부재 내부에 발생하는 응력은 이제 너무나도 쉽게 구할 수 있게 되었다. 우리는 항상 부재를 수직으로만 잘라보았는데 경사지게 자르면 어떻게 될까? 그림 1의 외팔보에 경사 $\theta$가 되도록 분할을 해서 경사면에 작용하는 응력을 구해보자.
먼저 이 외팔보에 작용하는 외력의 평형을 살펴보자
\begin{align} \sum{F_x} &= A_x + P = 0 \\\\ \sum{F_y} &= A_y = 0 \\\\ \sum{M_z|_A} &= M_A = 0 \end{align}
반력은 $A_x = -P$ 뿐이다.
경사면에 작용하는 내력을 그려본다.
경사면의 중앙을 $O'$이라고 하고 내력의 평형 방정식을 세워 보자.
\begin{align} \sum{F_{x'}} &= F + A_x\sin{\theta} = 0 \\\\ \sum{F_{y'}} &= V - A_x\cos{\theta} = 0 \\\\ \sum{M_z|_{O'}} & = M = 0 \end{align}
내력은 다음과 같이 계산 된다.
\begin{align} F & = P\sin{\theta} \\\\ V &= -P\cos{\theta} \end{align}
경사면의 응력을 구하기 위해 경사면의 면적을 구해보자. 아래 그림 3처럼 경사면을 그려서 경사면의 면적을 간단한 삼각함수를 이용해 구할 수 있다.
$$ A' = \frac{A}{\sin{\theta}} $$
따라서 경사면에 발생하는 응력은 다음과 같다.
\begin{align} \sigma_{x'} &= \frac{F}{A'} = \frac{P\sin{\theta}}{A/\sin{\theta}} = \frac{P}{A}\sin^2{\theta} \\\\ \tau_{x'y'} &= \frac{V}{A'} = -\frac{P\cos{\theta}}{A/\sin{\theta}} = -\frac{P}{A}\sin{\theta}{\cos{\theta}} = -\sigma_x\sin{\theta}{\cos{\theta}} = -\frac{1}{2}\sigma_x\sin{2\theta} \end{align}
각도 $\theta$에 따라 경사면에 작용하는 응력이 어떻게 달라지는 살펴보자. 위 식의 양변을 $\sigma_x$로 나누어 그래프로 그려 그림 4에 나타냈다.
그림 4를 보면 수직 응력은 각도가 90도에서 되었을 때 최대 값을 갖는 것을 알 수 있다. 하중이 작용하는 방향과 일치할 때 최대가 된다. 전단 응력은 각도가 45도, 135도가 되었을 때 최대가 된다. 전단 응력은 90도 차이가 있을 때 방향만 다를 뿐 같은 값을 갖는 공액 전단 응력이라는 점을 생각해보면 이해가 쉽다. 미분을 이용해 극대 극소를 구해보면 최대 최소가 되는 각도를 직접 구할 수도 있다.
따라서 최대 응력은 다음과 같이 결정 되었다.
\begin{align} \sigma_{\text{max}} &= \sigma_{x'}|_{\theta=90^\circ} = \sigma_x \\\\ \tau_{\text{max}} &= \tau_{x'y'}|_{\theta=45^\circ} = -\frac{1}{2}\sigma_x \end{align}
부재를 축방향으로 당겼을 때 최대 수직 응력은 절단면이 축과 90도일 때 나타난다. 반면 최대 전단 응력은 45도 또는 135도 기울어진 면에서 나타난다. 하지만 실제 응력 상태는 변한 것이 없다. 응력 상태는 한 가지이고 시점을 달리했을 뿐이다. 즉 좌표계만 변환해서 어느 쪽에서 바라보느냐에 따라 응력 상태를 다르게 표현할 수 있는 것이다. 다시 말해 시점에 따라 하나의 내력 성분이 수직 응력으로 분배될 수도 있고 전단 응력으로 분배될 수도 있다.
설계를 할 때 다양한 재료를 이용하게 되는데 이 재료의 특성을 잘 알아야 한다. 예를 들면 분필이나 유리, 또는 주철(cast iron)과 같은 취성 재료(brittle material)는 90도 방향 수직 응력에 의해 파단(rupture)이 일어나고 알루미늄, 연강(mild steel)과 같은 연성 재료(ductile material)는 45도, 135도 방향 최대 전단 응력에 의해 파단된다. 따라서 재료의 특성을 잘 파악해야 하고 특히 그 재료가 파손되는 기준에 대해서 알고 있어야 적절한 강도 설계의 기준을 선정할 수 있다.
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