소성 변형 (Plastic Deformation)

 지금까지 재료의 거동이 탄성 영역에 있는 경우만을 생각했으나 소성이 발생하면 앞서 설명한 응력 집중이고 나발이고 의미 없는 이야기가 된다. 응력 집중 계수 선도 역시 탄성 영역만을 고려한 것이기 때문이다. 소성 변형이 일어날 경우 어떻게 분석하는지 알아보자.

 

목차

• 1. 재료의 가정
• 2. 탄소성 변형 (Elastic/Plastic Deformation)
  • 2.1. 탄성 상태 (Elastic State)
  • 2.2. 탄성 한계 상태 (Elastic Limit State)
  • 2.3. 탄소성 상태 (Elastic/Plastic State)
  • 2.4. 완전 소성 상태 (Fully Plastic State)
• 3. 잔류 응력 (Residual Stress)
  • 3.1. 탄소성 상태
    • 3.1.1. 반력
    • 3.1.2. 내력
    • 3.1.3. 적합 조건
    • 3.1.4. 응력
    • 3.1.5. 소성
    • 3.1.7. 변형
    • 3.1.8. 변형률
  • 3.2. 제하 과정 (unloading process)
    • 3.2.1. 제하 응력 (Unloading Stress)
    • 3.2.2. 제하 변형률 (Unloading Strain)
    • 3.2.3. 잔류 응력 (Residual Stress)
    • 3.2.4. 응력-변형률 선도 (Stress-Strain diagram)

1. 재료의 가정

 재료 모델은 분석에 주로 많이 쓰이는 완전 탄소성 재료(elastic/perfectly plastic material)로 가정한다.

 

그림 1. 완전 탄소성 재료 모델

 

 총변형률을 $\epsilon$이라고 하면 총변형률은 소성 변형률과 탄성 변형률의 합이 된다.

$$\begin{align} \epsilon &= \epsilon_p + \epsilon_e \\\\ \epsilon_e &: \text{elastic strain} \\\\ \epsilon_p &: \text{plastic strain} \\\\ &: \text{permanent strain} \\\\ &: \text{residual strain} \end{align}$$

 

 항복점은 소성 구간의 시작점이지만 탄성 구간의 끝점이므로 후크의 법칙이 성립한다.

$$\begin{align} \sigma_y &= E\epsilon_y \\\\ \sigma_y &: \text{yield stress} \\\\ \epsilon_y &: \text{yield strain} \end{align}$$

 

2. 탄소성 변형 (Elastic/Plastic Deformation)

 아래 그림 2와 같이 응력 집중이 있는 재료가 있다고 하자. 홀 주위에서 분할해보면 단면의 응력이 일정하지 않고 구배를 갖게 된다.

 

그림 2. 구멍이 뚫린 재료의 인장

 

2.1. 탄성 상태 (Elastic State)

 탄성 구간에서 응력은 항복 강도보다 작다.

$$\begin{align} \sigma_{\text{max}} &= K\sigma_c \\\\ A_c &= (w-2r)t \\\\ \sigma_c &= \frac{P}{A_c} \end{align}$$

그림 3. 탄성 상태

 

2.2. 탄성 한계 상태 (Elastic Limit State)

 탄성 한계 상태는 응력이 항복 강도에 막 도달한 상태이다. 탄성 한계 하중 $P_y$는 항복 하중(yield load)라고도 하며 최대 응력이 항복 응력과 같아지는 하중을 말한다.

$$\begin{align} \sigma_{\text{max}} &\Rightarrow \sigma_y \\\\ P &\Rightarrow P_y \\\\ P_y&: \text{elastic limit load} \\\\ \\\\ \sigma_{\text{max}} &= K\sigma_c \\\\ &= K\frac{P}{A_c} \\\\ &= K\frac{P_y}{(w-2r)t} \Rightarrow \sigma_y \end{align}$$

 

  $$\therefore P_y = \frac{\sigma_y(w-2r)t}{K}$$

 

그림 4 탄성 한계 상태

 

2.3. 탄소성 상태 (Elastic/Plastic State)

 최대 응력이 항복 강도를 넘어서서 구조물에 탄성 상태와 소성 상태가 공존한다.

$$P > P_y$$

 

그림 5. 탄소성 상태

 

2.4. 완전 소성 상태 (Fully Plastic State)

 단면 전체의 응력이 항복 강도를 넘어서면 단면의 모든 영역이 소성 상태가 된다.

