우리 모두는 고등학교 때 무한급수를 열심히 공부한 경험이 있다. 이 급수를 한자로 써보면 級數인데 차례를 말하는 '급'자에 숫자 할 때 '수'이다. 차례로 있는 수라니? 얼핏 수열의 느낌이 들지만 급수는 그 숫자들을 차례차례 더한 것이다. 이때 급수의 항이 무한개가 있으면 익히 알고 있는 무한급수이다. 임의의 함수를 다항식의 무한급수로 표현하는 테일러 급수도 무한급수이다. 마찬가지로 오늘 설명할 푸리에 급수도 무한급수이다.
푸리에 급수와 변환에 대한 자세한 증명 과정은 한참 사용하다가 급수와 변환에 익숙해지고 나면 그때 깊이 있게 공부해도 좋다. 왜냐하면 우리는 일단 잘 써먹는 것이 중요하다. 더욱이 푸리에 급수의 응용은 증명에 비해 단순하기 때문에 시작부터 어려운 증명 과정에 진이 빠져서는 안 된다. 심지어 푸리에 형님 조차도 확신은 있었지만 엄밀한 증명을 하지는 못했으니 낙담하지 말고 뒤에서 부터 공부를 시작해보자
1. 푸리에 급수 (Fourier Series)
일단 푸리에 형님(본명 장-바티스트 조제프 푸리에, Jean Baptist Joseph Fourier)은 본인이 생각한 엄청난 아이디어를 출판하고 싶었지만 푸리에 형님의 무서운 스승님들이 "논문이 아직 좀 그래.."라면서 증명의 결점을 지적해 출판하지 못하게 된다. 그 스승님들이 누구인가 하니 바로 이름만 들어도 벌벌 떨리는 라그랑쥐와 라플라스인 것이다. 후들후들.. 21세기에 이름만 들어도 스트레스 팍! 오는데 제자들은 얼마나 고달팠을까? 결국 푸리에 형님은 "아 이 정도면 됐지 진짜.."라면서 자비로 출판을 해 세상에 이름을 날리게 된다. 그러나 엄밀한 증명은 후일 디리클레가 했는데 푸리에 급수가 원래의 함수로 수렴하는 것을 증명한 것이다.
푸리에 선생님: 임의의 주기 함수는 삼각함수의 합이다.
푸리에 급수는 너무 유명해서 여러번 말하면 피곤하겠지만 일단 함 써본다. 주기가 $2\pi$인 임의의 주기 함수 $f \left(x \right)$는 다음과 같다.
$$ f(x)\quad =\quad { c }_{ 0 }+{ a }_{ 1 }\cos { x } +{ b }_{ 1 }\sin { x } +{ a }_{ 2 }\cos { 2x } +{ b }_{ 2 }\sin { 2x } +{ a }_{ 3 }\cos { 3x } +{ b }_{ 3 }\sin { 3x+\cdots } \cdots (1) $$
대충봐도 $a_0$ 빼고는 삼각함수들의 합이라는 걸 알 수 있다. 글타.. 푸리에 급수는 '임의의 주기 함수는 무한개 삼각함수들의 합'을 말하는 것이다. 그럼 이제 푸리에 급수가 삼각함수의 합이라는 건 알겠고 저 수많은 계수들을 어떻게 구하느냐 하는 것이 궁금해지는 것이다. 일단 위 수식을 예쁘게 사인과 코사인으로 정리해서 임의의 주기 $2L$에 대해 써보자. 왜 $2L$로 하냐면 나중에 대칭 함수를 반구간 전개할 때 편하기 때문이다.
$$ f(x)\quad =\quad { c }_{ 0 }+\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n } } \cos { n\omega x } +{ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n } } \sin { n\omega x } },\quad \omega=\frac{\pi}{L} \cdots (2) $$
위에랑 좀 다른데?라고 생각할 수도 있겠지만 주기 $2L=2\pi$면 위 식과 같다는 것을 수 있다.
