1. 고체역학 (Mechanics of Solid)
고체역학은 고정된(supported) 물체(body)에 작용하는 힘(force)과 변형(deformation)을 다루는 학문이다. 여기에서 변형은 물체의 크기(size)와 형상(shape)이 달라지는 것을 말한다. 벌써 고체역학의 세 가지 요건을 다 스포 해버렸다. 이미 다 알아버린 것 같지만 그래도 조금만 더 계속 알아보자.
고체역학의 목적은 구조물(structure)에 작용하는 힘과 변형을 정량적으로 평가하여 원하는 목표를 달성하기 위한 설계를 하는 것이다. 여기에서 목표는 기능도 될 수 있고 돈도 될 수 있다. 이를 달성하기 위해 고체역학에서 주로 다루는 것은 내력과 응력, 그리고 변형과 변형률이다. 그리고 설계의 대상은 구조물(structure)을 이루는 부재(member)가 된다.
2. 기본 법칙: 후크의 법칙(Hooke's law)
후크의 법칙은 고체역학의 기본 법칙으로 용수철이 늘어났을 때 그 복원력의 크기와 변형에 대해 설명한 법칙이다. 잘 아시다시피 힘과 변형은 비례한다는 간단한 법칙이다. 로버트 훅(Robert Hooke) 선생님이 용수철 정도나 한 것처럼 생각할 수 있겠지만 빛이 파동이냐 입자냐를 두고 뉴턴과 싸우다가 삐지게 만들어 프린키피아의 출판을 20년 늦춘 바로 그 사람이다.
$$ F=k\Delta $$
3. 고체역학의 세 가지 요건
고체 역학의 세 가지 요건은 물체, 하중, 지지이다. 여러분이 잘 쓰고 있는 유한요소 해석 소프트웨어에서는 요소망(mesh)이 물체를 나타내고 있을 것이고 하중 조건은 load condition, 지지 조건은 boundary condition(경계 조건)으로 표현할 것이다. 그림 2에 세 가지 요건을 나타냈다. 이 중 하나라도 없으면 고체역학적으로 아무런 의미가 없는 문제가 될 수 있다.
3.1. 물체 (Body)
물체는 관심이 있는 대상이다. 고정된 물체에 하중이 작용하면 변형이 발생하고 이런 물체의 거동(behavior)을 탐구한다.
3.1.1. 구조물 (Structure)
구조물은 부재(member)들의 집합체이다. 아래 그림 2에 실제 물체를 부재들로 구성된 구조 모델(structure model)을 나타냈다. 여기서 모델은 어떤 대상물을 필요한 만큼 단순화하여 표현한 것으로 수학적 근사 모델이다. 따라서 구조 모델은 해석적 모델(anaytical model) 이라고도 하며 실제 물체에 가정을 도입하여 단순화하여 표현한 것이다. 부재는 구조물을 이루는 최소 단위를 말한다.
3.1.2. 부재 (Member)
1) 봉 (Bar)
Bar는 가장 기본적인 부재로 파이프나 각목과 같은 가늘고 긴 부재를 말한다. 교량에 많이 쓰이는 트러스(truss) 구조물이 bar만으로 이루어진 대표적인 구조물이다. 이 외에도 송전탑, 타워크레인 등의 구조물에 쓰일 수 있다.
특징은 축방향(길이 방향)으로만 힘을 전달하는 축부재라는 점이다. 저항도 힘을 전달하는 방향으로만 할 수 있다. 실제로는 길이에 수직인 방향으로도 조금 버틸 수 있겠지만 가늘고 길면 변형이 아주 크기 때문에 거의 못한다고 보는 것이다. 따라서 수직 방향으로 하중이 발생하지 않도록 부재 사이의 연결은 핀 연결(pin connection)만 한다.
- Truss structure
- Axial behavior
- Pin connection
2) 보 (Beam)
Beam 부재는 바와는 다르게 축방향에 수직 한 방향으로도 저항할 수 있다. 따라서 굽힘(bending)에 저항하고 프레임 구조물(frame structure)에 사용할 수 있다. 부재 사이의 연결은 핀을 써도 되고 용접을 해도 된다. 건축용 구조재로 쓰이는 H-beam이 대표적인 예라고 할 수 있다.
- Frame structure
- Bending behavior
- Any connection
3) 평면 (Plane)
Plane 부재는 박막(membrane) 부재라고도 한다. Bar 부재의 2D 버전에 해당한다. 따라서 면내에서 잡아당기는 것에는 저항하지만 면외 저항은 안 된다. 즉 평판의 굽힘에는 저항하지 않는다. 대표적으로 비닐이나 천을 들 수 있다. 비닐을 잡아당기면 버티지만 구기거나 굽히면 아무런 저항이 없다. 너무 얇아서 그렇다. 낙하산이나 돛, 또는 아주 얇은 금속 박막을 표현할 때 사용한다.
