1. 고체역학의 문제해결 접근 방법
1.1. 고체역학 문제의 정의
고체역학에서는 등속 운동(또는 정지) 중인 물체에 하중이 작용할 때 그 물체의 거동을 다룬다. 물체의 거동을 분석할 수 있으면 반대로 이 물체가 우리가 원하는 거동을 하도록 물체의 치수(size)나 형상(shape)을 바꿔볼 수가 있다. 이것이 구조해석(structural analysis)과 설계(design)이다.
그림 1과 같은 다이빙 보드가 있다고 가정해보자. A점에 핀으로 연결되어 있고 B점에서 받쳐주고 있다. 이제 이 다이빙 보드의 기능을 생각해볼 차례다. 이 보드가 사용 중인 모습을 상상해보면 끝단 C에 사람이 올라서 있을 것 같다. 사람이 가만히 서 있을 때는 여기에 정적 하중이 작용할 것이고 뛰면 충격하중이 작용할 것이다. 이때 다이빙 보드의 거동으로 C점에 처짐(deflection)이 있을 것이라고 예상할 수 있다.
1.2. 해석 모델
먼저 이 다이빙 보드를 도식화 하고 끝단에 하중 $P$가 작용하는 경우를 그림 2에 나타냈다. 그림 2에는 보드의 하중 조건(load condition)과 지지 조건(support condition)이 모두 표현되어 있다. 구조해석과 설계의 대상물인 보드는 보(beam)로 가정하고 하중은 점 C에서 집중 하중 P로 작용한다. 지지 조건은 A점에서 핀(pin), B점에서 롤러(roller)이다. C점은 자유단(free end)이다.
1.3. 반력의 가정과 결정
지지점에서 발생하게 될 반력을 적절하게 가정하고 표시한다. 그림 3에 보드에 작용하는 하중과 반력을 표시했다. 평형 방정식을 세우고 연립 방정식을 풀어 반력을 구할 수 있다.
1.4. 내력과 응력의 결정
다음으로는 자유물체도(free body diagram)을 그려 내력(internal force)을 가정한다. 마찬가지로 자유 물체도에 대한 평형 방정식을 세우고 연립방정식을 풀어 내력을 결정한다. 아마도 가장 중요한 지점(critical point)은 B점이 될 것이기 때문에 점 B의 내력에 관심이 가게 될 것이다. 어떤 지점의 내력을 알게 되면 그 지점의 응력(stress)도 알 수 있게 된다.
1.5. 변형과 변형률의 결정
보의 굽힘에 대한 지배방정식을 세우고 보의 처짐을 구한다. 이때는 아마도 C점에서 최대 처짐을 보일 것이기 때문에 이 부분에 관심이 가게 된다. 이렇게 변형(deformation)을 구하고 물체의 변형률(strain)을 구하게 된다.
1.6. 부재의 치수 결정
부재의 거동을 다 파악하고 나면 부재의 치수를 결정하는 설계를 진행해 원하는 거동이 나타나도록 할 수 있다. 다이빙 보드 문제의 경우에는 보드 단면의 치수를 구할 수 있을 것이다. 보드의 단면 폭 $h$가 정해져 있다면 두께 $t$를 조절해 보드가 변형하는 정도와 보드가 받는 응력이 설계 요구조건을 만족하도록 한다.
2. 구조해석과 설계
2.1. 구조해석
구조해석은 위와 같은 방법으로 구조물의 반력을 구하고, 내력과 변형, 응력과 변형률을 정량적으로 분석하는 것이다.
다이빙 보드 예제와 같이 단순하고 간단한 문제는 지배 방정식을 세워서 직접 손으로 풀어 해석 해(analytical solution)를 구할 수 있다. 이 해석 해는 정확한 해(exact solution)가 된다.
반면 구조가 복잡한 문제는 간단한 지배방정식을 세울 수 없기 때문에 우리가 거동을 계산할 수 있는 간단한 형태의 요소(element)들로 쪼개어 구성한 유한요소(finite element) 모델을 만들고 수치 해(numerical solution)을 구한다. 이 모델의 요소의 수가 무한하지 않고 유한하기 때문에 근사 해(approximate solution)가 된다. 만약 요소를 아주 잘게 쪼개서 연속체에 가깝게 만들수록 점차 해석 해에 근접하게 될 것이다.
이런 복잡한 수치해석은 상용 유한요소 해석 소프트웨어를 이용하는 것이 일반적이며 많이 사용되는 소프트웨어로 ANSYS, ABAQUS, NASTRAN 등이 있다.
2.2. 구조해석의 과정
1) 고립화 (Isolation)
구조해석을 위한 대상(system)을 선정하는 단계이다.
2) 해석 모델 (Analytical Model)
적절한 가정을 도입하여 이상화(idealization)와 단순화(simplification)를 통해 해석 모델을 만드는 단계로 아주 중요한 단계이다. 적절한 가정이 도입되지 않으면 실제와 전혀 다른 거동을 하는 모델을 만들 거나 너무 복잡한 문제가 될 수 있다.
3) 해석 (Analysis)
간단한 문제는 손으로 풀고 복잡한 문제는 상용 유한요소 해석 소프트웨어를 이용하여 해를 구한다.
4) 평가 (Estimation)
실제 실험 결과와 해석 결과를 비교하고 평가한다. Experiment는 실험이고 Test는 측정(measuring)에 가깝다. 실무에서는 V&V(verification and validation)이라고도 하는데 verification은 모델을 구성하면서 도입한 가정과 절차가 적절한지 검사하는 것이고 validation은 모델이 실제와 같은 결과를 주는지 유효성을 검증하는 것이다.
5) 확인 (Check)
해석 모델을 개선하고 다시 해석해서 결과를 비교한다.
3. 부재의 설계
부재의 단면 치수나 형상을 결정하는 것이다. 고체역학에서는 유한요소 해석과 같이 복잡한 형상을 가지는 물체를 다루는 것이 아니라 bar, beam, plate 등의 부재로 이루어진 구조물을 다루기 때문에 이 부재의 종류나 단면 형상을 선정하는 것이 고체역학의 최종 목표가 된다.
3.1. 강도 설계 (Strength Design)
부재에 작용하는 응력(stress)을 구하고 재료의 강도를 넘지 않도록 설계한다. 부재의 응력이 강도를 넘으면 파손(failure)이 일어난다고 본다. 파손이 일어난다는 것은 더 이상 구조물이 원래 의도하는 기능을 할 수 없게 되는 것을 의미한다.
$$ \sigma_{max} \leq \sigma_{all}, \quad \text{where,}\ \sigma_{all}:\text{allowable stress} $$
3.2. 강성 설계 (Stiffness Design)
압축 하중을 받는 부재에서 좌굴(buckling)이 발생하지 않도록 설계하거나 구조물의 변형을 중요한 설계 기준으로 삼는 것이다. 큰 변형을 허용할 수 없는 정밀 기계의 설계에 사용할 수 있다.
\begin{align}
&\sigma_{c} \leq \sigma_{cr} \\\\
&\sigma_{c}:\text{compressive stress} \\\\
&\sigma_{cr}:\text{critical or buckling stress}
\end{align}
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