2. 삼각함수의 직교성
삼각함수는 서로 직교한다. 물론 자기 자신은 빼고 말이다. 임의의 주기 $2L$을 갖는 삼각함수의 각속도가 $\omega={\pi}/{L}$일 때 각속도의 정수배가 되는 삼각함수는 서로 직교한다.
$$
\int_{-L}^{L}
{
\cos { \left( n\omega x \right) }
\sin { \left( m\omega x \right) }
dx
}=0, \left( n\neq m \right) \cdots (3) \\
\int_{-L}^{L}
{
\sin { \left( n\omega x \right) }
\sin { \left( m\omega x \right) }
dx
}=0, \left( n\neq m \right) \cdots (4) \\
\int_{-L}^{L}
{
\cos { \left( n\omega x \right) }
\cos { \left( m\omega x \right) }
dx
} =0, \left( n\neq m \right) \cdots (5)
$$
만약 $n=m$ 이면 0이 아니게 된다.
3. 푸리에 급수의 계수
푸리에 급수의 계수는 식 (2) 양변에 $\sin{ \left( m \omega x \right) }$ 또는 $\cos{ \left( m \omega x \right) }$를 곱하고 주기에 대해 적분해서 구한다. 이때 우변에서 삼각함수 주기에 대해 적분하게 되면 삼각함수의 직교성에 의해 항들이 제거되어 계수를 구할 수 있게 된다.
3.1 $c_0$의 결정
상수 $c_0$를 구하기 위해 식 (2)의 양변을 주기에 대해 적분 하면 다음과 같다.
$$
\int_{-L}^{L}{f \left( x \right)dx}=
\int_{-L}^{L}{\left[ c_0+ \sum_{n=1}^{\infty}{a_n\cos{ n\omega x }} + \sum_{n=1}^{\infty}{b_n\sin{ n\omega x }}\right]},
\omega=\frac{\pi}{L} \cdots (6)
$$
식 (6)이 균등수렴하면 식(7)와 같이 쓸 수 있다. 균등수렴이라는 것은 급수의 각 항이 각자 수렴하는 것을 의미한다.
$$
\int_{-L}^{L}{f \left( x \right)dx}=
\int_{-L}^{L}{c_0}dx+ \sum_{n=1}^{\infty}\left[ a_n\int_{-L}^{L}\cos{ n\omega x }dx \right] + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ b_n\int_{-L}^{L}\sin{ n\omega x }dx\right],
\omega=\frac{\pi}{L} \cdots (7)
$$
식(7)에서 우변의 첫 항은 $2Lc_0$가 되고 나머지 적분항은 주기에 대한 적분이므로 $0$이 된다. 따라서,
$$ c_0= \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L}{ f \left( x \right) }dx $$
3.2 $a_n$의 결정
식 (2)의 양변에 $\cos{\left( m\omega x \right)}$를 곱한 뒤 주기에 대해 적분한다.
\begin{align}
\int_{-L}^{L}{f \left( x \right)\cos{\left( m\omega x \right)}dx} =
\int_{-L}^{L}{c_0\cos{\left( m\omega x \right)}}dx &+ \sum_{n=1}^{\infty}\left[ a_n\int_{-L}^{L}\cos{ \left(n\omega x\right) }cos{ \left( m\omega x\right) }dx \right] \\\\ &+ \sum_{n=1}^{\infty}\left[ b_n\int_{-L}^{L}\sin{ \left(n\omega x \right)}cos{\left(m\omega x \right)}dx\right], \\\\ \omega=\frac{\pi}{L} \cdots (8)
\end{align}
식 (8)에서 우변의 첫번째 항은 삼각 함수를 주기에 대해 적분하므로 $0$이 된다. 두번째 항과 세번째 항은 $n \neq m$인 경우 삼각함수의 직교성에 의해 모조리 0이 되고 $n=m$인 경우만 남게 된다. 따라서 $n=m$인 경우에 두번째 항을 풀기 위해 삼각함수 공식을 적용하면,
$$ \int_{-L}^{L}{ \cos{ \left(m\omega x \right)}cos{\left(m\omega x \right)} } = \frac{1}{2}\int_{-L}^{L}{ \cos{\left( n+n \right)}}dx + \frac{1}{2}\int_{-L}^{L}{ \cos{\left( n-n \right)}}dx \cdots (9)$$
식 (9)에서 우변의 첫번째 항은 주기 함수의 적분이므로 $0$이 되고 두번째 항은 $\cos{0}=1$이므로 $Lx$가 된다. 마찬가지로 식 (8)에서 우변의 두번째 항을 풀기 위해 삼각함수 공식을 적용하면,
$$ \int_{-L}^{L}{ \sin{ \left(m\omega x \right)}cos{\left(m\omega x \right)} }= \frac{1}{2}\int_{-L}^{L}{ \sin{\left( n+n \right)}}dx + \frac{1}{2}\int_{-L}^{L}{ \sin{\left( n-n \right)}}dx \cdots (10)$$
식 (10)은 $\sin$함수이므로 적분은 모두 $0$이 된다. 따라서 식 (8)은 다음과 같이 정리 된다.
