1. 미소 체적의 응력 상태
외력을 받는 부재의 아주 작은 부분을 핀셋으로 뜯어서 이 미소 체적(infinitesimal volume)의 응력 상태를 생각해 보자. 이 미소 체적의 $x$ 방향 응력 상태는 아래와 같이 표시할 수 있다. 미분 표현식이 있는데 별거 아니다. $x$방향을 예를 들어 설명해 보자면 아주 작은 거리에서 응력의 구배(gradient)가 직선의 방정식 $y=ax$을 따른다고 생각하고 기울기 $a$가 거리에 대한 응력의 변화 $d\sigma_x / dx$이고, 위치 $x$에 $0$ 또는 $dx$를 넣은 것이라고 생각하면 된다. 응력 구배를 선형으로 생각하는 것이다. 나머지 $y, z$ 방향도 마찬가지로 나타낼 수 있다.
아래 그림에서 $f_x$는 $x$방향으로 작용하는 단위 체적당 체력이다. 체력은 접촉하지 않고 원거리에서 작용하는 힘이다.
2. 응력 성분 사이의 관계식 (힘의 평형)
이 미소 체적에 발생하는 힘의 평형 방정식을 만들면 아래와 같다.
\begin{align} \sum{F_x} = &-\sigma_x(dydz) + \left(\sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x}dx\right)(dydz) \\\\ &-\tau_{yx}(dxdz) +\left(\tau_{yx} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}dy\right)(dxdz) \\\\ &-\tau_{zx}(dxdy) + \left(\tau_{zx} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}dz\right)(dxdy) \\\\ &+ f_x(dxdydz)= 0 \\\\
\sum{F_y} = &-\sigma_y(dxdz) + \left(\sigma_y + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y}dy\right)(dxdz) \\\\ &-\tau_{xy}(dydz) +\left(\tau_{xy} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}dx\right)(dydz) \\\\ &-\tau_{zy}(dxdy) + \left(\tau_{zx} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial x}dz\right)(dxdy) \\\\ &+ f_y(dxdydz)= 0 \\\\
\sum{F_z} = &-\sigma_z(dxdy) + \left(\sigma_z + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z}dz\right)(dxdy) \\\\ &-\tau_{xz}(dydz) +\left(\tau_{xz} + \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}dx\right)(dydz) \\\\ &-\tau_{yz}(dxdz) + \left(\tau_{yz} + \frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y}dy\right)(dxdz) \\\\ &+ f_z(dxdydz)= 0 \end{align}
위 식에서 $x$ 방향을 정리해보면 아래와 같다. 여기에서 $dxdydz=dV$가 되어 미소 체적이 되고 이 미소 체적은 0이 아니므로 $dV \neq 0$, 따라서 아래식의 괄호 속의 식이 $0$이 되어야 방정식을 만족하게 된다. 이것이 $x$방향 응력 성분들 사이의 관계식이다.
$$ \left(\frac{\partial\sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} + f_x\right)dxdydz = 0 $$
나머지 방향에 대해서도 정리하면 아래처럼 아름답게 정리할 수 있다.
\begin{align} &\sum{F_x} = 0;\quad \frac{\partial\sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} + f_x = 0 \\\\ &\sum{F_x} = 0;\quad \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z} + f_y = 0 \\\\ &\sum{F_z} = 0;\quad \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial\sigma_z}{\partial z} + f_z = 0 \end{align}
3. 공액 전단 응력 (모멘트의 평형)
위 그림 1의 미소 체적에서 원점에 대한 모멘트 평형을 생각해보자. 수직 응력은 (+) 평면과 (-) 평면에서 서로 반대방향으로 작용하고 원점까지의 모멘트 팔(moment arm)이 같기 때문에 모멘트가 서로 상쇄되어 사라진다. 각 방향 모멘트 평형은 전단 응력에 의한 모멘트만 남게 되므로 평면을 위에서 바라보면 쉽게 구할 수 있다.
\begin{align} \sum{M_x|_O} &= \left[\left(\tau_{yz} + \frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y}dy\right)dxdz\right](dy) - \left[\left(\tau_{zy} + \frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z}dz\right)dxdy\right](dz) = 0 \\\\
\sum{M_y|_O} &= \left[\left(\tau_{zx} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}dz\right)dxdy\right](dz) - \left[\left(\tau_{xz} + \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}dx\right)dydz\right](dx) = 0 \\\\
\sum{M_z|_O} &= \left[\left(\tau_{yx} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}dy\right)dxdz\right](dy) - \left[\left(\tau_{xy} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}dx\right)dydz\right](dx) = 0\end{align}
위 식을 전개해서 정리하면 아래와 같다.
\begin{align} \sum{M_x|_O} &= (\tau_{yz} - \tau_{zy})(dxdydz) + \frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y}dy(dxdydz) - \frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z}dz(dxdydz) = 0 \\\\
\sum{M_y|_O} &= (\tau_{zx} - \tau_{xz})(dxdydz) + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}dz(dxdydz) - \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}dx(dxdydz) = 0 \\\\
\sum{M_z|_O} &= (\tau_{yx} - \tau_{xy})(dxdydz) + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}dy(dxdydz) - \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}dx(dxdydz) = 0 \end{align}
위 식에서 $dxdydz = dV$로 미소 체적이 된다. 각 식에서 두 번째와 세 번째 항은 미소 체적에 미소길이가 한번 더 곱해져 있는데 아주 작은 크기의 숫자를 곱한 것이므로 첫 번째 항에 비해 크기가 아주 작게 되어 거의 0에 가깝다고 볼 수 있다. 따라서 이런 아주 작은 항들을 무시하면 아래처럼 식을 단순하게 다시 쓸 수 있다.
\begin{align} \sum{M_x|_O} &= (\tau_{yz} - \tau_{zy})dxdydz = 0 \\\\
\sum{M_y|_O} &= (\tau_{zx} - \tau_{xz})dxdydz = 0 \\\\
\sum{M_z|_O} &= (\tau_{yx} - \tau_{xy})dxdydz = 0 \end{align}
다시 위 식에서 미소 체적 $dxdydz \neq 0$이므로 괄호 안의 식이 0이 되어야 방정식을 만족하게 된다.
\begin{align} \tau_{yz} - \tau_{zy} = 0 \\\\
\tau_{zx} - \tau_{xz} = 0 \\\\
\tau_{yx} - \tau_{xy} = 0 \end{align}
따라서 아래와 같이 전단 응력은 쌍으로 작용하며 두 성분은 같다는 것을 알 수 있다. 이것을 공액 전단 응력이라고 한다. 따라서 어떤 전단 응력 성분이 존재한다면 대칭되는 공액 전단 응력 성분이 반드시 쌍으로 존재하고 그 크기는 같다.
\begin{align} \tau_{yz} = \tau_{zy} \\\\
\tau_{zx} = \tau_{xz} \\\\
\tau_{yx} = \tau_{xy} \end{align}
응력 성분은 대칭이므로 수직 응력 성분 세 개와 전단 응력 성분 여섯 개중 세 개만 알면 된다.
$$ \begin{bmatrix} \sigma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \cdot & \sigma_{y} & \tau_{yz} \\ \cdot & \cdot & \sigma_{z} \end{bmatrix} $$
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