복합축의 비틀림 (Torsion of Composite Shaft)

목차

• 1. 복합축이란?
• 2. 복합축의 비틀림
  • 2.1. Torque
  • 2.2. Compatibility
    • 2.3 Shear Strain
  • 2.4. Shear Stress

1. 복합축이란?

 복합축은 두 가지 이상의 재료로 이루어진 축을 말한다. 어떤 이유에서 축 내부와 외부의 기계적 특성이 달라야 할 필요가 있다. 예를 들어 지하철 바퀴도 금속재 바퀴인데 가끔 지하철이 심하게 드리프트 하는 구간에서 쇠 긁는 소리가 나는 이유가 레일과 바퀴 사이의 마찰 때문이다. 이 지하철 바퀴의 외부는 급랭하고 내부는 천천히 식게 두면 외부는 취성재가 되고 내부는 연성재가 된다. 이때 외부는 파괴에는 취약하지만 큰 경도를 갖게 되어 마모에 강하고 내부는 인성이 커서 급격한 파괴가 일어나지 않도록 한다.

 

그림 1. 복합축

$$G_1, I_{p1} \text{  for material 1} \\\\ G_2, I_{p2} \text{  for material 2}$$

$$\begin{align} I_{p1} &= \frac{\pi}{2}r_1^4 \\\\ I_{p2} &=  \frac{\pi}{2}(r_2^4 - r_1^4)\end{align}$$

 

 

2. 복합축의 비틀림

2.1. Torque

 축 전체에 작용하는 토크는 재료 1과 재료 2에 작용하는 토크의 합과 같다.

$$T = T_1 + T_2$$

 

2.2. Compatibility

 적합 조건은 비틀림각의 연속 조건이다. 즉 비틀림각은 내 외부 재료에 상관없이 동일하다.

$$\Phi = \Phi_1 + \Phi_2$$

$$\begin{align} \text{where, } \Phi_1 &= \frac{T_1L}{G_1I_{p1}} \\\\ \Phi_2 &= \frac{T_2L}{G_2I_{p2}} \end{align}$$

 

 따라서 $\Phi_1 = \Phi_2$이므로,

$$\frac{T_1L}{G_1I_{p1}} = \frac{T_2L}{G_2I_{p2}} \\\\ \therefore T_2 = \frac{G_2I_{p2}}{G_1I_{p1}}T_1$$

 

 위 식을 전체 토크 식에 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{align} T &= T_1 + T_2 \\\\ &= T_1 +  \frac{G_2I_{p2}}{G_1I_{p1}}T_1 \\\\ &= \frac{G_1I_{p1} + G_2I_{p2}}{G_1I_{p1}}\end{align}$$

 

 따라서 각 재료에 작용하는 토크는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\begin{align} \therefore T_1 &= \left(\frac{G_1I_{p1}}{G_1I_{p1} + G_2I_{p2}}\right)T \\\\ T_2 &= \left(\frac{G_2I_{p2}}{G_1I_{p1} + G_2I_{p2}}\right)T \end{align}$$

 

2.3 Shear Strain

 축의 전단 변형률은 다음과 같다.

$$\gamma = r\cdot\frac{d\Phi}{dx} = r\cdot\frac{\Phi}{L}$$

 

 위에서 $\Phi = \Phi_1 = \Phi_2$이므로 $Phi$ 대신 아무 제료의 비틀림각으로나 치환할 수 있다. 즉 전단 변형률은 재료에 상관없이 같다.

$$\begin{align} \gamma &= r\cdot\frac{\Phi}{L} \\\\ &= r\cdot\frac{\Phi_1}{L} \\\\ &= \frac{r}{L}\cdot\Phi_1 \\\\ &= \frac{r}{L}\cdot\frac{T_1L}{G_1I_{p1}} \\\\ &= \frac{r}{L}\cdot\frac{L}{G_1I_{p1}}\cdot\left(\frac{G_1I_{p1}}{G_1I_{p1} + G_2I_{p2}}\right)T \\\\ &= \frac{Tr}{G_1I_{p1} + G_2I_{p2}} \end{align}$$

 

$$\therefore \gamma = \frac{Tr}{G_1I_{p1} + G_2I_{p2}}$$

 

그림 2. 전단 변형률

 

2.4. Shear Stress

 각 재료에 작용하는 전단 응력은 후크의 법칙을 이용해 간단히 구할 수 있다. 재료의 전단 탄성 계수가 다르므로 응력은 재료마다 다르고 계면에서 불연속이다.

$$\begin{align} \tau_1 &= G_1\gamma \\\\ &= \frac{G_1Tr}{G_1I_{p1} + G_2I_{p2}} \\\\ \tau_2 &= G_2\gamma \\\\ &= \frac{G_2Tr}{G_1I_{p1} + G_2I_{p2}} \end{align}$$

 

그림 3. 전단 응력