모멘트와 외적 (Moment and Outer Product)

1. 모멘트(Moment)와 돌림힘

 대학교 1학년 때 공부하는 일반물리학 책을 보면 '돌림힘'이라는 것이 나온다. 돌림힘은 모멘트(moment) 혹은 토크(torque)라고 불리던 것인데 순우리말로 용어들을 변경하면서 돌림힘이라고 정한 듯하다. 돌림힘이라는 용어 때문에 의미를 한참 고민했던 기억이 난다. 그렇다면 돌림힘이란 무엇일까? 돌림힘도 힘의 일종일까? 그렇다면 힘이란 무엇일까?

 

 먼저 힘이라는 것의 의미를 생각해보자. 힘은 1 kg의 물체를 1 $m/s^2$으로 가속하는 물리량이다. 힘은 물체의 운동 상태를 바꾸는 물리량으로써 물체에 힘이 가해지면 물체가 변형하거나 물체의 속도가 변하게 된다. 물론 변형도 무게 중심점이 이동하는 것이므로 운동하는 것이라고도 할 수 있다. 다시 정리해보면 힘은 물체에 새로운 속도를 발생시키는 것이다. 그런데 그 새로운 속도는 위치의 이동인 병진(translation) 운동이 된다. 즉, $x$축, $y$축, 또는 $z$축 방향으로 새로운 속도가 발생하는 것이다.

 

 돌림힘은 물체에 회전 속도를 발생시킨다. 돌림힘을 이용하는 대표적인 예는 나사를 잠그거나 푸는 것이다. 렌치로 나사를 잠글 때는 긴 막대기에 힘을 가해 나사를 돌린다. 이때 나사는 회전 운동을 시작하지만 중심의 위치는 변하지 않는다. 다시 말해 힘은 물체를 이동시키는 능력이고 돌림힘은 물체를 회전시키는 능력이라고 할 수 있다.

어떤 물체에 한 기점을 중심으로 $\textbf{F}$의 힘을 가해 회전시키려 할 때 이때의 회전 능력을 힘 $\textbf{F}$의 기점에 관한 모멘트(moment)라고 정의한다.

$$ M = \textbf{r} \times \textbf{F} = rF\sin(\theta) \textbf{n}$$

그림 1. 모멘트의 정의

 

 모멘트는 방향을 가지고 있다. 회전에 방향이 있기 때문이다. 모멘트 방향에 대한 규약은 오른손 좌표계를 기준으로 하며 반시계 방향으로 회전하는 것을 양의 방향으로 정의한다. 따라서 모멘트는 아래와 같이 외적(outer product)으로 정의할 수 있다.

 \begin{align} \textbf{F} &= F_x\textbf{i} + F_y\textbf{j} + F_z\textbf{j} \\\\ \textbf{r} &= x\textbf{i} + y\textbf{j} + z\textbf{k} \\\\ \textbf{M} &= \textbf{r} \times \textbf{F} \end{align}

 

 외적은 다음과 같이 행렬식을 이용해 계산한다. 계산 방법은 하단에 따로 설명한다.

\begin{align} \textbf{M} &= \begin{vmatrix} i & j & k \\ x & y & z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} \\\\ &= (yF_z - zF_y)\textbf{i} + (zF_x -xF_z)\textbf{j} + (xF_y -yF_x)\textbf{k} \\\\ &= M_x\textbf{i} + M_y\textbf{j} + M_z\textbf{k} \end{align}

 

 따라서 힘에 의해 발생하는 각 방향의 모멘트는 아래와 같다.

\begin{align} M_x &= yF_x -zF_y \\\\ M_y &= zF_x - xF_z \\\\ M_z &= xF_y - yF_x \end{align}

 

 $M_x$ 모멘트는 $x$축을 중심으로 하는 반시계 방향(CCW) 모멘트로 $F_y$, $F_z$가 발생시킨다.