$$\begin{align} \sigma_{\text{min}} &\Rightarrow \sigma_y \\\\ P_p &= P_u = P_L \\\\ \\\\ P_p&: \text{pastic load}  \\\\ P_u&: \text{ultimate load} \\\\ P_L&: \text{limit load} \end{align}$$

 

$$\therefore P_p = \sigma_y(w-2r)t$$

 

그림 6. 완전 소성 상태

 

3. 잔류 응력 (Residual Stress)

 재료에 소성 변형이 일어나면 하중을 제거해도 회복되지 않는 영구 변형이 남는다. 이와 마찬가지로 외력을 제거해도 사라지지 않고 남아 있는 응력을 잔류 응력(residual stress)이라 한다.

$$\begin{align} \sigma_r &= \sigma + \sigma_u \\\\ \sigma&: \text{actual stress} \\\\ \sigma_u&: \text{unloading stress} \end{align}$$

 

 제하 과정(unloading process)은 가한 하중 $P$ 만큼 반대 방향으로 하중을 가하고 중첩의 원리를 이용해 합한다. 소성이 없다면 둘이 합쳐 $0$이 되므로 초기 상태로 돌아가지만 소성이 있다면 뭔가 남게 될 것이다.

 

 잔류 변형률(residual strain)은 다음과 같다.

$$\epsilon_r = \epsilon + \epsilon_u$$

 

 잔류 변형(residual deformation)은 다음과 같다.

$$\Delta_r = \Delta + \Delta_u$$

 

 다음 그림 7과 같은 구조물에 하중 $P$가 작용하고 있는 경우를 보자.

$$\begin{align} L_1 &= 100 \text{mm} \\\\ L_2 &= 300 \text{mm} \\\\ d &= 10 \text{mm} \\\\ P &= 60\text{kN} \\\\ \sigma_y &= 420\text{MPa} \\\\ E &= 70\text{GPa} \end{align}$$

 

그림 7. 이상한 구조물

 

3.1. 탄소성 상태

3.1.1. 반력

 아래 그림 8처럼 반력을 가정한 후 반력과 내력을 결정한다.

 

그림 8. 반력의 가정

 

$$\sum{F_x} = R_1 + R_2 - P = 0$$

 

3.1.2. 내력

 분할법으로 내력을 구해보면 다음과 같다.

$$F_1 = -R_1, \quad F_2 = R_2 \\\\ \therefore F_2 = F_1 + P$$

 

3.1.3. 적합 조건

 부정정 문제이므로 전체 변형이 0이라는 적합 조건을 이용한다.

$$\begin{align} \Delta &= \Delta_1 + \Delta_2 = 0 \\\\ \Delta_1 &= \frac{F_1L_1}{EA} \\\\ \Delta_2 &= \frac{F_2L2}{EA} \\\\ \therefore F_1L_1 + F_2L_2 = 0 \end{align}$$

 

 위 두 식을 연립해서 풀면 다음과 같이 내력을 구할 수 있다.

$$\begin{align} F_1 &= -\frac{PL_2}{L_1+L_2} = -\frac{3}{4}P = -45\text{kN} \\\\ F_2 &= \frac{PL_1}{L_1+L_2} = \frac{1}{4}P = 15\text{kN} \end{align}$$

 

3.1.4. 응력

 응력은 단면적으로 나누어 다음과 같이 계산된다.

$$A= \frac{\pi d^2}{4}$$

 

$$\begin{align} \sigma_1 &= \frac{F_1}{A} = -573\text{MPa} \\\\ \sigma_2 &= \frac{F_2}{A} = 191\text{MPa} \end{align}$$

 

3.1.5. 소성

 그런데 $|\sigma_1| > \sigma_y$ 이므로 항복 강도를 넘어 버렸다. 그러나 완전 탄소성 모델에서는 항복 강도보다 응력이 클 수 없으므로 $\sigma_1 = -\sigma_y$으로 수정해야 한다.

$$\sigma_1 = -420\text{MPa}$$

 

 이제 내력을 다시 계산한다. 계산해보면 $\sigma_2 < \sigma_y$이므로 2번 구간은 여전히 탄성 영역에 있다.

$$\begin{align} F_1 &= \sigma_1 A = \sigma_y A = -33\text{kN} \\\\ F_2 &= F_1 + P = 27\text{kN} \\\\ \sigma_2 &= \frac{F_2}{A} = 344\text{MPa} \end{align}$$

 

 1번 영역은 항복이 일어나 소성 변형이 시작되었다. 재료는 항복 하중보다 더 큰 하중은 견딜 수 없으므로 초과하는 하중은 2번 영역에서 대신 받아줄 수밖에 없다. 따라서 소성 발생하면 내력을 위처럼 다시 계산하고 응력 상태를 확정한다.

