단면 2차 모멘트 (Second Moment of Area)

1. 관성 모멘트 (Mass Moment of Inertia)

 어떤 물체가 운동 상태를 유지하려는 성질을 관성(inertia)이라고 한다. 직선 운동의 경우에는 힘의 평형 방정식에서 질량 $m$을 관성 항으로 다루지만 회전체의 경우에는 관성 모멘트 $I$를 관성 항으로 다룬다. 연속체에서 관성 모멘트는 아래처럼 쓴다.

\begin{align} I &= \int r^2 dm \\\\ &= \int r^2\rho(\textbf{r})dV \end{align}

 

 우리가 익숙하게 알고 있는 점 질량의 관성 모멘트는 아래와 같다.

$$ I = mr^2 $$

 

2. 단면 모멘트 (Moement or Area)

 보의 굽힘을 다루다 보면 단면 모멘트라는 것이 등장한다. Second moment of inertia of area라고 하니 동역학을 공부할 때 봤던 관성 모멘트인가 하고 들여다보지만 왠지 좀 아니 것 같아서 혼란스럽게 된다. 결론부터 말하자면 관성모멘트는 질량에 대한 모멘트(질량과 중심 거리)를 말하는 것이고 단면 모멘트는 단면적에 대한 모멘트(단면적과 중심 거리)이다. 또 '그럼 그동안 말한 모멘트는 뭐지?'하고 어지러울 수 있는데 그냥 모멘트라고 하면 힘에 대한 모멘트인 것이다.

 

 이런 개념들이 우리가 익히 아는 모멘트와 비슷하니까 용어를 그렇게 쓰는 것이고 다른 것이라는 점을 이해하면 된다. 또 다른 특징적인 차이점이 있다면 관성 모멘트와 단면 모멘트는 스칼라이고 힘에 대한 모멘트는 벡터이다.

 

2.1. 단면 1차 모멘트 (First Moment of Area)

 어떤 단면의 면적이 어떤 축에 대해 이루는 모멘트의 합은 전체 면적의 도심이 축에 대해 이루는 모멘트와 같다. 이것이 1차 단면 모멘트이고 도심을 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$라고 하면 다음과 같다. 이것은 두께가 일정한 평판의 무게 중심을 구하는 것과 같다.

$$ \int_A x dA = A\bar{x} $$

$$ \int_A y dA = A\bar{y} $$

$$ \int_A z dA = A\bar{z} $$

 

2.2. 단면 2차 모멘트 (Second Moment of Area)

 단면 2차 모멘트는 보의 굽힘 이론에서 등장한다. 단면의 내력 모멘트를 계산할 때 다음과 같은 식을 썼다.

$$ M_z = \int_A \sigma_x\cdot(-y) dA $$ 

 

 여기에서 굽힘 응력 $\sigma_x$는 아래와 같다.

$$ \sigma_x = - \left( \frac{E}{\rho}\right)y $$

 

 이 굽힘 응력식을 내력 모멘트 식에 대입하면 아래와 같다.

\begin{align} M_z &= \frac{E}{\rho} \int_A y^2 dA \\\\ &= \frac{EI_z}{\rho} \end{align}

$$ \text{where, }I_z = \int_A y^2 dA $$

 

위 식에 $I_z$가 z 축에 대한 단면의 2차 모멘트가 된다.

 

2.2.1 굽힘에 대한 단면 2차 모멘트

 단면 2차 모멘트는 단면의 거리의 제곱에 대한 모멘트이다. 보의 굽힘에서 나타나는 형태이며 비틀림에서의 극관성 모멘트(polar moment of inertia of area)와 유사하다. 다만 회전축이 아니라 굽힘이 발생하는 축에 대해 계산한다. 즉 굽힘에서는 중립 축(neutral axis)에 대해 계산하게 된다.

$$ I_y = \int_A z^2 dA $$

$$ I_z = \int_A y^2 dA $$

 

 보의 길이 방향이 $x$축이라고 하면 단면의 좌표축은 $z-y$ 좌표계가 된다. 2차원 문제에서는 보통 축 방향을 $x$로 두고 굽힘이 발생하는 방향을 $y$로 둔다. 이때 보의 $y$방향 두께를 따로 보의 깊이(depth of beam)이라고 한다. $z$ 방향 치수는 폭(width)이라고 한다.

