1. 두께에 따른 보의 종류
보는 두께에 따라 얇은 보와 두꺼운 보로 나눈다. 보통 세장비(aspect ratio)가 10대 1보다 작으면 얇다고 한다. 길이가 $l$ 두께가 $h$라고 하면 세장비는 아래와 같다.
$$ \frac{h}{l} < \frac{1}{10} $$
두꺼운 보는 Timoshenko's beam이라고 하며 전단보라고 부른다. 우리가 두꺼운 전공 책을 구부릴 때 층층이 발생하는 전단 응력을 떠올렸듯이 이런 두꺼운 보는 전단 효과를 무시할 수 없다.
얇은 보는 Bernoulli/Euler's beam이라고 하며 너무 얇아서 구부릴 때 단면의 변형이 거의 없다고 볼 수 있다. 따라서 Euler beam에서는 전단 효과를 무시한다.
우리가 보통 구조재로 쓰는 보는 날씬한 보(slender beam)이기 때문에 이 Euler beam 이론을 관심 있게 살펴볼 것이다.
2. 오일러 빔 이론(Euler beam theory)
2.1. 기본 가정 (Basic Assumption)
2.1.1. 순수 굽힘 (Pure Bending)
(1) 순수 굽힘의 정의
보에 전단력 $V$이 작용하지 않고 내력 모멘트 $M$이 상수(constant)인 굽힘을 순수 굽힘이라고 한다.
\begin{align} V &= 0 \\\\ M &= \text{constant} \end{align}
(2) 순수 굽힘의 성질
굽힘 곡선(bending curve)의 곡률(curvature)이 일정(constant)한 원호(circular arc)가 된다.
\begin{align} \kappa &= \frac{1}{\rho} = \text{constant} \\\\ M &= M_o = \text{constant} \end{align}
2.1.2. 중립 축에 대한 가정
뒤에서 다루겠지만 한 방향으로 굽힘이 발생하면 단면에 인장과 압축이 발생한다. 이 인장과 압축의 중간쯤에는 인장도 아니고 압축도 아닌 중립 지대가 있을 것인데 이 위치가 중립 면(neutral plane)이 이다. 중립면은 굽힘 방향에 따라 여러 개가 있을 수 있으며 이 중립 면끼리 만나는 직선이 중립 축(neutral axis)이 된다. Euler's beam 이론은 중립 축에 대해 다음과 같은 가정을 한다.
1) 중립 축(neutral axis)에 수직인 단면은 변형 후에도 중립과 수직을 이루고 평면을 유지한다.
2) 중립 축은 늘어나지 않는다. (인장도 아니고 압축도 아니므로)
2.2. 굽힘 이론 (Bendig Theory)
아래 그림 3에 보의 일부분이 순수 굽힘 상태로 굽혀졌을 때의 형상을 나타냈다. 순수 굽힘이므로 모멘트 $M_o$는 상수이고 곡률 반경 $\rho$ 역시 상수이다. 이때 중립 축과 수직 한 단면은 변형 후에도 중립 축과 수직을 이루고 평면을 유지하므로 변형 후의 $\overline{a'b'}$과 $\overline{c'd'}$은 직선이며 축과 수직이다.
2.2.1. 굽힘 변형률 (Bending Strain)
보의 깊이 y에서의 축방향 변형률은 정의에 의해서 다음과 같다.
$$ \varepsilon_x = \frac{\overline{e'f'}-\overline{ef}}{\overline{ef}} $$
여기에서 선분 $\overline{ef}$는 굽힘 전의 중립 축 길이와 같다. $\overline{e'f'}$의 길이는 중립 축에서 $-y$만큼 떨어진 거리에 대해서 계산하므로 다음과 같다.
\begin{align} \overline{ef} &= dx = dx' = \rho d\theta \\\\ \overline{e'f'} &= (\rho-y)d\theta \end{align}
따라서 변형률은 다음과 같다.
$$ \varepsilon_x = \frac{(\rho-y)d\theta - \rho d\theta}{\rho d\theta} $$
$$ \therefore \epsilon_x = -\frac{y}{\rho} $$
변형률 식을 잘 보면 중립 축에서 위로 올라가면 압축이 되고 아래로 내려가면 인장이 된다는 것을 알 수 있다. 그림 3의 변형 후 모습을 보면서 생각해보면 쉽게 이해할 수 있다. 즉 $\overline{b'd'}$은 원래 길이보다 줄어들어 압축이 되었고 $\overline{a'c'}$은 원래 길이보다 늘어나 인장이 되었다.
2.2.2. 굽힘 응력 (Bending Stress)
굽힘 응력은 후크의 법칙에 따라 앞서 구한 변형률에 영률을 곱하면 얻을 수 있다. 보를 굽히면 내부에는 수직 응력이 발생한다는 것을 알 수 있다.
$$ \sigma_x = E\varepsilon_x $$
$$ \therefore \sigma_x = -\left(\frac{E}{\rho}\right)y $$
우리는 곡률 반경 $\rho$를 상수로 취급하기로 했고 영률 $E$가 보의 깊이에 따라 변하지 않는 상수라고 하면 위 식은 선형 방정식이 된다. 따라서 보가 굽어졌을 때 깊이에 따른 응력 분포는 아래 그림 4와 같다. 중립 축은 늘어나지 않으니 응력도 발생하지 않는다.
