1. 단축 부재의 변형
단축 부재는 축방향으로만 변형하는 부재를 말한다. 봉재(bar)가 대표적인 단축 부재로 길이 방향으로만 하중을 버틸 수 있고 휨은 허용하지 않는다. 세장비(aspect ratio)가 큰 부재로 길이가 단면적에 비해 아주 길기 때문에 굽힘에 거의 저항하지 못하기 때문이다.
1.1. 축방향 변형률 (Axial Strain)
축방향 변형률은 변형 후의 미소 길이 $dx'$과 변형 전의 길이 $dx$를 이용해 다음과 같이 계산한다.
$$ \epsilon_x = \frac{dx'-dx}{dx} = \frac{d\Delta}{dx} $$
$$ \therefore d\Delta = \epsilon_x dx $$
1.2. 축방향 응력 (Axial Stress)
축방향 응력은 내력과 단면적을 이용해 계산한다.
$$ \sigma_x = \frac{F}{A} $$
1.3. 후크의 법칙 (Hooke's Law)
단축 부재에서 후크의 법칙은 아래와 같다.
\begin{align} \sigma_x &= E\epsilon_x \\\\ \epsilon_x &= \frac{\sigma_x}{E} = \frac{F}{EA} \end{align}
이때 축방향 하중이 작용하더라도 포아송 비에 의해 축에 수직 한 방향(y-axis)에도 변형이 있다.
$$ \epsilon_y = -\nu\epsilon_x $$
1.4. 축방향 변형 (Axial Deformation)
위의 변형률에 대한 식과 후크의 법칙을 이용해 축방향 변형은 다음과 같이 결정된다.
$$ d\Delta = \frac{F}{EA}dx $$
여기에서 $EA$를 축강성(axial rigidity)이라 한다.
1.5. 총변형 (Total Deformation)
총변형량은 $d\Delta$를 전체 길이에 대해 적분하여 얻는다.
$$ \Delta = \int_{0}^{L}\frac{F}{EA}dx $$
만약 축방향으로 단면적이 일정하고 동일 재질이라고 하면 $E$와 $A$는 상수가 되어 아래와 같이 간단하게 적분 식이 정리된다.
\begin{align} \Delta &= \int_{0}^{L}\frac{F}{EA}dx \\\\ &= \frac{F}{EA}\int_0^Ldx \\\\ &= \frac{FL}{EA} \end{align}
$$ \therefore \Delta = \frac{FL}{EA} $$
여기에서 F는 축방향 하중(axial force)과 같다. $EA$는 축강성(axial rigidity)이라고 하며 얼마나 부재가 하중에 저항하는지를 나타낸다. $EA/L$은 축강성도(axial stiffness)라고 하고 축강성과는 다르게 길이에 의한 효과까지 고려한 것으로 단축 부재를 용수철로 본다면 스프링 상수와 같다. 아래 식은 총변형에 대한 것이므로 같은 하중 상태에서도 부재의 길이가 길수록 전체 변형이 쉽게 커진다는 것을 알 수 있다. 즉 스프링 상수는 작아진다.
$$ F = \frac{EA}{L}\Delta = K\Delta \\\\ \therefore K = \frac{EA}{L} $$
\begin{align} &F:\ \text{axial force} \\\\ &EA:\ \text{axial rigidity} \\\\ &\frac{EA}{L}:\ \text{axial stiffness} \end{align}
1.6. 자중을 받는 단축 부재
스댕으로 된 무거운 막대기(bar)가 그림 2처럼 천장에 매달려 있다고 하자. 전체 길이는 $L$이고 단면적은 $A$로 일정하다. 여기에 중력이 작용하여 막대기를 잡아당기는데 단위 체적당 무게를 $\gamma$라고 하자. 이 값은 밀도(density)에 중력 가속도 $g$를 곱한 것이므로 자중 밀도(gravity density)라고 한다.
그림 2에서 미소 체적은 단면적이 $A$이고 미소 길이 $dx$를 갖는다. 이 미소 체적의 아래에는 무게를 갖는 덩어리가 스스로의 무게만큼의 힘으로 잡아당기고 있다. 이 무게는 하단에서의 거리 $x$에 따라 달라지므로 위치에 따른 내력이 일정하지 않고 변하게 된다.
$$ F = A\gamma x $$
이 막대기에 작용하는 총변형은 적분을 통해 아래처럼 구할 수 있다.
\begin{align} \Delta &= \int_0^L \frac{F}{EA}dx = \int_0^L \frac{A\gamma x}{EA}dx \\\\\ &= \frac{\gamma}{2E}\left[ x^2 \right]_0^L = \frac{\gamma}{2E}L^2 \end{align}
따라서 총변형은 다음과 같다.
$$ \Delta = \frac{\gamma AL}{2EA}L = \frac{1}{2}\frac{WL}{EA} $$
여기에서 $W$는 막대기 전체의 무게이다.
$$ W = AL\gamma $$
2. 변위와의 관계
그림 2의 예제처럼 위치에 따라 작용하는 하중이 달라질 수 있으므로 임의의 분포 하중이 작용한다고 하자.