 

2.2.2. 비틀림에 대한 단면 2차 모멘트

 길이 방향 $x$축에 대한 단면 2차 모멘트 $I_x$는 축에 대한 최단 거리 $\rho$를 고려하여 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$ I_x = \int_A \rho^2 dA $$

 

그림 1. 보의 단면

 

 위와 같은 $z-y$ 단면에서 위 식은 피타고라스 정리에 의해 아래처럼 다시 쓸 수 있게 된다.

\begin{align} I_x &= \int_A y^2 + z^2 dA \\\\ &= \int_A y^2 dA + \int_A z^2 dA \end{align}

 

$$ \therefore I_x = I_y + I_z $$

 

  이것은 비틀림에서 봤던 극관성 모멘트(polar moment of inertia of area) 임을 알 수 있다.

$$ I_p = I_x = I_y + I_z $$

 

2.2.3. 단면의 상승 모멘트

 단면의 상승 모멘트는 product moment of area라고 한다. 상승이라고 하니 뭔 말이야 올라가나? 싶은데 영어로 보니 product면 곱한다는 뜻일 것 같다. 다시 상승을 잘 생각해보니 '서로 곱한다'는 뜻일 거라고 짐작해볼 수 있다. 왜 이런 말이 됐는지 살펴보자.

 

 먼저 z 축에 대한 굽힘이 발생하는 경우 $I_z$가 굽힘과 관련이 있는 단면 2차 모멘트이다. 이 경우 굽힘을 유발하는 내력 모멘트 $M_z$는 존재하지만 y축에 대한 굽힘이 발생하지 않는다면 내력 모멘트 $M_y$ 역시 존재하지 않게 된다. 내력 모멘트 $M_y$를 계산해보면 아래와 같이 쓸 수 있다.

\begin{align} M_y &= \int_A \sigma_x \cdot z dA \\\\ &= \int_A -\left(\frac{M_z}{I_z}\right)y \cdot z dA \\\\ &= -\frac{M_z}{I_z}\int_A yz dA \\\\ &= -\frac{M_z}{I_z}\cdot I_{yz} \end{align}

$$ \text{where, } I_{yz} = \int_A yz dA $$

 

 위 식에서 $I_{yz}$는 0이 된다.

$$ \text{since } \frac{M_z}{I_z} \neq 0 \\\\ \therefore I_{yz} = 0 $$

 

 이게 무슨 말이냐 하면 $I_{yz}$가 0이 아니면 $M_y$가 0이 아니라는 뜻이다. 단면의 상승 모멘트는 대칭 단면인 경우에만 0이 된다. 다시 말해 대칭이 아닌 단면을 갖는 보는 구부릴 때 피곤한 결과가 나타날 수 있다는 것을 보여준다. 이 경우에는 굽힘 응력 $\sigma_x$는 내력 모멘트 $M_z$와 $M_y$가 유발한 응력이 합쳐져서 나타난다. 따라서 지금까지 다룬 하나의 축 방향으로만 굽힐 때의 결과를 바로 사용할 수 없다. 이런 것을 비대칭 굽힘(unsymmetric bending)이라고 하며 2축 방향 굽힘에 대한 것으로 추후에 따로 다룰 것이다.

 

3. 여러 가지 단면

3.1. 사각형 단면

 가장 흔하게 쓰이는 사각형 단면에 대해 알아보자.

 

그림 2. 사각형 단면

 

3.1.1. 도심의 위치

 사각형 단면의 도심 위치는 단면 1차 모멘트를 이용해 다음과 같이 구한다.

\begin{align} \int_A y dA &= A\bar{y} \\\\ \int_{0}^{h} y (bdy) &= A\bar{y} \\\\ \frac{bh^2}{2} &= bh\bar{y} \end{align}

 

 $$ \therefore \bar{y} = \frac{h}{2} $$

 

 $z$축에 대한 도심도 같은 방법으로 구하면 된다.

