우리는 짐을 옮겼을 때 힘들여 '일'을 했다고 한다. 특히 무거운 짐을 옮겼다면 힘이 많이 들었다는 표현을 사용한다. 우리는 이미 일상에서 과학적인 표현을 사용하고 있던 것인데 교과서에서 일의 정의를 보면 왠지 피곤해지고 만다.
어떤 물체에 힘이 작용하여 이동하였을 때, 이동 거리 방향의 힘과 거리의 곱을 일이라고 한다.
그림 1. 일의 정의
일은 내가 한 것 같지만 사실 일은 '힘'이 한 것이다. 대상은 '물체'이고 결과는 '이동 거리'가 된다. 일의 양은 힘과 이동거리의 곱이 된다. 정확히는 힘 벡터와 이동 거리 벡터의 내적(inner product, dot product, scalar product)이다. 내적의 의미를 생각해보면 일이라는 것은 벡터 $\textbf{F}$와 벡터 $\textbf{r}$에서 같은 방향인 성분들끼리 곱해서 그 총합을 구한 것과 같다.
아래 그림 2처럼 힘이 삐딱하게 작용한다고 해보자. 이럴 때 힘 F가 한 일은 이동거리와 평행한 힘인 $F\cos{\theta}$만 일을 했고 이동 거리와 수직 한 힘$F\sin{\theta}$가 한 일은 0이다. 물체가 거리 $\textbf{r}$만큼 이동하는 데 아무런 도움이 안 됐기 때문이다. 짐을 나를 때 손만 대고 있거나 쓸데없이 힘을 들이는 놈들이 있는데 그런 놈들이 이런 경우라고 할 수가 있다.
그림 2. 경사진 힘이 한 일
이중 주차된 차를 힘 껏 밀 때 몸이 점점 아래로 내려가는 경험을 할 수 있다. 이것은 차가 굴러가는 방향과 힘의 방향이 일치하도록 몸이 점점 내려가는 것으로 힘을 덜 들이기 위한 인체 기구의 최적화 과정이라고 할 수 있다.
그림 3. 자동차를 밀 때는 겸손해진다. (출처: Flickr, Daryl Sawatzky)
에너지는 일을 할 수 있는 능력(potential)을 말한다. 고체역학에서는 에너지 중에서도 보존적 에너지(conservative energy)를 다룬다. 스프링과 같이 물체에 힘($\textbf{F}$)이 가해져 변형($\textbf{r}$)될 때, 작용한 일의 양($W$)이 변형 에너지로 저장되는 것이 보존적 에너지이다. 이 스프링은 복원될 때 처음 변형할 때 저장한 에너지와 같은 양의 일을 복원력이 하게 된다. 고체역학에서 모든 부재는 탄성체(변형체)로 가정한다. 따라서 재료가 탄성 변형하면서 저장하는 에너지는 탄성 에너지가(elastic energy)가 된다.
그림 3. 탄성체에 저장되는 탄성 에너지
그림 3의 왼쪽에 있는 길이가 $L$인 어떤 물체를 힘 $P$로 잡아당기면 후크의 법칙에 따라 스프링처럼 거동하여 오른쪽 그래프와 같은 반응을 보인다.
$$ P = kdr $$
이 물체가 미소 길이 $dr$만큼 늘어났을 때 색칠된 부분의 넓이는 $Pdr$라고 할 수 있다. 이것이 힘 $P$가 물체를 $dr$만큼 늘리면서 한 일이 된다.
$$ dW = Pdr $$
이 일은 탄성체에 탄성에너지로 저장되어 $dW = dU$가 된다. 그림 3의 물체를 $\delta$만큼 늘리면서 저장된 에너지는 이 물체를 $\delta$만큼 늘리면서 힘 P가 한 일과 같으므로 아래와 같이 쓸 수 있다
최근댓글