1. 포아송 비 (Poisson's Ratio)
지금까지는 단축 인장(uni-axial tension)에 대한 후크의 법칙을 주로 살펴 봤다. 3차원 후크의 법칙은 3차원 응력 성분과 변형률 사이의 관계를 말한다.
$$ \begin{matrix} \sigma_x & \sigma_y & \sigma_z \\\\ \tau_{xy} & \tau_{yz} & \tau_{zx} \end{matrix} \Longleftrightarrow \begin{matrix} \epsilon_x & \epsilon_y & \epsilon_z \\\\ \gamma_{xy} & \gamma_{yz} & \gamma_{zx} \end{matrix} $$
예전 글에서 몇번이나 포아송 비 $\nu$에 대한 언급이 있었음에도 강건너 불구경이었던 것이 사실이다. 이제 그 포아송 비가 전면에 등장할 차례다. 포아송 비는 한쪽 방향의 변형률이 발생했을 때 수직한 방향에 발생하는 변형률의 비이다. 포아송 비는 물체를 잡아 당기면 폭이 줄어드는 현상을 설명한다.
$$ \nu = -\frac{\text{lateral strain}}{\text{axial strain}} = -\frac{\epsilon_l}{\epsilon_a} $$
균질(homogeneous)하고 등방성(isotropic)인 재료가 있다고 해보자. 이 재료는 모든 위치에서 기계적 물성이 동일하고 모든 방향으로도 같다. 따라서 포아송 비도 모든 방향에 대해 같다.
$$ \nu = \nu_{xy} = \nu_{yz} = \nu_{zx} $$
아래 그림 1과 같은 3차원 체적에 $x$방향으로 하중이 작용해 $\sigma_x$가 발생했다고 하자.
그림 1에서 인장축방향 변형률과 종방향 변형률은 아래와 같다.
\begin{align} \epsilon_a &= \epsilon_x \\\\ \epsilon_l &= \epsilon_y,\ \epsilon_z \end{align}
포아송비는 정의에 의해 다음과 같다.
$$ \nu = -\frac{\epsilon_l}{\epsilon_a} = -\frac{\epsilon_y}{\epsilon_x} = -\frac{\epsilon_z}{\epsilon_x} $$
따라서 축방향 변형률 $\epsilon_x$가 발생했을 때 종방향 변형률은 다음과 같이 계산된다.
\begin{align} \epsilon_y &= -\nu\epsilon_x \\\\ \epsilon_z &= -\nu\epsilon_x \end{align}
2. 수직 응력과 변형률 사이의 관계
다시 그림 1과 같이 $\sigma_x$만 작용하는 상황에서 발생하는 변형률을 응력에 대해서 나타내보자. 뒤에서 구분하기 위해 $\sigma_x$로 인해 발생한 변형률에 어퍼스트로피(apostrophe, ') 한 개를 붙이기로 한다.
\begin{align} \epsilon_x' &= \frac{\sigma_x}{E} \\\\ \epsilon_y' &= -\nu\epsilon_x = -\nu\frac{\sigma_x}{E} \\\\ \epsilon_z &= -\nu\epsilon_x = -\nu\frac{\sigma_x}{E} \end{align}
이번에는 $\sigma_y$만 작용하는 경우를 써본다. 이번에는 어퍼스트로피를 두 개 붙여서 구분해 보자.
\begin{align} \epsilon_y'' &= \frac{\sigma_y}{E} \\\\ \epsilon_x'' &= -\nu\epsilon_z'' = -\nu\frac{\sigma_y}{E} \\\\ \epsilon_z'' &= -\nu\epsilon_y = -\nu\frac{\sigma_y}{E} \end{align}
이번에는 $\sigma_z$만 작용하는 경우를 써본다. 이번에는 어퍼스트로피를 세 개 붙여서 구분해 보자.
\begin{align} \epsilon_z''' &= \frac{\sigma_z}{E} \\\\ \epsilon_x''' &= -\nu\epsilon_z''' = -\nu\frac{\sigma_z}{E} \\\\ \epsilon_y''' &= -\nu\epsilon_z = -\nu\frac{\sigma_z}{E} \end{align}
이제 $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$가 동시에 작용하는 경우에는 중첩의 원리(principle of superposition)에 의해 아래와 같이 선형 결합으로 나타낼 수 있다.