2.1. 변형률
미소 체적의 변형은 그림 3과 같다.
따라서 변형률은 다음과 같다.
\begin{align} \epsilon_x &= \frac{dx'-dx}{dx} \\\\ &= \frac{\left[dx+(u+\frac{du}{dx}dx)-u\right]-dx}{dx} \\\\ &= \frac{du}{dx} \end{align}
$$ \therefore \epsilon_x = \frac{du}{dx} $$
2.2. 응력
응력은 후크의 법칙에 따라 아래와 같다.
$$ \sigma_x = E\epsilon_x = E\frac{du}{dx} $$
2.3. 축하중
축하중은 응력의 정의에 따라 아래와 같다.
$$ \sigma_x = \frac{F}{A} \Rightarrow F=\sigma_xA $$
응력을 변형률로 치환하고 변형률을 다시 이미 구한 변위에 대한 미분식으로 치환하면 아래와 같다.
$$ \therefore F = EA\frac{du}{dx} $$
2.4. 평형
아래 그림 4와 같이 미소 체적에 작용하는 하중을 나타내고 평형 방정식을 쓸 수 있다.
$$ \sum F_x = -F + \left(F+\frac{dF}{dx}dx\right) + f(x)dx = 0 $$
$$ \therefore \frac{dF}{dx} + f(x) = 0 $$
2.5 봉의 지배미분방정식
위에서 구한 평형식에 앞서 구한 축하중의 변위에 대한 미분식을 대입하면 아래와 같다.
$$ \frac{dF}{dx} + f(x) = \frac{d}{dx}\left(EA\frac{du}{dx}\right) + f(x) = 0 $$
이것을 봉의 지배 미분방정식(governing differential equation of bar)이라고 한다.
$$ \therefore \frac{d}{dx}\left(EA\frac{du}{dx}\right) + f(x) = 0 $$
여기에서 $EA$는 봉의 축강성(axial rigidity)가 되고 $f(x)$는 축 방향 분포 하중(axial distributed load intensity)이다.
2.6. 자중을 받는 단축 부재
그림 2의 자중을 받는 막대기를 지배 미분방정식을 이용해 다뤄보자. 분포 하중 $f(x)$는 자중에 대한 함수로 아래처럼 쓸 수 있다.
$$ f(x) = -A\gamma $$
따라서 미분방정식은 다음과 같다.
$$ \frac{d}{dx}\left(EA\frac{du}{dx}\right) -A\gamma = 0 $$
$E$와 $A$가 상수라면 아래처럼 정리된다.
$$ \frac{d^2u}{dx^2} = \frac{\gamma}{E} $$
해를 구하기 위해 위 식을 적분한다. 두번 부정적분하여 적분 상수 두 개가 나타난다.
\begin{align} \int \frac{d^2u}{dx^2} dx &= \int \frac{\gamma}{E}dx \\\\ \frac{du}{dx} &= \frac{\gamma}{E}x + C_1 \\\\ u &= \frac{\gamma}{2E}x^2 + C_1x + C_2 \end{align}
적분 상수 $C_1, C_2$는 경계조건(boundary condition)에 의해 결정된다.
$$ u|_{x=L} = 0 \quad F|_{x=0} = 0 $$
\begin{align} u|_{x=L} &= \frac{\gamma}{2E}L^2 + C_1L + C_2 = 0 \\\\ F|_{x=0} &= EA\frac{du}{dx}|_{x=0} = EA\left(\frac{\gamma}{E}x + C_1 \right) = 0 \end{align}
따라서 적분 상수는 다음과 같다.
\begin{align} C_1 &= 0 \\\\ C_2 &= -\frac{\gamma L^2}{EA} \end{align}
구한 적분 상수를 해에 대입하여 정리하면 변위는 다음과 같다.
$$ u = \frac{\gamma}{2E}x^2 -\frac{\gamma L^2}{2E} $$
최대 변위는 $x=0$일 때 총변위로 나타난다.
$$ u|_{x=0} = -\frac{\gamma L^2}{2E} $$
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