응력 (Stress)

1. 응력(Stress)

내력은 외력에 저항하는 부재 내부의 저항력이다. 응력(stress)도 비슷한 개념이지만 조금 다르다. 예를 들어 두 부재에 같은 크기의 내력이 발생했다고 하더라도 한 부재가 단면적이 두 배 더 크다면 더욱 안전할 것이다. 이런 경우에는 내력보다는 내력의 밀도에 해당하는 값이 더욱 유용할 텐데 그 개념이 바로 응력이다. 응력은 외력에 대항하는 저항력의 세기(intensity)라고 할 수 있다. 아쉽게도 순우리 말로 하면 모호하고 한자어나 영어로 쓰면 명확해진다.

Internal force intensity per unit area
단위 면적당 내력

응력의 종류에는 수직 응력(normal stress)과 전단 응력(shear stress)이 있다.

수직 응력(normal stress): 면에 수직($\sigma$)하고 길이, 면적, 체적을 변화 시킨다.
전단 응력(shear stress): 면에 평행($\tau$)하고 형상(각도)을 변화 시킨다.

2. 수직 응력(Normal Stress)

분할법으로 외력을 받고 있는 부재를 절단했을 때 내부에 발생하는 수직 방향 저항력을 나타냈다. 내부에 발생하는 수직력은 $F$이지만 작은 영역 $\Delta A$에 작용하는 수직력은 $\Delta F$로 국한된다.

2.1. 수직 응력의 정의

수직 응력은 아주 작은 면적에 작용하는 수직력이다.

$$ \sigma = \lim_{\Delta A\rightarrow 0} \frac{\Delta F}{\Delta A} $$

2.2. 기본 단위

응력의 단위는 $\text{Pa}$을 쓰고 파스칼(Pascal)이라고 읽는다. $Pa$는 단위 면적당 힘을 의미하는 것이다.

$$ 1 \text{Pa} = 1 \text{N/m}^2 $$

응력의 크기가 백만 단위로 나오기 때문에 실제로는 아래와 같이 접두어를 사용하고 주로 $\text{MPa}$을 많이 이용한다.

\begin{align} \text{kPa} = 10^3\ \text{Pa} \quad &\text{mPa} = 10^{-3}\ \text{Pa} \\\\ \text{MPa} = 10^6\ \text{Pa} \quad &\mu\text{Pa} = 10^{-6} \text{Pa} \\\\ \text{GPa} = 10^9\ \text{Pa} \quad &\text{nPa} = 10^{-9}\ \text{Pa} \end{align}

2.3. 수직 응력의 종류

수직 응력은 잡아당기는 방향의 인장 응력(tensile stress)과 누르는 방향의 압축 응력(compressive stress)이 있다. 수직 응력의 방향은 내력 중 수직력의 방향과 동일하다.

인장 응력(tensile stress): (+) sign
압축 응력(compressive stress): (-) sign

2.4. 평균 수직 응력

평균 응력은(average or mean stress)는 단면에 작용하는 응력의 평균값이다. 응력에 정의에 의해서 아래처럼 미분식을 얻을 수 있다.

$$ \sigma = \lim_{\Delta A\rightarrow 0} \frac{\Delta F}{\Delta A} = \frac{dF}{dA}$$

따라서,

$$ dF = \sigma dA $$

이 식을 단면적 $A$에 대해서 적분하면,

$$ \int_A dF = \int_A \sigma dA $$

$$ \therefore F = \int_A \sigma dA $$

이때 우변은 적분 결과는 내력이 되고 평균 응력이 골고루 작용할 때와 같다.

$$ \int_A {\sigma} dA = \int_A \sigma_{\text{avg}} dA = \sigma_{\text{avg}}\int_A dA = \sigma_{\text{avg}}A $$

$$ \therefore \sigma_{\text{avg}} = \frac{F}{A} $$

보통 부재 내부에 발생하는 응력은 위치에 따라 차이가 있지만 길이가 단면 폭에 비해서 긴 부재들은 편의상 모든 위치에서 같은 크기의 평균 응력이 작용한다고 가정한다. 따라서 응력은 아래와 같이 계산한다.

$$ \sigma = \frac{F}{A} $$

2.5. 간단한 예제

다음과 같은 계단식 구조물(stepped bar)에서 부재에 작용하는 응력을 구해보자. 계단식 바는 두 개의 부재로 이루어져 있고 왼쪽 편에 고정 지지되어 있다. 1번 부재에 $P_1$이, 2번 부재에는 $P_2$ 하중이 작용하고 있다. 각 부재의 단면적은 $A_1, A_2$이다.

