비틀림 공식 (Torsion Formula)

목차

• 1. 비틀림 공식 (Torsion Formula)
  • 1.1. 전단 변형률
  • 1.2. 전단 응력
  • 1.3. 토크와의 관계
  • 1.4. 비틀림 공식
• 2. 극단면 계수 (Polar Section Modulus)
• 3. 단면의 극관성 모멘트 (Polar Moment or Inertia of Area)
  • 3.1. 중실 원형 단면 (Solid Circular Section)
  • 3.2. 중공 원형 단면 (Hollow Circular Section)
• 4. 파손 이론
  • 4.1. 경사면에 작용하는 응력
  • 4.2. 파손 단면

1. 비틀림 공식 (Torsion Formula)

 비틀림 공식은 내력 토크를 알 때 토크에서 전단 응력(shear stress, $\tau$)를 계산하는 공식이다.

 

1.1. 전단 변형률

 지난 글에서 전단 변형률은 축의 최외곽에서 최대값을 갖고 반경 방향으로 선형적으로 분포하는 것을 알았다.

$$\gamma = \frac{r}{R}\gamma_{\text{max}}$$

 

1.2. 전단 응력

 전단 응력과 전단 변형률은 후크의 법칙을 따른다.

$$\tau = G\gamma$$

 

 따라서 전단 응력은 후크의 법칙에 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{align} \tau &= G\gamma \\\\ &= G\cdot\frac{r}{R}\gamma_{\text{max}} \\\\ &= \frac{r}{R}(G\gamma_{\text{max}}) \end{align}$$

$$\therefore \tau = \frac{r}{R}\tau_{\text{max}}$$

 

그림 1. 전단 응력의 분포

 

 비틀림 전단 응력은 항상 반경에 수직한 $\theta$ 방향으로 작용한다.

 

그림 2. 전단 응력의 방향

 

1.3. 토크와의 관계

 단면의 미소 면적 $dA$에 작용하는 토크 $dT$를 모두 더하면 내력 토크 $T$가 된다.

$$T = \int_AdT$$

 

그림 3. 미소 면제 작용하는 전단 응력

 

 미소 면적에 작용하는 토크 $dT$는 미소 면적에 작용하는 전단력(shear force) $\tau$에 모멘트 암(moment arm)이 되는 반경 $r$을 곱해서 계산한다.

$$dT = \tau dA\cdot r$$  

 

따라서 내력 토크는 다음과 같이 계산된다.

$$\therefore T = \int_AdT = \int_A \tau rdA$$

 

1.4. 비틀림 공식

 1.3절에서 구한 내력의 적분식에 1.2절의 전단 응력을 대입한다.

$$\begin{align} T &= \int_A \tau rdA \\\\ &= \int_A \frac{r}{R}\tau_{\text{max}}\cdot rdA \\\\ &= \frac{\tau_{\text{max}}}{R}\int_A r^2 dA \end{align}$$

 

 따라서 관심 있는 최대 전단 응력은 내력 토크와 기하를 이용해 아래처럼 구할 수 있다.

$$\tau_{\text{max}} = \frac{T}{I_p}R \\\\ \text{where, } I_p = \int_A r^2 dA$$

 

 여기에서 $I_p$를 단면의 극관성 모멘트(polar moment of inertia of area)라고 한다.

 

 다시 이렇게 구한 최대 전단 응력 $\tau_{\text{max}}$를 1.2절의 전단 응력에 대입하면 아래와 같이 임의 위치에 작용하는 전단 응력을 구할 수 있다. 이것이 비틀림 공식이다.

$$\begin{align} \tau &= \frac{r}{R}\tau_{\text{max}} \\\\ &= \frac{r}{R}\cdot \frac{T}{I_p}R \\\\ &= \frac{T}{I_p}r \end{align}$$

$$\therefore \tau = \frac{T}{I_p}r$$

 

