변형률 에너지 (Strain Energy)

목차

• 1. 외력이 한 일 (External Work)
• 2. 변형률 에너지 밀도 (Strain Energy Density)
• 3. 총 변형률 에너지 (Total Strain Energy)
• 4. 탄력 계수 (Modulus of Resilience)
• 5. 인성 계수 (Modulus of Toughness)

1. 외력이 한 일 (External Work)

 재료에 외력이 가해질 때 변형이 발생하고 이때 재료 내부에 축적된 탄성 에너지를 변형률 에너지라고 한다. 어떤 막대기에 하중 $P$가 작용해 길이를 $dx$만큼 늘렸을 때 외력 $P$가 한 일은 다음과 같다.

$$dW = Pdx$$

 

 길이가 $x$만큼 늘어난다면 외력 $P$가 한 일의 총량은 다음과 같다.

$$W = \int dW = \int_0^x Pdx$$

 

 후크의 법칙을 적용할 수 있는 선형 탄성 재료(linear elastic material 또는 Hookean material)는 에너지 보존 법칙에 따라 재료의 내부에 외력이 한 일을 퍼텐셜 에너지(potential energy)로 보존한다.

$$U = W = \int_0^x Pdx = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}Px$$

 

그림 1. 외력이 한 일

 

2. 변형률 에너지 밀도 (Strain Energy Density)

 변형률 에너지 밀도는 단위 체당 변형률 에너지를 말한다. 위에서 구한 총에너지를 전체 체적으로 나누면 아래와 같다.

$$\begin{align} u_0 &= \frac{U}{V} \\\\ &= \int_0^x \frac{P}{A} \frac{dx}{L} \\\\ &= \int_0^{\epsilon} \sigma d\epsilon \end{align}$$

 

 변형률 에너지 밀도 $u_0$는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$$\begin{align} u_0 &= \int_0^\epsilon \sigma d\epsilon \\\\ &= \int_0^\epsilon E\epsilon d\epsilon \\\\ &= \frac{1}{2}E\epsilon^2 &= \frac{1}{2}\sigma\epsilon \end{align}$$

 

그림 3. 변형률 에너지 밀도

 

3. 총 변형률 에너지 (Total Strain Energy)

 총 변형률 에너지는 변형률 에너지 밀도를 체적에 대해 적분한 것과 같다. 

$$\begin{align} U = \int_V u_0 dV \\\\ &= \int_V \frac{1}{2}\sigma\epsilon dV \end{align}$$

 

4. 탄력 계수 (Modulus of Resilience)

 재료에 영구 변형이 생기지 않을 때까지 흡수할 수 있는 변형률 에너지를 탄력 계수라고 한다. 그냥 레질리언스 계수라고도 부른다. 응력-변형률 선도에서 비례 한계점까지 적분한 것과 같다.

$$u_r = \frac{1}{2}\sigma_{\text{PL}}\epsilon_{\text{PL}} = \frac{\sigma_{\text{PL}}^2}{2E}$$

 

그림 3. 탄력 계수

5. 인성 계수 (Modulus of Toughness)

 파단이 될 때까지 재료가 흡수할 수 있는 변형률 에너지를 인성 계수 또는 인성이라고 한다. 따라서 응력-변형률 선도의 전체 면적이 인성이 된다.

$$u_t = \int_0^{\epsilon_B} \sigma d\epsilon$$

 

그림 4. 인성 계수

 

 인성(toughness)과 파괴 인성(fracture toughness)을 혼동할 수 있다. 인성은 파단까지 재료가 흡수할 수 있는 총에너지를 말한다. 반면 파괴 인성은 균열이 급격하게 진전할 때의 응력 확대 계수(stress intensity factor) $K_{Ic}$를 말하는 것이다. 사람들이 혼용해서 쓰는 경우가 종종 있지만 둘은 엄연히 다른 것이다. 파괴 인성은 취성 재료의 파괴를 다루는 선형 탄성 파괴 역학(LEFM, Linear Elastic Fracture Mechanics)을 통해 공부할 수 있다.