열응력 (Thermal Stress)

목차

• 1. 열팽창 (Thermal Expansion)
• 2. 열팽창 계수 (Coefficient of Thermal Expansion)
• 3. 열응력 (Thermal Stress)
• 4. 온도조절기 (Thermostat)

1. 열팽창 (Thermal Expansion)

 일반적인 기계 재료는 온도가 올라가면 길이가 늘어나고 온도가 내려가면 길이가 줄어든다. 물론 반대로 온도가 올라가면 수축하는 놈들도 있다. 예를 들어 복합재에 쓰이는 탄소 섬유(carbon fiber)는 아주 적은 양이지만 온도가 올라갈 때 주름이 생기면서 수축한다.

 

 설계자는 구조물이 실제로 사용될 온도를 예상하고 그 온도 이내에서 발생할 열팽창을 고려해야 한다. 예를 들어 광학 기계는 사용 온도 구간 이내에서 길이가 늘어나는 양을 관리해야 할 수 있다. 렌즈 사이의 거리가 너무 멀어지면 초점이 나가거나 수차가 발생하기 때문이다. 기계 연결부로 많이 쓰이는 나사의 경우 온도가 너무 올라가면 나사가 늘어나 체결력이 소실되거나 파손될 수 있다.

 

2. 열팽창 계수 (Coefficient of Thermal Expansion)

 이렇게 재료가 온도에 따라 늘어나고 수축하는 정도를 열팽창 계수(CTE, coefficient of thermal expansion)로 나타낸다. 열팽창 계수는 절대 온도가 1도 상승할 때 길이의 변화율로 정의한다. 길이의 변화율은 다른 말로 변형률이므로 단위는 무차원이다. 따라서 열팽창 계수의 단위는 $/K$이 되지만 길이의 변화율을 나타내기 위해 $\text{m}/\text{m}/K$ 또는 $\mu\text{m}/\text{m}/K$으로 나타내기도 한다.

 

 그림 1과 같이 온도가 변함에 따라 길이가 변했을 때 열팽창 계수는 아래와 같다.

$$\alpha =\lim_{dx\rightarrow 0}\frac{dx'-dx}{dx\Delta T} = \frac{\epsilon}{\Delta T}$$

 

그림 1. 열팽창

 

 따라서 온도의 변화를 알 때 팽창한 길이는 다음과 같이 계산된다.

$$d\delta_T = dx' - dx = \alpha\Delta T dx$$

 

 열에 의한 총변형(total deformation)은 다음과 같다.

$$\int_0^{L} d\delta_T = \int_0^L \alpha\Delta Tdx$$

 

 전체 길이에 대해 열팽창 계수가 동일하고 온도 구배가 없다면 위 적분은 다음과 같이 간단하게 계산된다.

$$\delta_T = \alpha\Delta T L$$

 

 열변형률(thermal strain)은 다음과 같다.

$$\epsilon_T = \frac{\delta_T}{L} = \alpha\Delta T$$

 

3. 열응력 (Thermal Stress)

 온도에 따라 팽창과 수축을 하는 구조물은 지지 조건(support condition)을 주의해야 한다. 어떤 막대기가 아무런 제약 없이 공중에 떠 있을 경우를 생각해보자. 이때는 온도가 변해도 모든 방향으로 수축과 팽창을 할 수 있기 때문에 비록 변형은 있더라도 응력은 발생하지 않는다. 구속이 없으면 온도가 100도가 변해도 stress free 상태인 것이다. 왜냐하면 이때는 기준 길이 자체가 2m로 바뀐 것이기 때문에 응력은 발생하지 않는다.

 

 하지만 구속이 있다면 어떨까? 1m 짜리 막대가 팽창하지 못하도록 양 끝단을 단단히 고정하고 열팽창 계수를 고려해 길이가 2m가 되도록 온도를 올려 보자. 막대기의 양단이 고정되어 있으므로 전혀 팽창하지 못하고 1m 길이를 유지할 것이다.