2.2.3. 굽힘 응력 공식 (Bending Stress Formula)
(1) 중립 축의 위치
우리는 보를 굽힐 때 순수하게 모멘트만을 이용했다. 따라서 보의 단면에 수직 내력 $F$는 존재하지 않는다.
$$ F = 0 $$
이 것은 단면의 수직 응력을 모두 더하면 0이 된다는 뜻이므로 단면에 발생하는 인장력과 압축력의 크기는 동일하다는 의미가 된다.
$$ F = \int_A\sigma_x dA = 0 $$
앞서 구한 굽힘 응력식을 위 식에 대입해보면,
\begin{align} F &= \int_A -\left(\frac{E}{\rho}\right)y dA \\\\ &= -\frac{E}{\rho} \int_A y dA \\\\ &= 0 \end{align}
여기에서 적분식은 단면의 도심 위치 $\bar{y}$와 관련이 있다.
$$ A\bar{y} = \int_A y dA $$
따라서 수직 내력 $F$는 다음과 같이 정리된다.
$$ F = -\left(\frac{EA}{\rho}\right)\bar{y} = 0 $$
$$ \text{since, } \frac{EA}{\rho} \neq 0 \\\\ \therefore \bar{y} = 0 $$
중립 축은 단면의 도심을 지난다는 것을 알 수 있다.
(2) 굽힘 모멘트와의 관계
굽힘 모멘트는 다음과 같다.
$$ M = \int_A \sigma_x(-y) dA $$
위 식에 앞서 구한 굽힘 응력을 대입해보면,
\begin{align} M &= \int_A -\left(\frac{E}{\rho}y\right)(-y) dA \\\\ &= -\left(\frac{E}{\rho}\right) \int_A y^2 dA \end{align}
위 식에서 적분식을 다음과 같이 따로 $I$로 써본다. 이것은 이후에 다룰 단면의 2차 관성 모멘트(2nd moment of inertia of area)라고 하며 굽힘에 대한 단면의 성질이 된다. 비틀림에서 단면의 극관성 모멘트(polar moment of iniertia or area) $I_p$와 유사하다고 생각하면 된다. 나중에 단면의 2차 관성 모멘트가 극관성 모멘트와 관련이 있다는 것을 보일 것이다. 지금은 일단 그러려니 하고 넘어가자.
$$ I = \int_A y^2 dA $$
정리하면 굽힙 모멘트는 다음과 같다.
$$ M = \frac{EI}{\rho} $$
따라서 굽힘의 결과인 곡률은 다음과 같이 원인에 해당하는 모멘트로 표현할 수 있다.
$$ \therefore \kappa = \frac{1}{\rho} = \frac{M}{EI} $$
실제 실험 역학에서는 굽힙 응력을 측정하는 방법으로 재료의 곡률을 측정하여 위 식을 이용해 계산하기도 한다.
(3) 탄성 굽힘 공식(Elastic Bending Stress Formula)
앞서 굽힘 응력을 다음과 같이 구했다.
$$ \sigma_x = -\left(\frac{E}{\rho}\right)y $$
이 굽힘 응력에 대한 식에 위에서 구한 곡률 $1/\rho$을 대입한다.
$$ \sigma_x = -\left(E\cdot\frac{M}{EI}\right)y $$
$$ \therefore \sigma_x = -\left(\frac{M}{I}\right)y $$
굽힙 응력은 가해진 굽힘 모멘트에 비례하고 단면의 형상에 의해 결정되는 상수 $I$에 반비례한다. 단면의 형상이 같고 같은 하중이 가해지면 재료($E$)에 상관없이 같은 크기의 응력이 발생하는 것을 알 수 있다.
(4) 최대 굽힘 응력 (Maximum Bending Stress)
굽힘 응력은 깊이에 대해 선형적이므로 그림 4에서 처럼 보의 가장 윗면과 아랫면에 가장 큰 굽힘 응력이 발생하게 된다. 인장 방향 최대 굽힘 응력은 중립 축에서 인장이 걸리는 표면까지의 거리 $c$를 위 식에 대입해서 구한다.
\begin{align} \sigma_{\text{max}} &= -\left(\frac{M}{I}\right)(-c) \\\\ &= \frac{M}{I/c} \\\\ &= \frac{M}{Z} \end{align}
$$ \therefore \sigma_{\text{max}} = \frac{M}{Z} \\\\ \text{where, } Z = \frac{I}{c} $$
여기에서 $Z$를 단면 계수(section modulus)라고 한다. 부재 설계를 할 때는 어떤 부재에 걸리는 하중 모멘트 $M$과 부재의 허용 응력 $\sigma_{\text{all}}$을 알 때 다음과 같은 조건을 만족하도록 단면 계수를 결정한다.
$$ Z \leq \frac{M}{\sigma_{\text{all}}} $$
최근댓글