푸리에 변환 (Fourier Transform)

 푸리에 급수를 이용하면 임의의 주기 함수를 기본 주파수의 정수배가 되는 정현파의 합으로 나타낼 수 있다. 여기에서 한번 더 나아가 푸리에 급수의 주기를 무한대로 확장하면 비주기 함수를 다룰 수 있게 된다. 이때 주기가 무한대가 되면서 합산(summation)이 적분으로 바뀌고 기존 함수의 변수에서 다른 변수에 대한 함수로 변환된다. 이렇게 적분식의 형태로 표현되면서 함수의 도메인을 바꾸는 것을 적분 변환이라 한다.

 

목차

• 1. 비주기 함수를 주기 함수로 표현 하기
• 2. 푸리에 급수의 적분 변환
• 3. 푸리에 코사인 변환
• 4. 푸리에 사인 변환
• 5. 푸리에 변환의 중요성

1. 비주기 함수를 주기 함수로 표현 하기

 인위적인 신호는 주기 함수인 경우가 많다. 예를 들어 전자회로에서 동작 클럭을 확인한다면 주기적인 사각파를 얻게 되된다. 그러나 소음이나 진동에 관련된 신호는 시간에 따라 무작위로 나타나는 랜덤 신호가 될 것이다. 이런 랜덤 신호는 비주기 특성을 보이게 되어 주기 함수만 다루는 푸리에 급수로는 다룰 수 없게 된다.

 

 비주기 함수를 주기 함수로 취급할 수만 있다면 우리는 푸리에 급수의 아이디어를 활용할 수 있을 것이다. 그 방법이 비주기 함수의 길이를 한 주기로 보고 계속해서 반복한다고 보는 것이다. 하지만 계속 반복하는 신호는 이전의 비주기 함수와는 확실히 다른 함수이기 때문에 이 주기를 차츰 늘리다가 무한대로 보내버리면 우리는 주기가 무한대인 함수를 얻을 수 있다. 이 함수는 한 번의 주기가 영원히 끝나지 않기 때문에 마치 우리가 이미 알던 비주기 함수처럼 취급할 수 있게 된다.

 

비주기 함수를 반복해 주기 함수로 취급하고, 그 주기가 무한대라면 비주기 함수를 주기함수로 표현할 수 있다.

 

2. 푸리에 급수의 적분 변환

 푸리에 급수는 아래 식 (1)과 같이 표현할 수 있다.

$$f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{ n=1 }^{ \infty } \left[ a_n \cos {\left( \omega_n x \right)} + b_n \sin { \left( \omega_n x \right)} \right],\omega_n=\frac{n\pi}{L} \cdots (1)$$

 

$$\begin{align} a_0 &= \frac{ 1 }{ L } \int_{-L}^{L}{ f\left( x \right) dx } \\ a_n &= \frac{ 1 }{ L } \int_{-L}^{L}{ f\left( x \right) \cos {\omega_n x } dx } \\ b_n &= \frac{ 1 }{ L } \int_{-L}^{L}{ f\left( x \right) \sin {\omega_n x } dx } \end{align}$$

 

 이 푸리에 급수의 계수를 원래식 (1)에 대입하면,

$$f(x) = \frac{ 1 }{ 2L } \int_{-L}^{L}{ f\left( v \right) dv }+\frac{ 1 }{ L } \sum_{ n=1 }^{ \infty } \left[ \cos {\left(\omega_n x \right)} \int_{-L}^{L}{ f\left( v \right) \cos { \left(\omega_n v \right)} dv } + \sin { \left(\omega_n x \right)}\int_{-L}^{L}{ f\left( v \right) \sin { \left(\omega_n v \right)} dv } \right],\omega_n=\frac{n\pi}{L} \cdots (2)$$

 

 여기에서 $1/L$은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\Delta\omega = \omega_{n+1} - \omega_{n} = \frac{(n+1)\pi}{L} - \frac{n\pi}{L} = \frac{\pi}{L} \\ \frac{1}{L} = \frac{\Delta\omega}{\pi}$$

 

 식 (2)를 다시 써보면,

$$f(x) = \frac{ \Delta\omega }{ 2\pi } \int_{-L}^{L}{ f\left( v \right) dv }+\frac{1}{\pi} \sum_{ n=1 }^{ \infty } \left[ \cos {\left(\omega_n x \right)} \int_{-L}^{L}{ f\left( v \right) \cos { \left(\omega_n v \right)} dv } + \sin { \left(\omega_n x \right)}\int_{-L}^{L}{ f\left( v \right) \sin { \left(\omega_n v \right)} dv } \right]\Delta\omega, \\ \omega_n=\frac{n\pi}{L} \cdots (3)$$

 

 $f\left( x \right)$가 모든 구간에서 조각 연속이고 절대 적분 가능하며 $f'\left( x \right)$가 모든 점에서 좌 극한과 우극한을 가진다고 가정한다. 딱히 연속일 필요는 없다. 연속이 아니더라도 좌극한과 우극한이 존재하면 푸리에 적분의 결과는 좌극한과 우 극한의 산술 평균이다.