 

그림 2. 구속된 재료의 열팽창

 

 그림 2와 같은 경우는 변형이 없기 때문에 응력이 발생하지 않을까? 아니다. 이때는 기준 길이가 2m로 바뀐 것으로 2m짜리 막대가 1m로 수축한 것과 같다. 이 막대를 수축시킨 범인은 반력이다. 즉 하중이 작용해 2m짜리 막대를 1m로 줄여 놓은 것이다.

 

그림 3. 원래 늘어났어야 할 길이를 반력이 줄여 놓은 것이다.

 

 즉 열 그 자체가 응력을 유발하는 것이 아니라 변형을 억제하는 구속이 응력을 유발하는 것이다. 어쨌거나 이것을 열응력이라고 한다. 그러므로 아래 식은 모든 열팽창이 구속되었을 때만 유효한 것임을 유의해야 한다. 길이가 늘어나면 구속된 부재는 압축 상태가 되므로 부호는 반전한다. 양의 부호로 쓰는 경우들이 있는데 바람직하지 않아 보인다.

$$\sigma_T = -E\epsilon_T = -E\alpha\Delta T$$

 

 열응력이 진짜로 팽창 방향과 반대로 나타나는지 직접 구해보자. 그림 2의 예제를 생각해보면 총변형 $\Delta$는 다음과 같이 하중에 의한 변형 $\delta$와 열에 의한 변형 $\delta_T$의 합으로 나타낼 수 있다.

$$\Delta = \delta + \delta_T$$

 

  단면적이 $A$라고 할 때 하중에 의한 변형을 구하기 위해 변형률을 생각해 보면,

$$\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{F}{EA}$$

 

 이것은 변형률의 정의에 따라 아래 식과 같다.

$$\epsilon = \frac{\delta}{L}$$

$$\therefore \ \delta = \frac{FL}{EA}$$

 

 열변형은 재료의 열팽창 계수와 변화된 온도 $\Delta T$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\delta_T = \alpha\Delta TL$$

 

 양단이 구속 되어 있으므로 총 변형 $\Delta = 0$이 된다. 이것을 적합조건(compatibility)이라고 한다.

$$\Delta = \frac{FL}{EA} + \alpha\Delta TL = 0$$

 

 따라서 정리하면,

$$F = -EA\alpha\Delta T$$

 

 단면적 $A$를 이항하면 열에 의한 응력은 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\sigma_T =  \frac{F}{A} = -E\alpha\Delta T$$

 

4. 온도조절기 (Thermostat)

 온도조절기는 열팽창을 이용하는 대표적인 예라고 할 수 있다. 온도조절기의 기본 원리는 아래처럼 온도에 따라 늘어나는 막대의 끝을 회로와 살짝 띄워 놓고 스위치로 사용하는 것이다. 온도가 늘어나면 막대가 늘어나 회로를 연결하고 이때 히터 동작을 멈추도록 한다. 다시 온도가 내려가면 막대는 수축해 회로를 열게 되고 이때 다시 히터를 동작시키면 원하는 온도를 유지하도록 on/off 제어를 할 수 있다.

 

그림 4. 온도조절기의 원리

 

 열응력은 아래와 같이 구할 수 있다.

$$\begin{align} \Delta &= \delta + \delta_T = e \\\\ \Delta &= \frac{FL}{EA} + \alpha\Delta TL_0 = e \end{align}$$

 

 따라서 재료가 받는 하중은 다음과 같다.

$$F = \frac{EA}{L}(e-\alpha\Delta TL_0)$$

 

 열응력은 다음과 같이 나타난다. 역시 열응력은 변형이 억제된 길이$(e-\delta_T)$ 만큼만 나타난다는 것을 알 수 있다.

$$\sigma_T = \frac{F}{L}(e-\alpha\Delta TL_0)$$