 $M_y$ 모멘트는 $y$축을 중심으로 하는 반시계 방향(CCW) 모멘트로 $F_x$, $F_z$가 발생시킨다.

 $M_z$ 모멘트는 $z$축을 중심으로 하는 반시계 방향(CCW) 모멘트로 $F_x$, $F_y$가 발생시킨다.

 

2. 외팔보 예제

 아래 그림 2에 있는 길이 $L$인 외팔보에 하중 $P$가 작용하여 끝단에 $\delta$의 변위를 발생시켰다.

 

그림 2. 외팔보에 작용하는 하중과 변형

 

 이 외팔보의 탄성 계수를 $k$라고 하면 작용하는 하중 $P$가 한 일은 다음과 같다.

$$ W = \int_{0}^{\delta} {Pdr} = \int_{0}^{\delta} {krdr} = \frac{1}{2} k\delta^2 = \frac{1}{2}P\delta $$

 

 외팔보에 저장된 탄성 에너지는 외력 $P$가 한 일과 같으므로 다음과 같다.

$$ U = W = \frac{1}{2}P\delta $$

 

 이 점선으로 표시된 외팔보의 변형 후 형상을 보면 외팔보는 점 $O$를 기준으로 약간 회전했고 회전 방향은 시계방향(CW)이다. 이 외팔보의 $O$점에 작용한 모멘트는 다음과 같다. 거리 $L$과 하중 $P$가 이루는 각도는 90도이므로 $\sin(90)=1$이 되어 모멘트의 크기는 거리와 하중의 곱이 된다. 그리고 시계 방향으로 회전하는 모멘트이므로 부호는 음의 방향이 된다.

$$ M_z|_O = -PL $$

 

 벡터 형태로 나타내면 하중과 거리는 다음과 같다.

\begin{align} \textbf{F} &= -P\textbf{j} \\\\ \textbf{r} &= L\textbf{i} \end{align}

 

 모멘트는 정의에 의해 아래처럼 계산 된다.

$$ \textbf{M} = \textbf{r} \times \textbf{F} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ L & 0 & 0 \\ 0 & -P & 0 \end{vmatrix} = -PL $$

 

부록. 3x3 행렬식 계산 방법

 2x2 행렬식의 계산은 중고등학교 때 열심히 공부했기 때문에 $ad-bc$가 자동으로 튀어나온다. 3x3 행렬식은 여인수 전개(cofactor expansion)를 이용하면 조금 피곤하지만 계산할만하고 그보다 더 큰 행렬식은 그냥 계산을 포기하고 matlab을 찾게 된다. 다행히 고체역학에서는 3x3 행렬식 이상을 쓰는 경우는 거의 없고 사실 모멘트를 계산할 때도 벡터 형태를 이용하기보다는 직관을 이용해 계산하므로 어려울 것은 없다. 그래도 가끔 3x3 행렬식을 이용할 때가 있으니 쉽게 계산하는 방법을 간단하게 알아보자.

 

(1) 구하고자 하는 행렬식을 쓴다.

그림 3. 피곤한 3x3 행렬식

(2) 1열과 2열을 옆에 다시 쓴다.

그림 4. 기계과니까 기계적으로 베껴 쓴다.

 

(3) 화살표 방향대로 곱하고 더한다.

 잠깐 춤을 춰본다. 오른손으로 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 허공을 가른다. 세 번 반복하고 왼손으로 오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 허공을 가른다. 마찬가지로 세번 반복한다. 이 행렬식 춤을 추면서 오른손 동작은 더하고 왼손 동작은 뺀다.

그림 5. 춤추면서 계산한다.

 이렇게 계산된다.

$$\textbf{i}yF_z + \textbf{j}zF_x + \textbf{k}xF_y - \textbf{k}yF_x - \textbf{i}zF_y - \textbf{j}xF_z $$

 

(4) 계산 결과를 정리한다.

 $$ (yF_z -zF_y)\textbf{i} + (zF_x - xF_z)\textbf{j} + (xF_y - yF_x)\textbf{k} $$