\begin{align} \epsilon_x &= \epsilon_x' + \epsilon_x'' + \epsilon_x''' = \frac{\sigma_x}{E} -\nu\frac{\sigma_y}{E} -\nu\frac{\sigma_z}{E} \\\\ \epsilon_y &= \epsilon_y' + \epsilon_y'' + \epsilon_y''' = \frac{\sigma_y}{E} -\nu\frac{\sigma_x}{E} -\nu\frac{\sigma_z}{E} \\\\ \epsilon_z &= \epsilon_z' + \epsilon_z'' + \epsilon_z''' = \frac{\sigma_z}{E} -\nu\frac{\sigma_x}{E} -\nu\frac{\sigma_y}{E} \end{align}
따라서 정리하면 아래와 같다.
\begin{align} \epsilon_x &= \frac{\sigma_x}{E} - \frac{\nu}{E}(\sigma_y+\sigma_z) \\\\ \epsilon_y &= \frac{\sigma_y}{E} - \frac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_z) \\\\ \epsilon_z &= \frac{\sigma_z}{E} - \frac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y) \end{align}
3. 전단 응력과 변형률 사이의 관계
전단 응력과 전단 변형률은 포아송 비에 의한 효과가 없다.
\begin{align} \gamma_{xy} &= \frac{\tau_{xy}}{G} \\\\ \gamma_{yz} &= \frac{\tau_{yz}}{G} \\\\ \tau_{zx} &= \frac{\tau_{zx}}{G} \end{align}
4. 컴플라이언스 방정식 (Compliance Equation)
응력에 의해 유발되는 변형률에 대한 관계식이다. 위에서 구한 관계식을 말한다. 응력 성분 앞의 계수는 얼마나 말랑말랑한지를 의미하게 된다.
\begin{align} \epsilon_x &= \frac{\sigma_x}{E} - \frac{\nu}{E}(\sigma_y+\sigma_z) \\\\ \epsilon_y &= \frac{\sigma_y}{E} - \frac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_z) \\\\ \epsilon_z &= \frac{\sigma_z}{E} - \frac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y) \\\\ \gamma_{xy} &= \frac{\tau_{xy}}{G} \\\\ \gamma_{yz} &= \frac{\tau_{yz}}{G} \\\\ \tau_{zx} &= \frac{\tau_{zx}}{G} \end{align}
5. 구성 방정식 (Constitutive Equation)
변형률에 의해 유발되는 응력에 대한 관계식이다. 위에서 구한 관계식을 역으로 쓴 것이다. 변형률 성분 앞의 계수는 얼마나 단단한지를 의미하게 된다.
\begin{align} \sigma_x &= \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\left[ (1-\nu)\epsilon_x + \nu(\epsilon_y+\epsilon_z) \right] \\\\ \sigma_y &= \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\left[ (1-\nu)\epsilon_y + \nu(\epsilon_x+\epsilon_z) \right] \\\\ \sigma_z &= \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\left[ (1-\nu)\epsilon_z + \nu(\epsilon_y+\epsilon_x) \right] \\\\ \tau_{xy} &= G\gamma_{xy} \\\\ \tau_{yz} &= G\gamma_{yz} \\\\ \tau_{zx} &= G\gamma_{zx} \end{align}
6. $E,\ G$, 그리고 $\nu$의 관계
결론부터 이야기하면 이 세 파라미터 사이에는 아래와 같은 관계가 있다. 그렇다고는 들었는데 왜 그런지는 까먹었으니 다시 천천히 알아보자.
$$ G = \frac{E}{2(1+\nu)} $$
전단 응력과 변형률 사이의 관계를 구하기 위해서 다음과 같은 순수 전단 상태(pure shear state)를 생각해보자.
편의를 위해 평면 응력 상태만 고려해 순수 전단 응력 상태를 텐서 형태로 쓰면 아래와 같다.