 

당연하지만 사각형 단면의 도심은 아래와 같다.

$$ (\bar{z}, \bar{y}) = (\frac{b}{2}, \frac{h}{2}) $$

 

3.1.2. 단면의 2차 모멘트

 도심에 대한 사각형 단면의 2차 모멘트는 아래와 같이 계산된다.

\begin{align} I_z &= \int_A y^2 dA \\\\ &= \int_{-h/2}^{h/2} y^2 (bdy) = b\left[ \frac{y^3}{3}\right]^{h/2}_{-h/2} \\\\ &= \frac{bh^3}{12} \end{align}

 

 $y$축에 대해서도 같은 방법으로 계산할 수 있다.

 

 정리하면 사각형 단면의 도심에 대한 단면 2차 모멘트는 다음과 같다.

\begin{align} I_y &= \frac{b^3h}{12} \\\\ I_z &= \frac{bh^3}{12} \end{align}

 

 위 결과에서 단면 2차 모멘트는 폭이 비례하고 깊이의 세제곱에 비례하는 것을 알 수 있다. 굽힘 응력은 단면 2차 모멘트에 반비례하므로 단면 2차 모멘트가 클수록 같은 하중에서도 응력은 작게 된다. 우리가 설계하는 보의 굽힘 응력을 줄이고 싶다면 단면을 설계할 때 폭을 늘리는 것보다 깊이를 늘리는 것이 훨씬 효과적일 것이라고 예상할 수 있다.

$$ \sigma_x = -\left(\frac{M}{I}\right)y $$

 

 새로운 좌표계 $z'-y'$에 대한 단면 2차 모멘트를 구하려면 아래처럼 새로운 좌표계에 대해 적분하면 된다.

$$ I_{z'} = \int_A y'^2 dA $$

 

 그러나 우리는 도심에 대한 2차 모멘트를 알고 있으므로 평행 축 정리를 이용하면 쉽게 구할 수 있다.

\begin{align} I_{z'} &= I_z + A\bar{y}^2 \\\\ &= \frac{bh^3}{12} + bh\left(\frac{h}{2}\right)^2 \\\\ &= \frac{bh^3}{3} \end{align}

 

 같은 방법으로 $I_{y'}$도 구할 수 있다.

 \begin{align} I_{y'} &= \frac{b^3h}{3} \\\\ I_{z'} &= \frac{bh^3}{3} \end{align}

 

 마지막으로 도심에 대한 단면의 상승 모멘트를 구해보자.

\begin{align} I_{yz} &= \int_A yz dA \\\\ &= \int_{-h/2}^{h/2} y \left[\int_{-b/2}^{b/2} z dz\right]dy \\\\ &= 0 \end{align}

 

 대칭 단면에서는 그냥 0이 되는 것을 알 수 있다.

 

 이 단면의 상승 모멘트를 $z'-y'$에서 보면 어떻게 될까?

\begin{align} I_{y'z'} &= I_{yz} + A\bar{y}\bar{z} \\\\ &= bh\left(\frac{h}{2}\frac{b}{2}\right) \\\\ &= \frac{b^2h^2}{4} \end{align}

 

 대칭이 아닌 좌표계에서는 단면의 상승 모멘트가 0이 아님을 알 수 있다.

 

3.1.3. 단면의 극관성 모멘트

 사각형 단면의 극관성 모멘트는 다음과 같다.

\begin{align} I_p &= I_x \\\\ &= I_y + I_z \\\\ &= \frac{bh^3}{12} + \frac{b^3h}{12} \end{align}

 

4.2. 원형 단면

 굽힘에서는 원형 단면을 그리 잘 쓰지는 않지만 구해보자.

\begin{align} z &= \rho \sin\theta \\\\ y &= \rho \cos\theta \\\\ dA &= \rho d\theta d\rho \end{align}

 

그림 3. 원형 단면

 

4.2.1. 도심의 위치

 도심의 위치는 $r$만큼 떨어진 위치이다. 계산은 각자 해보자.