- Membrane structure
- Inplane behavior
4) 평판 (plate)
Plate 부재는 plane보다 터프하다. Beam 부재의 2D 버전에 해당한다. 면내, 면외 변형 모두에 저항할 수 있다. 판때기를 당기고 구기고, 접는 것에 저항할 수 있다는 뜻이다. 평판이라는 이름처럼 평평한 판 형태의 부재를 말한다.
- Plate structure
- Bending behavior
- Flat shape
5) 쉘 (Shell)
shell 부재는 휘어진(curved) 형태의 plate 부재를 말한다. 말 그대로 조개껍데기가 대표적인 shell 구조에 해당한다. 조개껍데기는 눕혀 놓고 밟아보면 잘 부서지지 않는다. 재료를 적게 들이면서 강성(rigidity)이 큰 자연의 구조 설계가 담겨있다.
- Shell structure
- Bending behavior
- Curved plate
6) 고체 (Solid)
Bar, beam, membrane, plate, shell에 해당하지 않는 나머지 것들은 solid 부재이다. 3차원 형태를 표현할 때 주로 사용한다. 유한요소 해석을 할 때 말고 손으로 푸는 해석적 모델에서는 잘 사용하지 않는다. 사실 유한요소 해석에서도 되도록 사용하지 않는 것이 좋다. 때때로 큰 오차를 보여주기 때문이다. 하지만 여러분의 상사는 실제 형태랑 비슷해서 좋아할 가능성이 크다. 설득이 되면 좋고 안 되면 그냥 다른 회사로 가자.
- 3D structure
3.1.3. 부재의 연결 (Joint)
부재의 연결은 하나의 축에 대해 핀과 용접으로 두 가지 연결을 할 수 있다. 고체역학의 기본 가정은 변형이 아주 작다는 것이다. 따라서 가만히 있는 것 같아 보여도 아주 작은 회전이 가능하다면 핀 연결로 본다. 대표적으로 리벳 연결은 핀 연결이다. 용접은 연결 부위에서 조금도 회전하지 않는 조건으로 생각한다.
- Pin connection: bolt, rivet
- Rigid connection: welding
3.1.4. 재료 (Material)
재료는 특성을 관찰하는 방향과 위치에 따라 아래와 같이 구분한다. 주로 방향에 따라서는 등방성(isotropic), 위치에 따라서는 균질재(homogeneous)를 다룬다.
1) 방향성
재료는 방향성에 따라 아래와 같이 세 가지로 구분한다. 등방성(isotropic) 재료는 모든 방향에서 재료의 특성이 동일한 것이다. 일반적인 체심 입방 구조(BCC, body centered cubic), 면심 입방 구조(FCC, face centered cubic) 결정 구조의 금속이 대표적인 등방성 재료이다. 이방성(anisotropic) 재료는 방향에 따라 재료의 성질이 다르다. HCP(hexagonal close packed lattice) 구조의 금속, 실리콘 재료나 일부 세라믹 재료는 결정 구조 때문에 방향에 따라 성질이 다르다. 특히 직교 이방성(orthotropic) 재료는 재료의 특성이 90도 회전할 때마다 다르다. 대표적으로 uni-directional fiber로 구성된 복합재료가 직교 이방성 재료이다.
- Isotropic material: 재료의 특성이 방향에 무관
- Anistropc material: 재료의 특성이 방향에 유관
- Orthoropic material: 재료의 특성이 달라지는 방향이 90도를 이룸
2) 위치
재료를 관찰하는 위체에 따라 특성이 다를 수 있다. 골고루 잘 섞인 합금은 거시적으로 균질하지만 대충 섞여 있으면 특성이 위치에 따라 다르게 나타날 수 있다.
- 균질 재료(Homogeneous material): 특성이 균질한 재료. 골고루 섞여 있어 재료를 특성에 따라 나눌 수 없음
- 비균질 재료(Nonhomogeneous material): 관찰하는 위치에 따라 특성이 달라 재료를 특성에 따라 나눌 수 있음
3.2. 하중 (Load)
3.2.1. 하중의 분류
물체(body)에 작용하는 힘(force)과 모멘트(moment)를 의미한다. 힘의 기본 단위는 Newton($\text{N}$, $\text{kg m/s}^2$) 이다. 모멘트는 하중과 회전반경의 곱으로 $\text{Nm}$를 사용한다.
1) 하중과 반력
힘 중에서도 작용(action)에 의한 것을 하중(load)이라고 하고 반작용(reaction)으로 지지대(support)에서 발생하는 지지력은 반력(reaction force)라고 한다.
- 하중(load): action force and moment
- 반력(reaction): reaction force at support
2) 접촉 여부에 따른 분류
하중은 접촉 여부에 따라 접촉력(contact force)과 체력(body force)으로 나눈다.
