1. 돌림힘 (Torque)
1.1 돌림힘이란?
물리 시간에 모멘트(moment)를 배우고 토크(torque)를 배우고 나면 이게 뭐가 다르지 하는 의문을 갖게 된다. 둘의 정의가 같기 때문이다. 모멘트는 회전 중심에서 힘의 작용점까지의 거리 벡터와 힘의 외적으로 정의한다.
$$ \boldsymbol{M} = \boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F} $$
이 모멘트의 방향이 축의 방향($x$)과 일치하는 경우를 축 모멘트(axial moment)라고 하는데 이것을 다른 말로 돌림힘(torque or torsional moment)라고 하는 것이다. 즉 돌림힘은 축을 회전시키는 능력을 말한다. 국문 교과서에서는 돌림힘이라고 하지만 실무에서 돌림힘이라고 말하는 사람은 단 한 명도 없으므로 편의상 앞으로는 토크라고 하기로 한다.
$$ M_x = M_t $$
\begin{align} \text{where, }M_x&: \text{ axial moment} \\\\ M_t&: \text{ torsional moment} \end{align}
모멘트와 외적 (Moment and Outer Product)
1. 모멘트(Moment)와 돌림힘 대학교 1학년 때 공부하는 일반물리학 책을 보면 '돌림힘'이라는 것이 나온다. 돌림힘은 모멘트(moment) 혹은 토크(torque)라고 불리던 것인데 순우리말로 용어들을 변경
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1.2. 토크의 표기
그동안 자유물체도를 그릴 때 힘을 나타내는 방법으로 화살표를 이용했다. 마찬가지로 토크도 자유 물체도에 나타낼 필요가 있다. 토크는 이 '작용하는 토크'가 '축을 회전시키려는 방향'을 화살표로 표기하며 힘과 구분하기 위해 머리가 두 개 달린 화살표로 나타낸다.
2. 비틀림 (Torsion)
회전하는 구조물에는 토크(torque)가 작용해 걸레 짜듯 비틀어지는 거동을 한다. 이것을 비틀림(twist or torsion)이라 하고 우리는 앞으로 원형 단면을 갖는 축(shaft)의 비틀림만을 다루기로 한다. 다행스럽게도 원형 단면을 갖는 축은 비틀려도 원래의 단면의 형상을 유지하기 때문에 분석이 쉽다. 그러나 사각형 단면을 가지는 경우에는 핀 쿠션(pin-cousine) 형태의 찌그러짐(distorsion)이 발생해 분석이 어렵다. 다른 형상이면 더욱 어렵게 된다. 따라서 고체역학에서 비틀림을 말하면 원형 단면을 갖는 축이라고 생각하면 된다.
2.1 비틀림 각 (Torsional Angle)
축에 토크가 작용하면 축이 비틀어지게 되며 이때 비틀어진 각도를 비틀림 각(torsional angle or angle of twist)이라고 한다. 이 비틀림 각이 비틀림 하중에 의한 변형(torsional deformation)이다. 각도의 변화라고 하면 눈치 빠른 사람들은 전단 변형이겠구나 하고 생각할 수 있을 것이다.
\begin{align} \Phi&: \text{ torsional angle}\\\\ &: \text{ angle of twist} \\\\ &\Rightarrow\ \text{torsional deformation} \end{align}
2.2 비틀림 변형 (Torsional Deformation)
비틀림 변형은 각의 변화이므로 전단 변형률이 발생하게 된다. 아래 그림 2와 같이 축에 토크 $T$가 작용한다고 하자.
그림 2의 미소 길이 $dx$에 해당하는 부분이 비틀린 형상을 그림 3에 나타냈다. 처음 $\bar{AB}$ 선분은 토크에 의해 비틀어져 $\bar{AB'}$이 된다. 축이 회전한 비틀림 각은 $d\Phi$이고 이로 인해 발생하는 전단 변형률은 $\gamma$가 된다.
그림 3에서 호 $\overset{\large\frown}{BB'}$은 호도법으로 쓴 비틀림 각 $d\Phi$와 반경 $r$을 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\begin{align} \overset{\large\frown}{BB'} &= rd\Phi \\\\ &= \overline{AB}\tan\gamma \\\\ &\approx dx\gamma \end{align}
따라서 비틀림 변형률 $\gamma$는 다음과 같다.
$$ \therefore \gamma = r\cdot\frac{d\Phi}{dx} $$
\begin{align} \text{where, } \gamma$: \text{ shear strain} \\\\ \Phi&: \text{ torsional angle} \end{align}
그림 3을 보면 비틀림 각도 $\Phi$는 축의 길이 방향 위치 $x$에 따라 선형적으로 증가하므로 여기에서 $d\Phi/dx$는 상수가 된다.
\begin{align} \text{where, } &\frac{d\Phi}{dx} = \beta \Rightarrow \text{constant} \\\\ &: \text{torsional angle per unit length} \end{align}
$$ \therefore \gamma = r\cdot\frac{d\Phi}{dx} = r\beta $$
축의 단면에서는 변형률이 어떻게 될까? 단면에서는 중심에서 멀어질수록 그림 4처럼 변형률이 선형적으로 증가할 것임을 쉽게 눈치챌 수 있다. 왜냐하면 $\gamma = r\beta$니까..
따라서 최대 비틀림 변형률은 축의 가장 바깥쪽에서 발생한다.
$$ \gamma_{\text{max}} = \gamma|_{r=R} = R\beta $$
위 관계식을 이용해 우리도 몰랐던 $\beta$를 구해낼 수 있게 된다.
$$ \therefore \beta = \frac{\gamma_{\text{max}}}{R} $$
다시 이렇게 구한 $\beta$를 처음 식에 대입하면 다음과 같이 단면의 비틀림 변형률 구할 수 있게 된다.
$$ \therefore \gamma = \frac{r}{R}\gamma_{\text{max}} $$
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