 

4.2.2. 단면 2차 모멘트

 단면 2차 모멘트는 다음과 같이 구할 수 있다.

\begin{align} I_z &= \int_A y^2 dA \\\\ &= \int_A \rho\cos^2\theta dA \\\\ &= \int_0^r \int_0^{2\pi} (\rho\cos^2\theta) \rho d\theta d\rho \\\\ &= \int_0^r \rho^3 \left[ \int_0^{2\pi} \sin^2\theta d\theta\right] d\rho \\\\ &= \left[\frac{\rho^4}{4}\right]_0^r \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}(1-\cos{2\theta}d\theta \\\\ &= \frac{r^4}{4}\left[\frac{1}{2}\left(\theta - \frac{1}{2}\sin{2\theta}\right)\right]_0^{2\pi} \\\\ &= \frac{\pi r^4}{4} \\\\ &= \frac{\pi}{4}\left(\frac{d}{2}\right)^4 = \frac{\pi d^4}{64} \end{align}

$$ \text{where, } d = 2r $$

 

 단면을 회전해도 형상이 동일하므로 $y$축에 대한 단면의 2차 모멘트도 동일하다. 

$$ I_y = I_z = \frac{\pi d^4}{64} $$

 

 $z'$ 축에 대한 단면의 2차 모멘트는 평행 축 이동 정리를 이용해 아래와 같이 구해진다.

\begin{align} I_{z'} &= I_z + A\bar{y}^2 \\\\ &= \frac{\pi d^4}{64} + \frac{\pi d^2}{4}\left(\frac{d}{2}\right)^2 \\\\ &= \frac{5\pi d^4}{64} \end{align}

 

 단면의 상승 모멘트도 구해보자.

\begin{align} I_{yz} &= \int_A yz dA \\\\ &= \int_0^r\int_0^{2\pi} (\rho\sin\theta)(\rho\cos\theta)\rho d\theta d\rho \\\\ &= \int_0^r \rho^3 \left[\int_0^{2\pi} \sin\theta\cos\theta d\theta\right] d\rho \\\\ &= \int_0^r \rho^3 \left[\frac{\sin^2\theta}{2}\right]_0^{2\pi} d\rho \\\\ &= 0 \end{align}

 

 적분이 0이 되어 대칭 단면에서 단면의 상승 모멘트가 0 임을 알 수 있다.

 

 $z'-y'$ 좌표계에서 단면의 상승 모멘트를 구하기 위해 평행 이동 정리를 이용해보자. 그림 4의 경우에는 도심의 위치가 $(\bar{z}, \bar{y}) = (0, d/2)$이므로 아래 식에서 단면의 상승 모멘트는 역시 0이 된다. 0이 아닐 것 같은데 축 하나라도 대칭이면 0이 된다는 점을 수식을 통해 생각해보자.

$$ I_{y'z'} = I_{yz} + A\bar{y}\bar{z} = 0 $$

 

 만약 새로운 좌표계가 두 축에 대해 모두 이동해 도심의 위치가 $(\bar{z}, \bar{y}) = (d/2, d/2)$인 경우에는 다음과 같이 0이 아닌 값이 된다.

$$ I_{y'z'} = \frac{\pi d^4}{16} $$

 

4.2.3. 단면의 극관성 모멘트

 원형 단면의 극관성 모멘트는 다음과 같다.

\begin{align} I_p &= I_x \\\\ &= I_y + I_z \\\\ &= 2\left(\frac{\pi d^4}{64}\right) \\\\ &= \frac{\pi d^4}{32} \end{align}

 

4.3. 형강 (Shaped Steel)

 이제 간단한 형상에 대한 단면 2차 모멘트를 구할 수 있게 되었다. 아래 그림 4와 같이 복잡한 형태를 갖는 형강의 단면 2차 모멘트는 한 번에 계산할 수는 없지만 이미 알고 있는 단순한 형태의 단면 2차 모멘트를 합성하여 구할 수 있다. 이를 위해 평행축 정리(parallel axis theorem)를 알아야 한다. 아래 글에 평행축 정리와 형강에 대한 예제를 다뤘다.

 

평행 축 정리 (Parallel Axis Theorem)

 

그림 4. 형강의 단면