1. 최적 설계
최적 설계는 상호 교환 관계(trade-off)가 있는 설계 인자를 조절하여 원하는 목표를 달성할 수 있는 최적의 설계치를 찾는 것을 말한다.
사실 여러분은 이미 최적 설계를 공부해본 경험이 있다. 고등학교 때 부등식의 영역을 배우면서 알게 모르게 한번 씩 접했지만 그게 최적 설계인 줄 모르고 지나갔던 것이다. 아래 그림 1처럼 그래프를 이용해 풀었던 최대 최소 문제들이 사실은 최적 설계 문제였다. 심심할 때 한 번 찾아보자.
2. 트러스 구조물의 최적 설계
아래 그림 2와 같은 트러스 구조물에서 최소 중량 설계(minimum weight design)를 하고자 한다. 부재 1과 2는 각각 단면적 $A_1$과 $A_2$를 갖는 중실축이다.
2.1. 문제의 정의
최적 설계 문제는 문제를 잘 설정하는 것이 가장 중요하다. 먼저 목표(objective)를 정해야 한다. 주로 최소화하고자 하는 값을 정한다. 그리고 목표를 달성기 위해 반드시 만족해야 하는 제약 조건(constraints)을 설정한다. 최적 설계를 공부하게 되면 좀 더 자세하게 하겠지만 오늘은 간단하게 1 변수 함수의 최적화를 해본다.
- 목표: 부재 1과 부재 2의 총무게가 최소 중량이 되는 $\theta$를 구한다.
- 조건: 응력의 절대치가 허용 응력과 같아야 한다. $|\sigma_1| = |\sigma_2| = \sigma_{\text{all}}$
2.2. 구조 해석
먼저 반력을 결정하기 위해 평형 방정식을 푼다. 하지만 C 점 주위에서 분할하면 알고 있는 하중 P를 이용해 바로 내력을 구할 수 있다. 구조물이 모두 축부재로 이루어져 있기 때문에 내력을 알면 A 점과 B 점에서 분할하여 곧바로 반력을 구할 수 있다. 하지만 반력은 사실 별로 필요가 없으니 이번에는 그냥 넘어간다. 예전 글에서 했던 것이니 찾아보셔도 됩니다.
C 점에서 내력의 평형 방정식을 구한다.
\begin{align} \sum{F_x} &= -F_2\cos{\theta} - F_1 = 0 \\\\ \sum{F_y} &= F_2\sin{\theta} - P = 0 \end{align}
내력은 아래와 같이 결정된다.
\begin{align} F_1 &= -\frac{P}{\sin{\theta}}:\quad \text{compression} \\\\ F_2 &= \frac{P}{\sin{\theta}}:\quad \text{tension} \end{align}
응력은 아래와 같이 결정된다.
\begin{align} \sigma_1 &= \frac{F_1}{A_1} = -\frac{P}{A_1\tan{\theta}} \\\\ \sigma_2 &= \frac{F_2}{A_2} = \frac{P}{A_2\sin{\theta}} \end{align}
2.3. 최소 중량 설계
부재 1과 2의 재료가 같으면 무게는 아래와 같이 쓸 수 있다.
\begin{align} w_1 &= \rho A_1L_1 \\\\ w_2 &= \rho A_2L_2 = \rho A_2\frac{L}{\cos{\theta}} \end{align}
제약 조건을 이용해 단면적을 결정한다.
$$ |\sigma_1| = \sigma_2 = \sigma_{\text{all}} $$
\begin{align} |\sigma_1| &= \sigma_{\text{all}} = \frac{P}{A_1\tan{\theta}} \Rightarrow A_1=\frac{P}{ \sigma_{\text{all}}\tan{\theta} } \\\\ \sigma_2 &= \sigma_{\text{all}} = \frac{P}{A_2\sin{\theta}} \Rightarrow A_2=\frac{P}{ \sigma_{\text{all}}\sin{\theta} } \end{align}
총중량은 부재 1과 2의 무게를 더한 것이다. 결정된 단면적을 이용해서 아래처럼 구할 수 있다.
$$ w = w_1 + w_2 = \frac{\rho PL_1}{\sigma_{\text{all}}} \left(\frac{1}{\tan{\theta}} + \frac{1}{\sin{\theta}\cos{theta}}\right) $$
따라서 총중량은 아래와 같다.
$$ w = \frac{\rho PL_1}{\sigma_{\text{all}}}\left(\frac{\sin^2{\theta} + 1}{\sin{\theta}\cos{\theta}}\right) $$
삼각함수의 합차 공식을 이용하면,
$$ w = \frac{\rho PL_1}{\sigma_{\text{all}}} \left(\frac{1+\frac{1}{2}(1-\cos{2\theta})}{\frac{1}{2}\sin{2\theta}} \right) = \frac{\rho PL_1}{\sigma_{\text{all}}} \left(\frac{3-\cos{2\theta}}{\sin{2\theta}}\right) $$
최소가 되는 조건은 중량 $w$를 $\theta$에 대해 미분하여 0이 되는 극소점이 된다.
$$ \frac{dw}{d\theta} = \frac{2-6\cos{2\theta}}{\sin^2{2\theta}} = 0 $$
위 식에서 분모는 $\sin^2{2\theta} \geqq 0$이므로 분자가 0이 되어야 한다. 따라서 이 트러스 구조물은 다음 조건에서 강도를 만족함과 동시에 최소 중량을 갖게 된다.
$$ 2-6\cos{2\theta} = 0 \\\\ cos{2\theta} = \frac{1}{3} \\\\ \therefore \theta = 35.26^\circ $$
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