2. 극단면 계수 (Polar Section Modulus)

 극단면 계수는 다음과 같이 정의한다.

$$Z_p = \frac{I_p}{R}$$

 

 1.4절에서 구한 최대 전단 응력은 다음과 같다.

$$\tau_{\text{max}} = \frac{T}{I_p}R = \frac{T}{I_p/R} = \frac{T}{Z_p}$$

 

 이제 부재의 치수 정보를 이용해 구할 수 있는 극단면 계수만 알면 작용하는 토크를 나눠 최대 응력을 쉽게 구할 수 있게 됐다! 실제로 부재를 구매하게 되면 제조사에서 이런 단면 계수 정보를 제공하기도 한다.

 

3. 단면의 극관성 모멘트 (Polar Moment or Inertia of Area)

 위에서 등장한 단면의 극관성 모멘트 $I_p$를 구해보자. $I_p$를 아래에 다시 써본다.

$$I_p = \int_A r^2 dA$$

 

3.1. 중실 원형 단면 (Solid Circular Section)

 중실 원형 단면은 내부가 꽉 차 있는 원형 단면을 말한다.

 

그림 4. 중실 원형 단면

 

 각도가 아주 작다면 사각형이라고 봐도 무방하므로 미소 면적 $dA$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$dA = rd\theta dr$$

 

 따라서 극관성 모멘트를 구해 보면,

$$\begin{align} I_p &= \int_A r^2 dA \\\\ &= \int_A r^2 rd\theta dr \\\\ &= \int_0^R r^3 \left[\int_0^{2\pi} d\theta\right]dr \\\\ &= 2\pi\int_0^R r^3 dr \\\\ &= 2\pi\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R \\\\ &= \frac{\pi}{2}R^4 \\\\ &= \frac{\pi}{32}d^4 \end{align}$$

 

 여기에서 $d=2R$인 직경이다. 중실 원형 단면의 극관성 모멘트는 다음과 같다.

$$\therefore I_p = \frac{\pi}{2}R^4 = \frac{\pi}{32}d^4$$

 

 중실 원형 단면의 극단면 계수도 구할 수 있다.

$$Z_p = \frac{I_p}{R} = \frac{\pi}{2}R^3 = \frac{\pi}{16}d^3$$

 

3.2. 중공 원형 단면 (Hollow Circular Section)

 중공 원형 단면은 속이 비어 있는 원형 단면으로 파이프가 대표적인 중공 원형 단면의 대표적인 예이다.

 

그림 5. 중공 원형 단면

 

 중실 원형 단면과 마찬가지이지만 반경이 0에서 시작하는 것이 아니라 $R_i$에서 시작한다는 점만 다르다.

$$\begin{align} I_p &= \int_A r^2 dA \\\\ &= \int_A r^2 rd\theta dr \\\\ &= \int_{R_i}^{R_o} r^3 \left[\int_0^{2\pi} d\theta\right]dr \\\\ &= 2\pi\int_{R_i}^{R_o} r^3 dr \\\\ &= 2\pi\left[\frac{r^4}{4}\right]_{R_i}^{R_o} \\\\ &= \frac{\pi}{2}\left[R_o^4 - R_i^4\right] \\\\ &= \frac{\pi}{16}\left[d_o^4 - d_i^4\right] \end{align}$$

 

 여기에서도 $d_0=2R_0$, 그리고 $d_i = 2R_i$를 의미한다. 중공 원형 단면의 극관성 모멘트는 다음과 같다.

$$\begin{align} I_p &= \frac{\pi}{2}\left(R_o^4 - R_i^4\right) = \frac{\pi}{2}R_o^4\left(1 - \frac{R_i^4}{R_o^4}\right) \\\\ &= \frac{\pi}{32}\left(d_o^4 - d_i^4\right) = \frac{\pi}{32}d_o^4\left(1 - \frac{d_i^4}{d_o^4}\right) \end{align}$$

 

 가만히 결과를 살펴보니 단순히 반경이 $R_0$인 중실 원형 단면의 극관성 모멘트에서 반경이 $R_i$인 중실 단면의 극관성 모멘트를 빼준 것이라는 것을 알 수 있다. 앞으로는 귀찮게 적분하거나 하나 더 외우지 말고 이미 알고 있는 극관성 모멘트를 이용해 더하고 빼기만 하면 된다.