$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} 0 & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & 0 \end{bmatrix} $$
이 응력 상태의 주응력을 구해보면 아래와 같다. 주응력 평면에서는 수직 응력만 존재하고 전단 응력은 존재하지 않는다.
$$ \begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tau_{xy} & 0 \\ 0 & -\tau_{xy} \end{bmatrix} $$
순수 전단 응력 상태의 변형률 텐서는 전단 응력에 의해 발생한 전단 변형률만 존재하므로 아래와 같다.
$$ \boldsymbol{\epsilon} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2}\gamma_{xy} \\ \frac{1}{2}\gamma_{xy} & 0 \end{bmatrix} $$
마찬가지로 주변형률을 구해보면 다음과 같다.
$$ \begin{bmatrix} \epsilon_1 & 0 \\ 0 & \epsilon_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\gamma_{xy} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2}\gamma_{xy} \end{bmatrix} $$
주평면에서는 전단 응력이 존재하지 않는 순수 인장 응력 상태가 된다. 이제 이 순수 인장 응력 상태에서 후크의 법칙을 살펴 보자.
$$\epsilon_1 = \frac{\sigma_1}{E} - \frac{\nu}{E}\sigma_2 $$
원래 좌표계에서의 전단 응력 성분으로 표현하면 아래와 같다.
\begin{align} \epsilon_1 &= \frac{1}{2}\gamma_{xy} \\\\ \sigma_1 &= \tau_{xy} \\\\ \sigma_2 &= -\tau_{xy} \end{align}
$$ \frac{1}{2}\gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{E} - \frac{\nu}{E}(-\tau_{xy}) = \frac{1+\nu}{E}\gamma_{xy} $$
위 식을 익숙한 형태로 정리하면 다음과 같다.
$$ \tau_{xy} = \frac{E}{2(1+\nu)}\gamma_{xy} $$
따라서 전단 탄성 계수 $G$는 위 식의 계수가 되는 것이다.
$$ G = \frac{E}{2(1+\nu)} $$
7. 체적 팽창 계수 (Bulk Modulus)
체적 팽창 계수는 평균 응력 $\sigma_m$과 체적 변형률 $\epsilon_V$의 비로 다음과 같이 정의한다. 체적이 변하려면 길이가 변해야 하므로 길이를 바꿀 수 있는 응력은 수직 응력 뿐이기 때문이다. 전단 응력은 길이에 변화를 주지 못한다.
$$ K = \frac{\sigma_m}{\epsilon_V} $$
여기에서 평균 응력은 수직 응력의 평균을 말한다.
$$ \sigma_m = \frac{1}{3}(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) $$
체적 변형률은 변형 후의 체적 $V'$과 초기 체적 $V$를 이용해 다음과 같이 정의한다.
$$ \epsilon_V = \frac{V'-V}{V} $$
여기에서 변형 후의 체적과 초기 체적은 축 별 길이를 이용해 다음과 같이 쓸 수 있다.
\begin{align} V' &= dx'dy'dz' \\\\ V &= dxdydz \end{align}
변형 후의 길이와 초기 길이의 관계는 변형률을 이용해 표현할 수 있다.
\begin{align} dx' &= (1+\epsilon_x)dx \\\\ dy' &= (1+\epsilon_y)dy \\\\ dz' &= (1+\epsilon_z)dz \end{align}
길이를 이용해 표현한 체적의 변화는 다음과 같다.
\begin{align} \Delta V &= dx'dy'dz' - dxdydz \\\\ &= (1+\epsilon_x)dz(1+\epsilon_y)dy(1+\epsilon_z)dz - dxdydz \\\\ &= \left[ (1+\epsilon_x)(1+\epsilon_y)(1+\epsilon_z) -1 \right] dxdydz \end{align}
체적 변형률은 다음과 같이 전개해서 계산하게 된다.