 

 이제 식 (3)의 반주기 L을 무한대로 보내면 $\Delta\omega\rightarrow0$이 되어 우변의 첫 항 평균은 0이 되어 사라지고 합산식의 $\Delta\omega$는 미분소 $d\omega$가 되어 아래와 같이 합산식이 적분식으로 변형된다.

$$\lim_{L\rightarrow\infty}{\Delta\omega} = d\omega$$

$$f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{ 0 }^{ \infty } \left[ \cos {\left(\omega x \right)} \int_{-\infty}^{\infty}{ f\left( v \right) \cos { \left(\omega v \right)} dv } + \sin { \left(\omega x \right)}\int_{-\infty}^{\infty}{ f\left( v \right) \sin { \left(\omega v \right)} dv } \right] d\omega \cdots (4)$$

 

 식 (4)를 간결하게 다시 정리하면 식(5)와 같다. 이것이 푸리에 적분으로 표현한 $f(x)$이다. $A\left(\omega\right)$는 푸리에 코사인 적분, $B\left(\omega\right)$는 푸리에 사인 적분이다.

$$f\left(x\right) = \frac{1}{\pi} \int_{ 0 }^{ \infty } \left[ A\left(\omega\right)\cos {\omega x} + B\left(\omega\right)\sin {\omega x} \right] d\omega \cdots (5)$$

 

$$A\left(\omega\right) = \int_{-\infty}^{\infty}{ f\left( v \right) \cos { \left(\omega v \right)} dv } \\ B\left(\omega\right) = \int_{-\infty}^{\infty}{ f\left( v \right) \sin { \left(\omega v \right)} dv }$$

 

 지금까지는 각속도 $\omega$로 변환 도메인을 정리했지만 주파수 $f$에 대해 표현해보자. 주파수에 대해 정리하면 복잡한 계수가 싹 없어져서 예뻐진다. 각속도와 주파수와의 관계는 아래와 같다.

$$\begin{align} \omega &= 2\pi f \\ d\omega &= 2\pi df \end{align}$$

 

 식(5)에서 각속도를 주파수로 싹 바꾸면 식 (6)처럼 정리된다.

$$f\left(x\right) = 2 \int_{ 0 }^{ \infty } \left[ A\left(f\right)\cos {2\pi f x} + B\left(f\right)\sin {2\pi f x} \right] df \cdots (6)$$

 

$$A\left(f\right) = \int_{-\infty}^{\infty}{ f\left( v \right) \cos { \left(2\pi fv \right)} dv } \\ B\left(f\right) = \int_{-\infty}^{\infty}{ f\left( v \right) \sin { \left(2\pi fv \right)} dv }$$

 

3. 푸리에 코사인 변환

 특별히 $f\left(x\right)$가 우함수인 경우에는 $B\left(f\right)=0$이 되어 $A\left(f\right)$만 남게 된다. $f\left(x\right)$가 우함수이고 $\cos$함수도 우함수이므로, 우함수와 우함수의 곱은 우함수가 되어 반구간 전개 결과의 2배가 전구간 전개 결과와 동일하다. $A\left(f\right)$를 $F_c\left(f\right)$로 쓰고 $f\left(x\right)$를 $f_c(x)$로 쓰면 다음과 같다.

$$\begin{align} f_c(x) &= 2 \int_{ 0 }^{ \infty } \left[ F_c\left(f\right)\cos {2\pi f x} \right] df \\ F_c(f) &= 2 \int_{0}^{\infty}{ \left[ f_c(x) \cos { 2\pi fx } \right] dx } \end{align}$$

 

4. 푸리에 사인 변환

 특별히 $f\left(x\right)$가 기함수인 경우에는 $A\left(f\right)=0$이 되어 $B\left(f\right)$만 남게 된다. $f\left(x\right)$가 기함수이고 $\sin$도 기함수이므로, 기함수와 기함수의 곱은 우함수가 되어 반구간 전개 결과의 2배가 전구간 전개 결과와 동일하다. $B\left(f\right)$를 $F_s\left(f\right)$로 쓰고 $f\left(x\right)$를 $f_s(x)$로 쓰면 다음과 같다.

$$\begin{align} f_s(x) &= 2 \int_{0}^{\infty} \left[ F_s\left(f\right)\sin {2\pi fx} \right] df \\ F_s(f) &= 2 \int_{0}^{\infty} \left[ f_s\left( x \right) \sin {2\pi fx} \right] dx \end{align}$$

 

5. 푸리에 변환의 중요성

 지금까지 푸리에 코사인 변환과 사인 변환을 알아보았다. 이제 주기 함수에 국한되어 있던 푸리에 급수의 한계를 넘어 푸리에 변환을 통해 비주기 함수도 다룰 수 있게 되었다. 문제는 푸리에 급수와 마찬가지로 $\cos$함수와 $\sin$함수가 계속해서 함께 나타난다는 것이다. 신호가 우함수인 경우에는 $\cos$만으로 표현할 수 있을 것이고 기함수인 경우에는 $\sin$만으로 표현할 수 있겠지만 이도 저도 아닌 경우에는 조금 피곤해진다. 따라서 푸리에 급수와 마찬가지로 푸리에 변환도 복소함수로 표현하는 것이 일반적이다.

 

 이미지 처리와 같은 경우가 아니라면 대개 신호처리에서 시간에 대한 함수를 취급한다. 그래서 보통 이런 푸리에 변환을 연속 시간 푸리에 변환(CTFT, Continuous Time Fourier Transform)이라고 한다. 이 경우 연속 시간 함수를 주파수 도메인으로 변환하고 그 결과로 연속 주파수 함수를 얻을 수 있다. 이것은 주기를 무한대로 보내기 때문에다.($\lim_{T\rightarrow\infty}{1/T} = df$) 즉, 주파수 간격이 아주 작아져 연속 함수가 되는 것이다.