$$
\int_{-L}^{L}{f \left( x \right) \cos{\left(m\omega x\right)}dx}=
La_n, \omega=\frac{\pi}{L} \cdots (11)
$$
따라서 $a_n$은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$ a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L}{f\left(x\right)\cos{n\omega x}dx} $$
$b_n$도 같은 방법으로 $\sin{ \left( m \omega x \right) }$을 식 (2)에 곱해서 구하면 된다.
정리된 푸리에 급수의 계수는 아래와 같다.
\begin{align}
c_0&=\frac{ 1 }{ 2L } \int_{-L}^{L}{ f\left( x \right) dx } \\
a_n&=\frac{ 1 }{ L } \int_{-L}^{L}{ f\left( x \right) \cos {n\omega x } dx } \\
b_n&=\frac{ 1 }{ L } \int_{-L}^{L}{ f\left( x \right) \sin {n\omega x } dx }
\end{align}
여기에서 상수 $c_0$는 주기 $2L$에 대한 $f\left( x \right)$의 평균이 된다.
4. 그래서 어쩌라고..
푸리에 급수를 이용해 임의의 복잡한 주기 함수를 우리가 상대적으로(?) 잘 아는 삼각함수를 이용해 표현할 수 있게 된다. 항의 개수를 늘려가면 원래 함수에 수렴해 간다. 그러나 호기심 있는 관심 있는 사람들은 톱니파나 사각파, 삼각파를 Matlab 같은 툴로 항을 늘려 가며 그려보고 당황하게 될 것이다. 항을 계속해서 늘려도 미분 불가능한 첨점에서는 원래 함수에 좀처럼 수렴하지 못하고 계속해서 삐죽하게 튀어나오는 것을 알 수 있기 때문이다. 그렇다면 계속 항을 더 늘리면 수렴할까? 호기심 많은 아이런맨은 숫자를 계속 늘려 보지만 여전히 좀처럼 수렴하지 않는 것처럼 보인다. 이런 미분 불가능한 첨점을 가진 함수를 조각 연속, 또는 구분 연속(piecewise continuous, piecewise smooth)이라고 하고 이렇게 첨점에서 푸리에 급수의 부분합이 수렴하지 못하는 현상을 깁스 현상이라고 한다.
아무튼 그래서 중요한 것은 '임의의 주기 함수'를 가중치가 부여된 삼각함수의 선형 결합으로 표현할 수 있게 되었다는 점이다. 여기서 가중치는 푸리에 급수의 계수를 의미한다. 이때 삼각함수는 주파수가 다르면 서로 직교하는 것을 이용하였으므로 푸리에 급수의 모든 항은 서로 독립이다. 따라서 임의의 주파수 성분의 크기를 계수를 통해 알 수도 있고 원래 신호에서 특별히 제거하는 것도 가능하게 된다. 이것에 푸리에 급수가 테일러 급수와 다소 다른 부분이다.
푸리에 급수를 공부하고 나면 곧바로 푸리에 변환을 마주하게 된다. 푸리에 변환은 우리가 익히 알고 있듯이 시간 도메인의 함수를 주파수 도메인의 함수로 바꾸어 준다. 그렇다면 푸리에 급수와 푸리에 변환의 차이가 뭔지 궁금해진다. 결론부터 말하자면 푸리에 변환은 푸리에 급수의 주기를 무한대로 보내는 것이고 이렇게 하면 임의의 '비주기' 함수를 표현할 수 있게 된다. 다시 말해서 주기 함수에만 국한되어있던 푸리에 급수를 비주기 함수까지 확장하는 것이다.
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