연속 시간 푸리에 변환 (CTFT, Continuous Time Fourier Transform)

목차

• 1. 적분 변환
• 2. 연속 시간 푸리에 변환
• 3. 푸리에 변환의 의미

1. 적분 변환

 적분 변환은 원래의 함수를 적분 형태를 통해 다른 변수에 대한 함수로 변환하는 것을 말한다. 푸리에 변환은 이런 적분 변환의 하나이다. 푸리에 급수를 이용하면 조화 함수의 합으로, 그러니까 기본 주파수의 정수배가 되는 정현파의 합으로 주기 함수를 표현할 수 있었다.

 

 그러나 이런 주기 함수뿐만 아니라 비주기 함수를 다뤄야 할 때가 많이 있다. 어떤 비주기 함수의 길이가 $2L$일 때 이 길이를 가상의 '주기'로 생각해보자. 이 함수가 $2L$마다 계속해서 반복한다고 생각하면 주기 함수로 생각해 푸리에 급수를 적용할 수 있을 것이다. 이 상태에서 함수의 주기를 무한대로 보내면 영원히 '반복되지 않는' 주기 함수가 된다. 이와 같은 방법으로 비주기 함수에 푸리에 급수의 아이디어를 적용할 수 있으며 주기가 무한대가 되면서 급수의 합산 표현이 적분으로 바뀌고 테일러 급수의 계수가 주파수 도메인의 함수로 표현된다.

 

 이번에는 푸리에 급수의 복소 표현에서 출발해 푸리에 변환의 복소 표현을 알아보자. 일반적으로 신호를 다룰 때 많이 사용하기 때문에 이러한 푸리에 급수를 특별히 연속 시간 푸리에 급수(Continuous Time Fourier Series)라고 한다. 이 CTFS에서 주기를 무한대로 보내 연속 시간 푸리에 변환(Continuous Time Fourier Transform)을 유도할 수 있다. 따라서 앞으로의 편의상 시간에 대한 함수로 $f(t)$를 다룬다. 일반적으로 푸리에 변환이라고 하면 CTFT를 의미하고 실무에서 계측 신호를 가지고 푸리에 변환을 했다고 하면 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Tranform, DFT)을 의미한다. 특히 DFT 중에서도 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Transfrom, FFT)을 했다고 생각하면 거의 맞다.

 

2. 연속 시간 푸리에 변환

푸리에 급수의 복소 표현은 아래와 같다.

$$\omega_n = \frac{n\pi}{L}$$

$$\begin{align} f \left( t \right) &= \sum_{n=-\infty}^{ \infty } F_{n}e^{j\omega_n t} \\ F_n &= \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} { f\left( t \right) e^{-j\omega_n t} dt } \end{align}$$

 

 두 식을 합쳐 보면,

$$f \left( t \right) = \sum_{n=-\infty}^{ \infty }\left[ \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} { f\left( t \right) e^{-j\omega_n t} dt } \right] e^{j\omega_n t}$$

 

 만약 $f\left( t \right)$가 모든 구간에서 조각 연속이고 절대 적분 가능하며 $f'\left( t \right)$가 모든 점에서 좌극한과 우극한을 가진다고 가정한다. 주기 $T=2L$을 무한대로 보내면 합산식이 적분식이 된다.

$$\Delta\omega = \frac{(n+1)\pi}{L} - \frac{n\pi}{L} = \frac{\pi}{L}$$
$$\lim_{L\rightarrow0}{\frac{1}{2L}} = \frac{d\omega}{2\pi}$$

 

$$\begin{align} f \left( t \right) =& \lim_{L\rightarrow\infty} \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{ \infty }\left[ \int_{-L}^{L} { f\left( t \right) e^{-j\omega_n t} dx } \right] e^{j\omega_n t} \Delta\omega \\ =& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{ \infty }\left[ \int_{-\infty}^{\infty} { f\left( t \right) e^{-j\omega t} dx } \right] e^{j\omega t} d\omega \end{align}$$

 

 정리해서 다시 써보면,

 

$$f \left( t \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{ \infty }\left[ \int_{-\infty}^{\infty} { f\left( t \right) e^{-j\omega t} dt } \right] e^{j\omega t} d\omega$$

 

 각속도를 주파수에 대해 정리해서 다시 쓰면 푸리에 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다. 아래 두 번째 식이 푸리에 변환이 되고 첫 번째 식이 역변환이 된다.

$$\begin{align} f \left( t \right) =& \int_{-\infty}^{ \infty }F\left( f \right) e^{j2\pi ft} df \\ F\left( f \right) =& \int_{-\infty}^{\infty} { f\left( x \right) e^{-j2\pi ft} dt } \end{align}$$

 

3. 푸리에 변환의 의미

푸리에 변환은 임의의 비주기 함수를 주파수 도메인으로 나타낸다.

 지금까지 연속 시간 푸리에 변환(Continuous Time Fourier Transform)을 유도했다. 푸리에 변환의 중요한 의미는 비주기 함수를 정현파의 합으로 나타낸다는 것이다. 푸리에 급수와의 차이점은 기본 주파수의 정수배가 되는 삼각함수들 뿐만 아니라 연속 주파수의 삼각 함수로 표현된다는 점이다.

 

 진동 분석에서는 주파수별 진동의 크기를 알기 위해 $F(f)$의 크기(amplitude)만을 주파수에 대해 나타낸다. 가끔 이런 amplitude spectrum을 보고 그 크기가 그 주파수에서 신호의 크기를 나타내는 것으로 생각하기 쉽다. 하지만 사실은 스펙트럼 밀도(spectral density)이다. 따라서 $F(f)$는 $f$ 주위의 $\Delta f$ 범위에서 $f(t)$의 강도를 나타내는 것이다. 그러므로 아래 식은 신호의 총에너지로 취급한다.

$$E_t = \int_{-\infty}^{\infty} { \left| F(f) \right|^2} dw$$

 

 나중에 컴퓨터로 신호 처리를 하기 위해 이산화를 하다 보면 $\Delta f$가 변함에 따라 푸리에 변환의 결과가 변하는 것을 확인할 수 있다. 이것이 이산 푸리에 변환을 다룰 때 간과하기 쉬운 부분이다. 마음대로 값을 줄여서 사기 치기도 쉽고.. 아무튼 이런 문제 때문에 랜덤 신호에서는 amplitude spectrum이 아닌 전력 스펙트럼 밀도(Power Spectrum Density)를 사용한다.

 

 참고로 진동 분석에서는 주로 진동의 크기를 의미하는 magnitude에 집중 하지만 이미지 변환에서 쓰일 때는 phase가 magnitude보다 더 많은 정보를 가지고 있어 중요하게 취급하기도 한다.