목차
-Basic Linear Algebra-
1. Vector & Matrix (벡터 & 행렬)
1.1. Vector (벡터)
벡터는 다음과 같이 쓴다. 기본적으로 벡터는 열벡터(column vector)로 쓰고 문서에 표기할 때는 공간을 절약하기 위해 전치(transpose)로 나타내곤 한다.
\begin{align} &\boldsymbol{x} = [x_1, x_2, \cdots, x_n]^{\mathsf{T}} &\text{n-dimensional column vector} \\\\ &\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}} = [x_1, x_2, \cdots, x_n] &\text{n-dimensional row vector} \end{align}
\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n
위 표기는 열백터 \boldsymbol{x}가 n 차원 실수 벡터 공간 \mathbb{R}에 속해 있다는 뜻이다.
1.2. Notation (표기법)
텐서(tensor)는 좌표를 변환해도 변하지 않는 물리량 그자체의 총칭이다. 텐서 중 0차 텐서는 스칼라(scalar), 1차 텐서는 벡터(vector), 그리고 2차 텐서는 행렬(matrix)라고 한다. 각각을 나타는 방법은 아래처럼 스칼라는 일반적인 글자체 소문자로 쓰고 벡터는 두꺼운 소문자로 쓴다. 행렬은 벡터와 구분하기 위해 두꺼운 대문자로 쓰기로 한다. 문서에 쓸 때는 두껍게 쓰기 어렵기 때문에 벡터 위에 화살표를 그리거나 물결표(tilde)를 하는 방법, 또는 밑줄(underbar)을 쓰곤 한다.
\begin{align} \text{Scalar:} \quad&x \\\\ \text{Vector:} \quad&\boldsymbol{x} \\\\ \text{Matrix:} \quad&\boldsymbol{X} \end{align}
1.3. Properties (성질)
1. Commutative: \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}
2. Associative: \boldsymbol{a} +(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{c}
3. Distributive: \alpha(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = \alpha\boldsymbol{a} + \alpha\boldsymbol{b}
4. Zero vector: \boldsymbol{0} \in \mathbb{R}^n \quad\text{s.t}\quad \boldsymbol{a} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{a}
5. 1\times\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}
2. Set (집합)
2.1. Definition (정의)
특정 조건을 만족하는 점들(points)의 모음(collection)을 집합(set)이라 한다.
아래 조건을 만족하는 집합 S가 있다고 하자.
S = \left\{ \boldsymbol{x} = (x_1, x_2, 0) \bigr\rvert x_3 = 0 \right\}
\therefore (2, 1, 0) \in S, \quad (2,1,1) \notin S
그렇다면 S \subset \mathbb{R}^2일까? 아니다. S의 세번째 원소가 0이더라도 3차원 벡터 공간에서 정의된 집합으로 S는 평면 위에 있는 점의 집합인 것이다.
S \subset \mathbb{R}^3
2.2. Notation (표기법)
집합은 대문자로 쓰고 집합의 원소는 소문자로 쓴다.
X, Y \Rightarrow \text{set},\qquad x\Rightarrow \text{element}
x \in X:\ x\text{ is an element of } X
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