Dirac delta function이라고도 부르는 충격 함수는 인덱스가 같으면 1, 다르면 0을 의미하는 크로네커 델타(Kronecker's delta)의 연속 함수 형태이다. 폴 디랙(Paul Dirac) 선생님이 무려 25세 때 양자 역학 책을 쓰면서 소개한 개념이라고 하니 역시 천재는 다르구나 싶다.
사실 학교 다닐 때에는 충격 함수를 보고 "뭐 이런 더러운 함수가 다 있어"라고 생각했다. 대천재 폰 노이만 선생님도 수학적인 관점에서 망상이라고 했다고 하니 쓸데없이 뿌듯한 생각이 든다. 내가 하면 무식한 소리지만 이런 위대한 분들이 하면 뭔가 이유가 있을 것이다. 아무튼 그때는 억지로 만든 정의라고 생각하면서 꾸역꾸역 문제나 풀었는데 이제서야 다시 보니 신호처리나 시스템 해석에서 아주 중요한 개념이었던 것이다.
디랙 델타 함수는 후에 슈바르츠(Laurent Schwartz) 선생님이 적분 결과가 1인 분포의 개념으로 무한대 구간 정의역 문제를 해결해 수학계에서 인정할 수 있게 되었다고 한다. 사실 너무 편리해서 받아들이고 싶었는데 드디어 아름다운 변명을 만든 것일까? 나는 수학을 잘 모르니 다 이해 하기는 어렵지만 이것이 수학계의 노벨상인 필즈상을 받은 개념이라고 하니 그 특성이라도 다시 한번 알아보자.
1. 충격 함수(Dirac delta function)
1.1. 충격 함수의 정의
델타 함수는 시간 $t=0$일 때 무한대의 값을 갖고 이 외의 모든 시간에서 $0$이 되는 특이한 함수이다. 여기에서 단순히 한 점에서의 값이 무한대라고만 정의하지는 않고 적분했을 때 1이 된다고 정의한다.
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1 $$
$$ \delta(t) = \begin{cases} \infty & \text{if } \quad t = 0 \\ 0 & \text{if } \quad t \neq 0 \end{cases} $$
디랙 델타 함수는 그림 1처럼 표현하고 화살표는 끝없는 무한대를 의미한다.
1.2. 충격 함수의 대칭 특성
충격 함수를 $t$ 축에서 $t'$만큼 평행이동하면 아래와 같은 식을 생각할 수 있다.
$$ \delta(t-t') = \begin{cases} \infty & \text{if } \quad t = t' \\ 0 & \text{if } \quad t \neq t' \end{cases} $$
마찬가지로 $t$만큼 이동된 $t'$의 함수 $\delta(t'-t)$도 생각해볼 수 있다.
$$ \delta(t'-t) = \begin{cases} \infty & \text{if } \quad t' = t \\ 0 & \text{if } \quad t' \neq t \end{cases} $$
두 함수가 완전히 같다는 것을 알 수 있다. 따라서 델타 함수는 대칭이다.
$$ \delta(t-t') = \delta(t'-t) $$
1.3. 충격 함수의 비율 조정 특성 (Scailing)
델타 함수의 정의역을 $a$배 조정하면 델타 함수의 적분 결과도 같은 비율로 조정된다.
\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(at) dt &= \int_{-\infty}^{\infty} \delta(-at) dt \\\\ &= \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(|a|t) d(|a|t) dt \\\\ &= \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt \end{align}
1.4. 충격 함수의 선별 특성 (Sifting)
충격 함수는 마치 체로 함숫값을 걸러내는 듯한 역할을 한다. 이것이 델타 함수의 선별(sifting) 특성이다. 아래 식에서 $t \neq 0$일 때 $\delta(t)=0$ 이므로 적분에서 0이 되고 $t=0$일 때에만 의미가 있어 적분 결과는 $t=0$에서의 $f(t)$의 함숫값인 $f(0)$만 남게 된다.
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t) dt = f(0)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = f(0) $$
마찬가지로 $a$만큼 이동된 델타 함수에 대해서는 아래처럼 $t=a$에서의 함숫값을 꺼내게 된다.
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-a) dt = f(a) $$
신호처리에서 이 특성을 표본화(sampling)에 이용한다.
1.5. 충격 함수의 합성곱 특성 (Convolution)
충격 함수의 선별 특성과 마찬가지로 $t'$ 도메인에서 $t$ 이동된 델타 함수를 생각해보면 아래 식과 같다. 여기에서 $t'=t$일 때만 값이 살아남기 때문에 f(t)가 나오게 된다.
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(t')\delta(t-t') dt' = f(t) $$
어디서 많이 본 것 같은데?? 바로 합성곱(convolution)이다. 익숙한 형태로 다시 써보면 아래와 같다.
\begin{align} f(t)*\delta(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta(t-\tau) d\tau = f(t) \\\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau)\delta(\tau) d\tau = f(t) \end{align}
엥? 어떤 함수이든 델타 함수와의 합성곱은 자기 자신이 된다는 것을 알 수 있다. 이 특성을 이용해 선형 시불변 시스템(LTI, Linear Time-Invariant System)에 충격 함수가 입력으로 들어갔을 때의 응답이 곧 시스템의 전달 함수가 되는 결과를 얻게 된다. 다시 말해 충격 함수는 시스템의 단위 입력(unit input)이 되는 셈이다.
$$ h(t)*\delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\delta(t-\tau) d\tau = h(t) $$
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