구성 행렬과 컴플라이언스 행렬 (Consitutive and Compliance Matrix)

1. Voigt 표기법 (Voigt Notation)

 Voigt 표기법은 대칭 행렬을 축소된 차원으로 표기하는 방법이다. 응력 텐서와 변형률 텐서는 대칭 행렬이므로 아래와 같은 순서로 벡터 차원으로 표현할 수 있다.

 

그림 3. Voigt 표기법의 순서

 

 예를 들어 응력을 Voigt 표기법(notation)을 이용하여 표현하면 아래와 같다.

$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix}\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} $$

 

2. 등방성 재료 (Isotropic Material)

2.1. 컴플라이언스 행렬 (Compliance Matrix)

 3차원에서 컴플라이언스 방정식은 아래와 같다.

\begin{align} \epsilon_x &= \frac{\sigma_x}{E} - \frac{\nu}{E}(\sigma_y+\sigma_z) \\\\ \epsilon_y &= \frac{\sigma_y}{E} - \frac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_z) \\\\ \epsilon_z &= \frac{\sigma_z}{E} - \frac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y) \\\\ \gamma_{xy} &= \frac{\tau_{xy}}{G} \\\\ \gamma_{yz} &= \frac{\tau_{yz}}{G} \\\\ \tau_{zx} &= \frac{\tau_{zx}}{G} \end{align}

 

 Voigt 표기법을 이용해 컴플라이언스 방정식을 행렬로 표현하면 아래와 같다. 텐서로 표현할 때는 전단 변형률을 $1/2\gamma$ 형태로 쓰지만 여기에서는 두배를 한 $\gamma$ 형태로 바로 써도 무방하다.

$$\begin{Bmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \epsilon_z \\ \gamma_{yz} \\ \gamma_{zx} \\ \gamma_{xy} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} $$

 

 물론 전단 변형률을 $\epsilon_{xy}$ 형태로 써도 된다.

$$\begin{Bmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \epsilon_z \\ \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} \\ \epsilon_{xy} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2G} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2G} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2G} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} $$

 

 다시 $G$를 아래처럼 $E$와 $\nu$를 이용한 표현으로 바꾸고. $1/E$를 밖으로 빼면 아래처럼 간단한 형태로 정리된다.

$$ G = \frac{E}{2(1+\nu)} \Rightarrow \frac{1}{2G} = \frac{1+\nu}{E} $$

 

$$ \begin{Bmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \epsilon_z \\ \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} \\ \epsilon_{xy} \end{Bmatrix} = \frac{1}{E}\begin{bmatrix} 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1+\nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1+\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1+\nu \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} $$

 

 위 식이 등방성 재료에 대한 컴플라이언스 방정식의 행렬 표현이고 아래 식처럼 써서 행렬 $C$를 컴플라이언스 행렬(compliance matrix)이라고 한다.

$$ \boldsymbol{\epsilon} = \boldsymbol{C}\boldsymbol{\sigma} \\\\ \boldsymbol{C} = \frac{1}{E}\begin{bmatrix} 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1+\nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1+\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1+\nu \end{bmatrix} $$

 

2.2. 구성 행렬 (Constitutive Matrix)

 3차원에서 구성 방정식은 아래와 같다.

\begin{align} \sigma_x &= \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\left[ (1-\nu)\epsilon_x + \nu(\epsilon_y+\epsilon_z) \right] \\\\ \sigma_y &= \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\left[ (1-\nu)\epsilon_y + \nu(\epsilon_x+\epsilon_z) \right] \\\\ \sigma_z &= \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\left[ (1-\nu)\epsilon_z + \nu(\epsilon_y+\epsilon_x) \right] \\\\ \tau_{xy} &= G\gamma_{xy} \\\\ \tau_{yz} &= G\gamma_{yz} \\\\ \tau_{zx} &= G\gamma_{zx} \end{align}

 

 Voigt 표기법을 이용해 구성 방정식을 행렬로 표현하면 아래와 같다.

$$ \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \epsilon_z \\ \gamma_{yz} \\ \gamma_{zx} \\ \gamma_{xy} \end{Bmatrix} $$

