테일러 급수 전개 (Taylor Series Expansion)

 학부 1, 2학년 때 배우는 테일러 급수는 너무 유명해서 모르는 사람이 없다. 테일러 급수를 이용하면 임의의 함수를 우리가 쉽게 다룰 수 있는 다항식으로 근사할 수 있다. 이를 이용하면 삼각함수 표 없이도 삼각함수를 근사 다항식으로 쉽게 계산해 내거나 초월 함수를 계산할 수 있게 된다. 그리고 비율 판정을 쉽게 할 수 있다는 장점있다.

 

목차

• 1. 테일러 급수의 유도
• 2. 자주 사용하는 식의 테일러 급수 표현
• 3. 오일러 공식

1. 테일러 급수의 유도

 테일러 급수를 유도하는 방법은 미분을 이용하는 것이 이해하기 쉽다. 점 $x=a$에서의 미분은 아래와 같다.

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \cdots (1)$$

 

 $\epsilon-\delta$ 정의를 이용하고 $\epsilon\left|x-a\right|$를 $R_1(x)$로 쓰면 아래처럼 쓸 수 있다.

$$f(x) = f(a) + f^{(1)}(a)(x-a) + R_1(x) \cdots (2)$$

 

 다시 이것을 2계 도함수에 대해 적용하면,

$$f^{(1)}(x) = f^{(1)}(a) + f^{(2)}(a)(x-a) + R_2(x) \cdots (3)$$

 

 식 (2)를 미분하면,

$$f^{(1)}(x) = f^{(1)}(a) + R_1'(x) \cdots (4)$$

 

 식 (3)의 우변과 식 (4)의 우변이 같으므로

$$f^{(1)}(a) + R_1'(x) = f^{(1)}(a) + f^{(2)}(a)(x-a) + R_2(x) \cdots (5)$$

 

 따라서,

$$R_1'(x) = f^{(2)}(a)(x-a) + R_2(x) \cdots (6)$$

 

 양변을 적분하면

$$R_1(x) = \int_{a}^{x} f^{(2)}(a)(x-a) + R_2(x) dx \cdots (7)$$

$$R_1(x) = \frac{f^{(2)}(a)}{2} (x-a)^2 + \int_{a}^{x}{R_2(x)}dx \cdots (8)$$

 

 그러므로 2차항까지 쓰면,

$$f(x) = f(a) + f^{(1)}(a)(x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2} (x-a)^2 + \int_{a}^{x}{R_2(x)}dx \cdots (9)$$

 

 같은 방법으로 반복해서 3차항까지 쓰면,

$$f(x) = f(a) + f^{(1)}(a)(x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2} (x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3\times2} (x-a)^3 + \int_{a}^{x}{R_3(x)}dx \cdots (10)$$

 

 테일러 급수의 일반식은 아래와 같다.

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {{{f^{(n)}(a)}\over{n!}}(x-a)^n}$$

 

2. 자주 사용하는 식의 테일러 급수 표현

 

$$\begin{align} \sin x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &= x - \frac{1}{3!}x^3 - \frac{1}{5!}x^5 + \cdots \\ \cos x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &= 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 + \cdots \\ e^x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n} &= 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \cdots \end{align}$$

 

3. 오일러 공식

 마지막으로 오일러 공식을 테일러 급수로 표현해 보자. 지수 함수 $e^x$를 테일러 급수로 표현하면 아래와 같다.

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n} = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \cdots$$

 

 위 식에 $x$ 대신 $jx$를 대입하면, ($j = \sqrt{-1}$)

$$e^{jx} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{j^n}{n!} x^n = 1 + jx - \frac{1}{2!}x^2 - \frac{j}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{j}{5!}x^5 + \cdots$$

 

 위 식을 홀수항과 짝수항으로 구분해 보면?

$$e^{jx} = (1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 + \cdots) + j(x - \frac{1}{3!}x^3 - \frac{1}{5!}x^5 + \cdots)$$

 

 홀수항은 실수부가 되고 짝수항은 허수부가 되는 것을 알 수 있다. 한번 더 자세히 살펴보면 실수부와 허수부가 각각 $\cos x$와 $\sin x$의 테일러 급수 표현이다. 따라서 테일러 급수를 이용하여 오일러 공식이 유도 된다.

$$e^{jx} = \cos x + j\sin x$$