- 접촉력(contact force): 물체의 표면(surface)에 작용하는 힘
- 체력(body force): 중력, 자기력, 원심력과 같은 비접촉력
3) 시간에 따라 변하는지 여부에 따른 분류
하중은 시간에 따라 변하는지 여부에 따라 정적(static) 하중과 동적(dynamic) 하중으로 분류한다
- 정적 하중(static load): 시간에 무관하게 일정한 하중
- 동적 하중(dynamic load): 시간에 따라서 변하는 하중
또는 다음과 같이 분류한다.
- 사하중(dead load): 일정하게 작용하는 하중
- 실하중(live load): 변동하는 하중 (정격 하중으로 적용)
시간에 따라서 변하는 동적 하중은 반복하는 양상에 따라 다음과 같이 분류한다.
- 반복 하중(repeated force): 주기적으로 반복되는 하중
- 교번 하중(alternationg force): 인장과 압축이 교대로 나타나는 하중
- 충격하중(impact force): 짧은 시간 동안 급격히 변하는 하중
4) 작용 형태에 따른 분류
하중은 작용 형태에 따라 다음과 같이 분류한다.
- 수직하중(normal load): 면에 수직으로 작용하는 하중
- 전단 하중(shear load): 면과 평행하게 작용하는 하중
- 비틀림 하중(twisting load): 면외 회전 방향으로 작용하는 하중
3.2.2. 하중의 해석적 표현
하중을 해석적으로 표현하는 방법으로는 크게 두 가지로 나눌 수 있다.
1) 집중 하중 (Concentrated Load)
한 점에 작용하는 하중을 말한다. 분포 하중을 하중이 작용하는 면적의 도심에 몰아서 집중 하중으로 표현하기도 한다.
2) 분포 하중 (Distributed Load)
분포 하중은 등분포 하중(uniformly distributed load)과 비등분포 하중(nonuniformly distributed load)으로 나눈다. 등분포 하중은 모든 위치에서 단위 하중이 같다. 비등분포 하중은 위치에 따라 단위 하중이 다르다. 비등분포 하중은 다시 선하중 밀도(line load intensity)와 분포 압력(traction)으로 구분한다. 별건 아니고 bar나 beam 같은 선재에 작용하면 선하중 밀도라고 부르고 plate, shell과 같은 면재에 작용하면 분포 압력이 되는 것뿐이다.
- 등분포 하중(uniformly distibuted load): $q = q_0$
- 비등분포 하중(non uniformly distributed load): $q = q(x)$
- 선하중 밀도(line load intensity): load per unit length (단위 길이당 하중) → Bar, Beam
- 분포 압력(traction): force per unit area (단위 면적당 힘) → Plane, Plate, Shell, Solid
3.3. 지지 (Support)
지지는 변형을 구속(constraint)하는 기구(mechanism)이다. 물체가 움직이지 못하게 한다는 뜻이다. 지지점에서는 변위 구속과 회전 구속을 할 수 있고 물체에 하중이 작용할 때 지지점에서 반력(reaction force)과 반력 모멘트(reaction moment)가 발생한다. 지지점에서 적절한 반력을 가정하고 평형 방정식을 세워서 값을 구한다.
- 변위 구속 → 반력(reaction force)
- 회전 구속 → 반력 모멘트(reaction moment)
3.3.1. 고정 지지 (Fixed Support)
고정 지지는 모든 방향의 변위와 회전을 구속한다.
\begin{align}
u_x = 0 &\rightarrow A_x \\\\
u_y = 0 &\rightarrow A_y \\\\
\theta_A = 0 &\rightarrow M_A
\end{align}
3.3.2. 단순 지지 (Simple Support)
단순 지지는 일부 변위만을 구속한다. 단순 지지에는 핀(pin), 롤러(roller), 그리고 안내 롤러(guided roller)가 있다. 대표적으로 많이 쓰이는 단순보(simple beam)는 단순 지지된 보(simply supported beam)를 의미한다. 이때 하중은 상관없고 어떻게 지지되느냐를 말하는 것이다.
1) 핀 (Pin)
핀은 모든 방향의 변위만을 구속한다. 세모로 표시한다.
\begin{align}
u_x = 0 &\rightarrow A_x \\\\
u_y = 0 &\rightarrow A_y
\end{align}
2) 롤러 (Roller)
롤러는 한 방향의 변위만을 구속한다. 동그라미로 표시한다.
$$ u_y = 0 \rightarrow B_y $$
3) 안내 롤러 (Guided Roller)
안내 롤러는 한 방향의 변위와 회전을 구속한다. 대칭 조건(symmetric condition)을 표현할 때 사용한다.
\begin{align}
u_x = 0 &\rightarrow C_x \\\\
\theta_C = 0 &\rightarrow M_C
\end{align}
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