 

 또는 $\gamma$ 대신 $\epsilon$ 표현으로 써도 된다.

$$ \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-2\nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &1-2\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1-2\nu \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \epsilon_z \\ \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} \\ \epsilon_{xy} \end{Bmatrix} $$

 

 위 식이 등방성 재료에 대한 구성 방정식의 행렬 표현이다. 마찬가지로 아래식처럼 쓰고 $\bf{E}$를 구성 행렬(constitutive matrix)라고 한다.

$$ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{E}\boldsymbol{\epsilon} $$

$$ \boldsymbol{E} = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-2\nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1-2\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1-2\nu \end{bmatrix} $$

 

2.3. 구성 행렬과 컴플라이언스 행렬의 관계

 후크의 법칙은 구성 방정식을 Voigt 표기법을 이용한 행렬로 아래처럼 나타낼 수 있었다.

$$ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{E}\boldsymbol{\epsilon} $$

 

 역 후크의 법칙(inverse Hooke's law)는 컴플라이언스 방정식을 이용해 아래처럼 나타냈다.

$$ \boldsymbol{\epsilon} = \boldsymbol{C}\boldsymbol{\sigma} $$

 

 구성 방정식에서 양변에 구성 행렬의 역행렬을 곱하면 다음과 같다.

$$ \boldsymbol{E}^{-1}\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{E}^{-1}\boldsymbol{E}\boldsymbol{\epsilon} $$

 

 따라서 다음과 같이 정리된다.

$$ \boldsymbol{\epsilon} = \boldsymbol{E}^{-1}\boldsymbol{\sigma} $$

 

 위 식을 컴플라이언스 방정식과 비교하면 컴플라이언스 행렬과 구성 행렬의 관계는 서로 역행렬임을 알 수 있다.

$$ \therefore \boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}^{-1} \quad \text{or} \quad \boldsymbol{E} = \boldsymbol{C}^{-1} $$

 

3. 직교 이방성 재료 (Orthotropic Material)

3.1. 컴플라이언스 행렬

 직교 이방성 재료는 방향별로 영률과 포아송 비가 다르므로 다음과 같이 쓴다.

$$\begin{Bmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \epsilon_z \\ \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} \\ \epsilon_{xy} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{E_x} & -\frac{\nu_{yx}}{E_y} & -\frac{\nu_{zx}}{E_z} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu_{xy}}{E_x} & \frac{1}{E_y} & -\frac{\nu_{zy}}{E_z} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu_{xz}}{E_x} & -\frac{\nu_{yz}}{E_y} & \frac{1}{E_z} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2G_{yz}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2G_{zx}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2G_{xy}} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} $$

 

3.2. 구성 행렬

 구성 행렬은 컴플라이언스 행렬의 역행렬이다. 복잡하기 때문에 보통 컴플라이언스 행렬을 이용한다.

$$ \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1-\nu_{yz}\nu_{zy}}{E_yE_z\Delta} & \frac{\nu_{yx} + \nu_{zx}\nu_{yz}}{E_yE_z\Delta} & \frac{\nu_{zx}+\nu_{yx}\nu_{zy}}{E_yE_z\Delta} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu_{xy} + \nu_{xz}\nu_{zy}}{E_zE_x\Delta} &  \frac{1-\nu_{zx}\nu_{xz}}{E_zE_x\Delta} & \frac{\nu_{zy} + \nu_{zx}\nu_{xy}}{E_zE_x\Delta} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu_{xz}+\nu_{xy}\nu_{yz}}{E_xE_y\Delta} & \frac{\nu_{yz} + \nu_{xz}\nu_{yx}}{E_xE_y\Delta} & \frac{1-\nu_{xy}\nu_{yx}}{E_xE_y\Delta} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2G_{yz} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2G_{zx} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2G_{xy} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \\ \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} $$

$$\text{where, }\quad \Delta = \frac{1-\nu_{xy}\nu_{yx} -\nu_{yz}\nu_{zy} -\nu_{zx}\nu_{xz} - 2\nu_{xy}\nu_{yz}\nu_{zx}}{E_xE_yE_z} $$