-Basic Linear Algebra-
4. Termonology (용어)
4.1. Span (생성)
다음과 같은 벡터들이 있다고 하자.
$$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k \in \mathbb{R}^n$$
$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k$의 span은 모든 선형 결합들의 집합이다. 즉 벡터 공간 상에 존재하는 이 벡터들로 이루어진 조합의 모든 경우의 수를 말한다. 따라서 "span a space"는 공간을 형성(또는 생성)한다는 뜻이다.
$$\text{span}\left[\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k\right] = \left\{\sum_{i=1}^k\alpha_i\boldsymbol{a}_i\right\}$$
4.2. Subspace (부분공간)
$\mathbb{R}^n$의 부분집합(subset) $V$가 벡터 덧셈(vector addition)과 스칼라 곱셈(scalar multiplication)에 대해 닫혀(closed)있다면 $V$는 $\mathbb{R}^n$의 부분공간(subspace)라 한다.
\begin{cases} \text{if } \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in V \Rightarrow \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \in V \\\\ \text{if } \boldsymbol{a} \in V \Rightarrow \alpha\boldsymbol{a} \in V \text{ for } \forall\alpha \in \mathbb{R} \end{cases}
만약 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in V$이면, 어떤 모든 $\alpha, \beta$에 대해 다음이 성립한다.
$$\alpha\boldsymbol{a} + \beta\boldsymbol{b} \in V$$
영 벡터(zero vector)는 $V$에 속한다.
4.3. Basis (기저)
어떤 부분공간 $V$가 있고, 선형 독립인 벡터들로 이루어진 어떤 집합이 $V$에 속한다고 하자.
$$ \left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k\right\} \subset V $$
그리고 이 벡터들이 부분공간 $V$를 형성하면(span a subspace V) 이 벡터들은 $V$의 기저(basis)가 된다.
$$ V=\text{span}\left[\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k\right] $$
4.4. Dimension (차원)
어떤 부분공간의 차원을 말할 때는 이 부분공간을 이루는 기저(basis)의 개수를 말한다.
$$\text{dim}\ \boldsymbol{V}: \text{ The number of basis vectors which span }\boldsymbol{V}$$
어떤 벡터의 차원을 말할 때는 이 벡터의 요소 개수를 의미한다. 벡터의 크기(magnitude)와는 다르다.
$$\text{dim}\ \boldsymbol{a}: \text{ The number of elements in } \boldsymbol{a}$$
4.5. iff (if and only if)
iff는 "if and only if"의 줄임말이다. 필요조건과 충분조건을 모두 만족하는 명제에 쓰인다. 즉 명제의 역도 성립함을 의미한다.
4.6. Rank (계수)
행렬 $\boldsymbol{A}$의 선형 독립인 열(column)의 최대 갯수를 $\boldsymbol{A}$의 rank라 한다.
$$\text{Rank}\ \boldsymbol{A} = \text{dim}\ \text{span}\ \left[\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k\right]$$
4.7. Theorem (정리)
만약 벡터 집합 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_k\right\}$이 부분공간 $V$의 기저라면, $V$의 어떤 벡터 $\boldsymbol{a}$는 기저들의 선형 결합으로 유일하게 표현된다.
$$\boldsymbol{a} = \alpha_1\boldsymbol{a}_1 + \alpha_2\boldsymbol{a}_2 + \cdots + \alpha_k\boldsymbol{a}_k \quad\text{where, } \alpha_i \in \mathbb{R}$$
4.7.1. Proof
유일성을 증명하기 위해 벡터 $\boldsymbol{a}$를 다음과 같이 두 가지 방법으로 표현할 수 있다고 가정하자.
\begin{align}\boldsymbol{a} &= \alpha_1\boldsymbol{a}_1+\alpha_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+\alpha_k\boldsymbol{a}_k \\\\ \boldsymbol{a} &= \beta_1\boldsymbol{b}_1+\beta_2\boldsymbol{b}_2+\cdots+\beta_k\boldsymbol{b}_k\end{align}
그러면 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$ \alpha_1\boldsymbol{a}_1+\alpha_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+\alpha_k\boldsymbol{a}_k = \beta_1\boldsymbol{a}_1+\beta_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+\beta_k\boldsymbol{a}_k $$
$$\therefore(\alpha_1-\beta_1)\boldsymbol{a} + \cdots + (\alpha_k-\beta_k)\boldsymbol{a}_k = 0$$
이때 $\left\{\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_k\right\}$는 선형 독립이므로 모든 계수는 0이 될 수밖에 없다.
$$\alpha_i-\beta_i=0 \quad \Rightarrow \quad \therefore \alpha_i=\beta_i$$
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