때 할 걸/공돌이 필수

기초 선형대수 - 벡터, 행렬, 집합(Vector, Matrix, and Set)

-Basic Linear Algebra- 1. Vector & Matrix (벡터 & 행렬) 1.1. Vector (벡터) 벡터는 다음과 같이 쓴다. 기본적으로 벡터는 열벡터(column vector)로 쓰고 문서에 표기할 때는 공간을 절약하기 위해 전치(transpose)로 나타내곤 한다. \begin{align} &\boldsymbol{x} = [x_1, x_2, \cdots, x_n]^{\mathsf{T}} &\text{n-dimensional column vector} \\\\ &\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}} = [x_1, x_2, \cdots, x_n] &\text{n-dimensional row vector} \end{align} $$ \boldsymbol{x} \in \m..

2022. 4. 5. 01:29

엄마가 공부하랄 때 할 걸/공돌이 영어

No matter what

무슨 일이 있어도 Dean, we’ve got to stop the sons of bitches, no matter what, and that’s all there is to it. 딘, 무슨 일이 있어도 우리는 그 개자식들을 막아야하고 그게 다야.

2022. 2. 12. 14:32

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

보에 작용하는 전단 응력 (Shear Stress in Beams)

1. 순수 굽힘과 전단력 우리가 처음 보의 굽힘 거동을 다룰 때 순수 굽힘(pure bending)을 알아본 적이 있다. 순수 굽힘 상태의 보는 모멘트에 의해서 휘고 보에 작용하는 전단력은 무시했다. 순수 굽힘은 외력 모멘트만 작용하는 상태이고 내력 모멘트가 휨이 발생하는 구간에서 일정(constant)하다는 것을 기억해야 한다. 보에 작용하는 외력이 모멘트뿐이니 전단력도 없고 따라서 전단 응력도 없다. 심심할 때 보에 모멘트를 주고 분할법으로 보의 내력 선도를 그려보자. 그런데 지금까지 외팔보에 외력 $P$를 작용하면 휜다는 예제를 많이 풀었으니 이게 무슨 소리인지 잠깐 어지러울 수 있다. 물론 전단력이 작용할 때도 당연히 보는 휘어지지만 이 때는 순수 굽힘이 아니다. 그렇다면 보에 전단력만이 작용할 ..

2022. 2. 5. 21:42

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

내력의 선도-특이함수법(Singular Function Method)

4. 특이함수법(Singular Function Method) 지금까지 분할법을 이용해 보에 작용하는 내력을 구하거나 직접 적분법을 이용해 내력을 구했다. 분할법을 이용하면 직관적이긴 하지만 반력을 구해야 하고 구간마다 자유물체도를 그려야 하는 불편이 있었다. 직접 적분법을 이용하면 반력을 구하거나 매번 자유물체도를 그릴 필요는 없지만 구간의 경계에서 조금 더 생각을 해야 했다. 특이함수법은 Maucalay's method 또는 double integration method라 하기도 하며 임의의 외력을 분포 하중을 이용해 표현하는 방법이다. 이 방법을 이용하면 집중 하중이나 집중 모멘트의 경우에도 분포 하중으로 나타낼 수 있기 때문에 지배 미분방정식의 우변 $q(x)$로 외력을 나타낼 수 있게 된다. 시..

2022. 2. 3. 22:14

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

내력의 선도-직접적분법(Direct Integration Method)

3. 직접적분법(Direct Integration Method) 직접적분법은 앞서 우리가 구한 2계 미분방정식을 직접 풀어서 내력을 결정하는 것이다. \begin{align} \frac{dV}{dx} &= -q(x) \\\\ \frac{dM}{dx} &= -V(x) \\\\ \frac{d^2M}{{dx}^2} &= -\frac{dV}{dx} = q(x) \end{align} 먼저 보에 작용하는 분포 하중 $q(x)$를 파악해야 한다. 그 이후에는 다음과 같이 두 번의 적분을 통해 모멘트와 전단력을 구하게 된다. 수직력은 굽힘을 유발하지 않기 때문에 수식에 나타나지 않고 신경 쓸 필요가 없다. \begin{align} \frac{d^2M}{{dx}^2} &= q(x) \\\\ \frac{dM}{dx} &=..

2022. 2. 2. 23:42

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

내력의 선도-분할법(Section Method)

1. 내력의 선도(Internal Force Diagram) 부재를 설계할 때 내력 선도를 그리는 것이 중요하다. 부재에 작용하는 힘과 모멘트를 한눈에 파악할 수 있고 하중이 집중되는 부분을 파악해 하중을 완화하거나 구조를 보강할 수 있기 때문이다. 파악해야 할 내력의 선도에는 다음과 같은 것들이 있다. AFD(Axial Force Diagram) - 축 하중 선도 SFD(Shear Force Diagram) - 전단 하중 선 BMD(Bending Moment Diagram) - 굽힘 모멘트 선도 우리가 지금까지 다룬 내력에는 수직력, 전단력, 그리고 내력 모멘트가 있으며 각각 AFD, SFD 그리고 BMD에 대응하는 내력들이다. 이런 내력 선도를 그리는 방법은 세 가지 정도가 있는데 분할법, 직접 적분..

2022. 1. 13. 22:53

엄마가 공부하랄 때 할 걸/고체역학

전단 응력과 굽힘 모멘트 사이의 관계 (Relationship between Shear Force and Bending Moment)

1. 분포 하중과 전단 응력, 그리고 모멘트 1.1. 분포 하중이 작용하는 보 그림 1과 같은 보에 $q(x)$의 분포 하중(distributed load)가 작용하고 있다. 여기에서 아주 작은 크기 $dx$에 해당하는 부분을 확대해서 그림 2에 나타내고 하중 상태를 표시했다. 특별한 것은 없고 구배(gradient)에 의한 하중 증분이 반영되어 있다. 1.2. 힘의 평형(Force Equilibrium) 그림 2에서 힘의 평형 방정식은 다음과 같다. $$ \sum{F_y} = -V + \left(V + \frac{dV}{dx}dx\right) + q(x)dx = 0 $$ $$ \therefore \frac{dV}{dx} + q(x) = 0 $$ 1.3. 모멘트의 평형(Moment Equilibrium)..

2022. 1. 11. 23:43