$$\begin{align} \sigma_1 &= -420\text{MPa} \\\\ \sigma_2 &= 344\text{MPa} \end{align}$$

 

3.1.7. 변형

 변형과 변형률을 계산해 보면 아래와 같다. 1번 부재의 변형은 소성이 발생했으므로 적합 조건으로 결정한다.

$$\begin{align} \Delta_2 &= \frac{F_2L_2}{EA} = -1.474\text{mm} \\\\ \Delta_2 &= -\Delta_1 = 1.474\text{mm} \\\\ \end{align}$$

 

3.1.8. 변형률

 변형률을 계산해보면 다음과 같다.

$$\begin{align} \epsilon_1 &= \frac{\Delta_1}{L_1} \\\\ &= \epsilon_y + \epsilon_p \\\\ &= -\frac{\sigma_y}{E} + \epsilon_p \\\\ &= -0.001474 \\\\ \epsilon_2 &= \frac{\Delta_2}{L_2} \\\\ &= \frac{\sigma_2}{E} \\\\ &= 0.0049 \end{align}$$

 

 1번 구간의 영구 변형은 위 식에 의해 다음과 같다.

$$\epsilon_p = \epsilon_1 + \frac{\sigma_y}{E} = -0.0087$$

 

3.2. 제하 과정 (unloading process)

 제하 과정은 작용 하중을 반대 방향으로 가하고 중첩의 원리를 이용해 더한다.

 

그림 9. 제하 과정

 

$$\begin{align} F_1^u &= \frac{3}{4}P = 45 \text{kN} \\\\ F_2^u &= \frac{1}{4}P = 15\text{kN} \end{align}$$

 

3.2.1. 제하 응력 (Unloading Stress)

 제하 응력(unloading stress)은 탄성으로 보고 계산한다. 제하 과정은 응력-변형률 선도에서 탄성 영역과 같은 기울기로 되돌아가는 것이기 때문이다. 이때 압축에서 인장으로 넘어갈 수 있으므로 응력이 $\sigma_y-(-\sigma_y)=2\sigma_y$이내에 있다면 제하 과정은 탄성 구간 안에 있다. 그림 10을 보면 이해가 쉽다. 제하 과정 동안 응력은 $-\sigma_y$에서 시작해 상승하고 $+\sigma_y$까지 도달할 수 있다.

$$\begin{align} \sigma_1^u &= \frac{F_1^u}{A} = 573\text{MPa} \\\\ \sigma_2^u &= \frac{F_2^u}{A} = -191\text{MPa} \end{align}$$

 

3.2.2. 제하 변형률 (Unloading Strain)

 제하 변형률(unloading strain)은 다음과 같다.

$$\begin{align} \epsilon_1^u &= \frac{\sigma_1^u}{E} = 0.0082 \\\\ \epsilon_2^u &= \frac{\sigma_2^u}{E} = -0.0027 \end{align}$$

 

3.2.3. 잔류 응력 (Residual Stress)

 잔류 응력은 하중에 의한 응력과 제하 응력을 더하여 구한다. 구해보면 1번 영역과 2번 영역의 잔류 응력이 같다는 것을 알 수 있다.

$$\begin{align} \sigma_1^r &= \sigma_1 + \sigma_1^u \\\\ &= -420\text{MPa} + 573\text{MPa} = 153\text{MPa} \\\\ \sigma_2^r &= \sigma_2 + \sigma_2^u \\\\ &= 344\text{MPa} - 191\text{MPa} = 153\text{MPa} \end{align}$$

 

 잔류 변형률(residual strain)은 다음과 같다.

$$\begin{align} \epsilon_1^r = \epsilon_1 + \epsilon_1^u = -0.00654 \\\\ \epsilon_2^r = \epsilon_2 + \epsilon_2^u = 0.0022 \end{align}$$

 

 잔류 변형(residual deformation)은 다음과 같다.

$$\begin{align} \Delta_1^r &= \Delta_1 + \Delta_1^u = -0.654\text{mm} \\\\ \Delta_2^r &= \Delta_2 + \Delta_2^u = 0.654\text{mm} \end{align}$$

 

3.2.4. 응력-변형률 선도 (Stress-Strain diagram)

 하중을 가하면서 발생한 응력과 제하 과정 과정의 응력을 선도에 나타내면 아래 그림 10과 같다.

 

그림 10. 제하 과정의 응력 변형률 선도