 

 중공 원형 단면의 극단면 계수는 최대 전단 응력이 발생하는 바깥쪽 반지름 $R_o$로 극관성 모멘트 $I_p$를 나누어 구한다. 따라서 중공 원형 단면의 극단면 계수 $Z_{p,h}$는 중실 원형 단면 계수 $Z_{p,s}$를 이용해 표현하면 다음과 같다.

$$Z_{p,h} = \frac{I_p}{R_o} = Z_{p,s}\left(1 - \frac{R_i^4}{R_o^4}\right)$$

 

4. 파손 이론

4.1. 경사면에 작용하는 응력

 아래 그림 6과 같이 토크가 작용하는 축에는 전단 응력이 발생한다.

 

그림 6. 토크가 작용하는 축의 응력

 

 이렇게 전단 응력만 작용하는 순수 전단 상태의 좌표 변환을 통해 주응력과 방향을 확인해 보면 아래와 같다.

$$\begin{align} \sigma_x' &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) + \frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\cos2\theta + \tau_{xy}\sin2\theta \\\\ \tau_{x'y'} &= -\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\sin2\theta + \tau_{xy}\cos2\theta \end{align}$$

 

 이때 $\sigma_x = \sigma_y = 0$이고 비틀림 응력 $\tau_{xy}$만 존재하므로 경사면에 작용하는 응력은 다음과 같다.

$$\begin{align} \sigma_x' &= \tau_{xy}\sin2\theta \\\\ \tau_{x'y'} &= \tau_{xy}\cos2\theta \end{align}$$

 

 수직 응력이 최대가 되는 좌표계는 $\theta = 45^\circ$인 경우이다. 최대 전단 응력은 순수 전단 상태인 현재 상태($\theta = 0^\circ$)가 되므로 최대 수직 응력과 최대 전단 응력이 같다는 것을 알 수 있다.

$$\begin{align} \sigma_{\text{max}} &= \sigma_x'|_{\theta=45^\circ} = \tau_{xy} \\\\ \tau_{\text{max}} &= \tau_{x'y'}|_{\theta=0^\circ} = \tau_{xy} \end{align}$$

그림 7. 순수 전단 상태의 주응력과 방향

 

4.2. 파손 단면

 재료가 연성재일 때는 최대 전단 응력에 의해 파손된다고 본다. 이것을 Tresca의 항복 조건(Tresca's yielding condition)이라 한다. 비틀림 하중을 받는 축에는 축과 나란한 $\theta = 0^\circ$에서 최대 전단 응력이 발생하는 것을 알았다. 따라서 파손 단면은 그림 8처럼 축방향과 수직 하게 나타난다.

 

그림 8. 연성재의 비틀림 파손 단면

 

 재료가 취성재일 때는 최대 수직 응력인 주응력에 의해 파손된다고 본다. 이것을 Rankine의 항복 조건(Rankine's yielding condition)이라 한다. 비틀림 하중을 받는 축에는 축과 45도를 이루는 $\theta = 45^\circ$면에 최대 수직 응력이 발생하는 것을 알았다. 따라서 파손 단면은 그림 9처럼 45도 방향으로 나타난다.

 

그림 9. 취성재의 비틀림 파손 단면

 

 단축 인장에서는 연성재의 경우 45 도 면에 파손이 일어나고 취성재는 0 도 면에 파손이 나타나지만 비틀림 파손은 단축 인장과는 반대라는 것을 알 수 있다.