보에 작용하는 내력과 응력 (Internal Forces and Stresses on Beams)

1. 보에 작용하는 내력

 구조물에 작용하는 내력에 대해서는 이미 다른 글에서 다루었다. 이번 글에서는 내력 중에서도 보에 작용하는 내력에 대해 다시 한번 다루기로 한다.

내력의 가정과 결정 (Internal Forces and Section Method)

 

 그림 1과 같은 보의 내력을 살펴보자.

 

그림 1. 임의의 보

 

 어떤 보의 단면을 잘라보면 아무렇게나 생긴 형태의 단면이 있을 것이고 이 단면에 내력이 작용하고 있다. 보에 작용하는 내력은 그림 2처럼 수직력, 전단력, 그리고 모멘트가 있다.

 

그림 2. 보에 작용하는 내력들

 

 수직력은 보의 축과 나란 힘으로 $F$로 표기하고 수직 응력과 관련이 있다.

 

 전단력은 단면의 면내(in plane) 방향으로 작용하며 면내에 두개의 축이 있으므로 두 축으로 분해해서 $V_y, V_z$와 같이 표현할 수 있다. 전단력은 전단 응력과 관련이 있다.

 

 보의 축방향으로 작용하는 모멘트 $M_x$는 비틀림을 유발하는 것으로 보의 단면에 비틀림에 의한 전단 응력을 발생시킨다. 자세한 내용은 비틀림에 대한 글들을 살펴보자.

 

 단면에 나란한 방향으로 작용하는 모멘트 $M_y, M_z$는 보에 굽힘을 유발하는 것으로 보의 단면에 수직 응력을 발생시킨다. 그리고 축과 평행한 단면에는 전단 응력을 발생시킨다. 우리가 두꺼운 전공 책을 보다가 지루해서 책을 드르륵 넘길 때 책을 굽히게 되는데 이때 단면을 보면 페이지가 서로 미끄러져 계단식으로 층층이 나눠지는 것을 볼 수 있다. 이것은 종이 한 장 한 장이 모두 분리되어 있어 전단 방향으로 미끄러짐을 구속하지 않기 때문이다. 만약 한 덩어리 물체였다면 페이지마다 미끄러짐에 저항하는 전단 응력이 나타났을 것이다. 이런 전단 응력은 두꺼운 물체를 굽힐 때 두드러지고 아주 얇은 물체는 사실상 무시할만하다. 여러분이 얇은 책자를 구부릴 때는 단면에 별 변형 없이 말랑말랑 잘 구부러지는 것을 확인할 수가 있다. 이것은 다음 글에서 보의 굽힘 이론을 소개할 때 다시 설명할 것이다.

 

 2차원 문제의 경우에는 아래 그림 3처럼 반력과 내력을 가정할 수 있다. 반력과 내력의 가정은 이전 글을 참고하자.

 

그림 3. 2차원 문제에서 보의 반력과 내력

 

 2. 보에 작용하는 응력과 내력의 관계

  보에 작용하는 응력은 그림 4와 같다. 

그림 4. 단면에 작용하는 응력

 

 단면에 작용하는 응력의 합은 내력이 된다. 각 방향별로 생각해보면 아래와 같다.

\begin{align} F &= \int_A \sigma dA \\\\ V &= \int_A \tau dA \end{align}

 

 내력 모멘트는 전단 응력이 단면의 도심(centroid)에 대해서 만드는 미소 모멘트의 합이다.

\begin{align} M_x &= \int_A \tau_{xz}(y) + \tau_{xy}(-z)dA \\\\ M_y &= \int_A \sigma_{x}(z) dA \\\\ M_z &= \int_A \sigma_x(-y) dA \end{align}

 

 위 식에서 음의 부호는 내력을 가정한 방향과 반대가 된다는 뜻이다. 재료과에서 박막 역학(thin film mechanics)을 하는 경우에는 공정 후 온도가 내려갈 때 기판과 박막이 배불뚝이로 휘기 때문에 여기서 가정한 방향과 반대 방향으로 양의 모멘트를 설정하기도 한다. 그럴 때는 음의 부호가 안 붙으니 식을 유도하는 과정에서 부호가 달라 헛가리기 쉽다. 뭐 다들 자기 편한 대로 쓰는 것이니 가정을 어떻게 했는지 잘 생각하면서 봐야 한다.

 

 2차원 문제에서는 다음의 경우만 신경 쓰면 된다.

\begin{align} F &= \int_A \sigma dA \\\\ V &= \int_A \tau dA \\\\ M_z &= \int_A \sigma_x(-y) dA \end{align}