\begin{align} \epsilon_V &= \frac{\Delta V}{V} \\\\ &= (1+\epsilon_x)(1+\epsilon_y)(1+\epsilon_z) - 1 \\\\ &= 1+ (\epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z) +(\epsilon_x\epsilon_y + \epsilon_x\epsilon_z+\epsilon_y\epsilon_z) + \epsilon_x\epsilon_y\epsilon_z - 1 \\\\ &\approx \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z \end{align}
위 식에서 아주 작은 변형률이 두 번 세 번 곱해진 항은 값이 아주아주 작아지기 때문에 거의 0이나 마찬가지다. 이 항들을 0으로 취급하면 체적 변형률은 수직 변형률의 합으로 단순하게 표현할 수 있다.
$$ \therefore \epsilon_V = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z $$
체적 변형률과 평균 응력 사이의 관계를 구하기 위해 다시 후크의 법칙을 이용한다. 응력과 변형률 사이의 관계를 이용해 체적 변형률을 표현해보자
\begin{align} \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z &= \frac{1}{E}(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) -\frac{2\nu}{E}(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) \\\\ &= \frac{1-2\nu}{E}(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) \end{align}
위 식을 체적 변형률 $\epsilon_V$와 평균 응력 $\sigma_m$으로 표현해보면 아래와 같다.
$$ \epsilon_V = \frac{1-2\nu}{E}(3\sigma_m) $$
따라서 체적 팽창 계수는 다음과 같다.
$$ K = \frac{\sigma_m}{\epsilon_V} = \frac{E}{3(1-2\nu)} $$
비압축성 재료(incompressible material)는 포아송 비가 0.5이다. 이런 경우에는 체적 팽창 계수의 분모가 0이 되어 $K$가 무한대가 됨을 알 수 있다. 즉 체적 강성이 무한대여서 체적을 변화시킬 수 없다는 의미이다. 이 의미를 다시 아래식으로 생각해보면 체적 팽창계수가 무한대일 때 체적의 변화는 없다.
$$ \epsilon_V = \frac{\sigma_m}{K} = \frac{\Delta V}{V} $$
$$ \Delta_V = \frac{\sigma_m}{K}V $$
$$ \lim_{K\rightarrow\infty} \Delta V = \lim_{K\rightarrow\infty} \frac{\sigma_m}{K}V = 0 $$
8. $E,\ G$, 그리고 $K$의 관계
앞서 구한 $G$와 $K$를 보면 $E$와 $\nu$의 함수이다.
\begin{align} G &= \frac{E}{2(1+\nu)} \\\\ K = &= \frac{E}{3(1-2\nu)} \end{align}
위의 두 식을 아래와 같이 정리해 좌변에 포아송비와 관련된 항만 남긴다.
\begin{align} 2(1+\nu) &= \frac{E}{G} \\\\ (1-2\nu) &= \frac{E}{3K} \end{align}
위의 두 식 더하면 포아송비는 사라지고 $E,\ G$, 그리고 $K$만 남게 된다.
$$ 3 = \frac{E}{G} + \frac{E}{3K} $$
따라서 $E,\ G$, 그리고 $K$의 관계식은 아래와 같다.
$$ \therefore \frac{3}{E} = \frac{1}{G} + \frac{1}{3K} $$
9. 포아송 비의 범위
$E,\ G$, 그리고 $K$는 모두 재료의 물성(properties)으로써 모두 양의 값을 갖는다
$$ E,\ G,\ K \geq 0 $$
위 조건으로 부터 아래와 같이 포아송 비의 범위가 정해진다.
\begin{align} G = \frac{E}{2(1+\nu)} \geq 0 & \quad \Rightarrow \quad (1+\nu) \geq 0 &\Rightarrow &\therefore \nu \geq -1 \\\\ K = \frac{E}{3(1-2\nu)} \geq 0 & \quad \Rightarrow \quad (1-2\nu) \geq 0 &\Rightarrow &\therefore \nu \leq \frac{1}{2} \end{align}
따라서 포아송 비의 이론적 범위는 아래와 같다.
$$ -1 \leq \nu \leq \frac{1}{2} $$
기계 재료로 많이 쓰이는 금속재는 아래의 범위를 갖는다.
$$ 0 \leq \nu \leq \frac{1}{2} $$
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