1. 비틀림 각과 전단 변형률 사이의 관계
예전 글에서 다룬 내용이지만 기억이 안 날 때 왔다 갔다 하기 힘드니까 여기에 다시 써보자. 먼저 전단 변형률은 반경 방향으로 선형적인 증가를 보인다.
$$ \gamma = \beta r = \frac{d\Phi}{dx}r \\\\ \therefore d\Phi = \frac{\gamma}{r}dx $$
비틀림에 의한 전단 응력은 다음과 같다.
$$ \tau = \frac{T}{I_p}r, \\\\ \\text{where, } I_p = \int_A r^2 dA $$
전단 응력과 전단 변형률 사이에 적용하는 후크의 법칙을 이용하면 전단 변형률은 다음과 같다.
\begin{align} \tau &= G\gamma \\\\ \Rightarrow \gamma &= \frac{\tau}{G} = \frac{Tr}{GI_p} \end{align}
위의 전단 변형률을 맨 처음에 구한 미소 비틀림 각 $d\Phi$ 식에 대입하면,
$$ d\Phi = \frac{Tr}{GI_p}\cdot\frac{dx}{r} \\\\ \therefore d\Phi = \frac{T}{GI_p}dx $$
2. 비틀림 각
전체 축의 비틀림 각은 위에서 구한 미소 비틀림 각 $d\Phi$를 전체 길이에 대해 적분하여 얻을 수 있다.
$$ \Phi = \int_0^L d\Phi = \int_0^L \frac{T}{GI_p}dx $$
$$\therefore \Phi = \int_0^L \frac{T}{GI_p}dx $$
전체 길이에 대해 단면이 일정한 축인 경우에는 $T/G/I_p$가 상수 되어 적분 밖으로 나올 수 있으므로 다음과 같이 결정된다.
$$ \text{if } \frac{T}{GI_p} \text{is constant along overall length} \\\\ \Phi = \frac{T}{GI_p} \int_0^L dx $$
$$ \therefore \Phi = \frac{TL}{GI_p} $$
\begin{align} \text{where, } GI_p&: \text{ torsional rigidity} \\\\ \frac{GI_p}{L}&: \text{ torsional stiffness} \\\\ &: \text{ torsional rigidity per unit length} \end{align}
여기에서 비틀림 강성(torsional stiffness)는 용수철에 대한 후크의 법칙에서 용수철 상수에 해당한다. 힘에 대한 후크의 법칙이 코일 스프링에 대응되듯 이 경우는 토션 스프링에 대응된다.
$$ T = k_t\Phi = \left(\frac{GI_p}{L}\right)\Phi $$
3. 축 시스템 (Shaft System)
그림 1과 같이 기어(gear)가 적용된 시스템에서 축의 비틀림을 알아보자. 참고로 맞물려 돌아가는 기어들 중에 작은 것은 구분하기 위해 피니언(pinion)이라 한다. 그림 1의 기어 시스템은 1번 축에 토크가 작용해 축에 물린 기어가 회전하고 이 기어에 맞물린 피니언이 회전하여 2번 축을 통해 목표로 하는 곳에 회전 부하를 주는 것이다. 이 시스템에 토크 $T$가 작용했을 때 토크가 작용하는 부위의 회전 각을 알고 싶다고 하자.
먼저 각 축에 대한 단면의 극관성 모멘트는 다음과 같다.
\begin{align} I_{p1} &= \frac{\pi}{32}d_1^4 \\\\ I_{p2} &= \frac{\pi}{32}d_2^4 \end{align}
축을 통해 전달되는 토크를 $T_1$,\ T_2$라고 하면 모멘트 평형에 의해 $T_1 = T$가 된다. 다시 $T_1$과 $T_2$는 아래 그림 2와 같이 기어에 의해 전달된다.
\begin{align} T_1 &= Fr_1 \\\\ T_2 &= Fr_2 \end{align}
$$ \therefore T_2 = T_1\left(\frac{r_2}{r_1}\right) $$
부하와 연결된 2번 축의 회전 각은 아래와 같다.
$$ \Phi_2 = \frac{T_2L_2}{G_2I_{p2}} = \frac{T_1L_2}{G_2I_{p2}}\left(\frac{r_2}{r_1}\right) $$
2번 축의 피니언이 회전하면서 기어와 같은 수의 치호가 맞물리기 때문에 회전한 호의 길이는 같아야 한다. 이것이 2번 피니언이 회전하면서 기어를 돌리는 각도이다. 기어를 먼저 돌렸는데 피니언이 기어를 돌리는 게 무슨 소리야라고 생각할 수 있지만 부하에서 회전 각이 0도라고 가정하고 거꾸로 계산해 나가는 것이다.
$$ r_2\Phi_2 = r_1\Phi_{2/1} \\\\ \therefore \Phi_{2/1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\Phi_2 $$
$$ \therefore \Phi_{2/1} = \frac{T_1L_2}{G_2I_{p2}}\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 $$
토크가 작용하는 1번 축의 회전 각은 아래와 같다.
$$ \Phi_1 = \frac{T_2L_2}{G_2I_{p2}} = \frac{T_1L_2}{G_2I_{p2}}\left(\frac{r_2}{r_1}\right) $$
토크의 작용점이 회전하는 각은 기어가 회전하는 양과 1번 축이 비틀리는 각의 합이다.
$$ \therefore \Phi = \Phi_2/1 + \Phi_1 $$
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