먼저 구조물에 작용하는 반력을 가정한다. bar로 이루어진 구조물이므로 반력은 축방향으로만 가정하면 된다.

평형 방정식을 세운다.

$$ \sum{F_x} = R - P_1 + P_2 = 0 $$

따라서 반력은 다음과 같다.

$$ R = P_1 - P_2 $$

다음으로 내력을 구한다.

내력의 평형 방정식은 아래와 같다.

\begin{align} R + F_1 &= 0 \\\\ -F_2 + P_2 &= 0 \end{align}

따라서 내력은 다음과 같다.

\begin{align} F_1 &= -R = P_2 - P_1 \\\\ F_2 &= P_2 \end{align}

각 부재의 응력은 다음과 같다.

\begin{align} \sigma_I &= \frac{F_1}{A_1} = \frac{P_2-P_1}{A_1} \\\\ \sigma_{II} &= \frac{F_2}{A_2} = \frac{P_2}{A_2} \end{align}

3. 전단 응력 (Shear Stress)

외력을 받고 있는 부재를 절단했을 때 면과 나란한 방향의 저항력을 그림 1에 나타냈다. 내부에 발생하는 전단력은 $V$이지만 작은 영역 $\Delta A$에 작용하는 전단력은 $\Delta\ V$로 국한된다.

3.1. 전단 응력의 정의

전단력(shear force)은 면에 나란하게 작용하는 내력이다. 전단 응력은 아주 작은 면적에 작용하는 전단력이다.

$$ \tau = \lim_{\Delta A\rightarrow 0} \frac{\Delta V}{\Delta A} $$

3.2. 기본 단위

전단 응력의 기본 단위도 수직 응력과 같은 $\text{Pa}$을 쓰고 주로 $\text{MPa}$을 쓴다.

3.3. 평균 전단 응력

평균 수직 응력과 마찬가지 개념이다.

$$ \tau = \lim_{\Delta A\rightarrow 0} \frac{\Delta V}{\Delta A} = \frac{dV}{dA}$$

따라서,

$$ dV = \tau dA $$

이 식을 단면적 $A$에 대해서 적분하면,

$$ \int_A dV = \int_A \tau dA $$

$$ \therefore V = \int_A \tau dA $$

이때 우변은 적분 결과는 전단력이 되고 평균 전단 응력이 골고루 작용할 때와 같다.

$$ \int_A {\tau} dA = \int_A \tau_{\text{avg}} dA = \tau_{\text{avg}}\int_A dA = \tau_{\text{avg}}A $$

$$ \therefore \tau_{\text{avg}} = \frac{V}{A} $$

$$ \tau = \frac{V}{A} $$

3.4. Single Shear and Double Shear

3.4.1. Single Shear (단일 전단)

단일 전단은 전단면이 한개인 구조를 말한다.

이 구조에서 지름이 $d$인 리벳에 작용하는 전단 응력을 구해보자. 여기에서 리벳으로 접합한 판재는 아주 얇아서 모멘트는 없다고 가정한다. (모멘트 팔 길이 $r \approx 0 \rightarrow M \approx 0$)

전단력 $V = P$이고 전단 응력은 아래와 같다.

$$ \tau = \frac{P}{A} = \frac{P}{\frac{\pi}{4}d^2} = \frac{4P}{\pi d^2} $$

3.4.2. Double Shear (이중 전단)

이중 전단은 전단면이 두 개인 구조를 말한다.

이중 전단 구조에서 리벳에 작용하는 전단력은 아래와 같다.

전단력 $V=P/2$가 되고 전단 응력은 아래와 같다.

$$ \tau = \frac{\frac{P}{2}}{A} = \frac{2P}{\pi d^2} $$

따라서 이중 전단에서 리벳에 작용하는 전단 응력은 단일 전단의 절반이 된다. 하중 $P$를 두배의 면적 $2A$가 분담한다는 점에서 직관적으로도 이해할 수 있는 결과이다. 접합하는 판재가 두꺼운 경우에는 접합부에 모멘트가 생겨 휨이 발생한다. 전단 시험 시편을 만들 때 단일 전단보다 이중 전단을 사용하면 모멘트에 의한 휨을 방지해 더욱 올바른 전단 시험 결과를 준다.

4. 지압 응력 (Bearing Stress)

4.1. 지압 응력의 정의

지압 응력은 두 물체가 접촉하여 서로 지지하고 있을 때 접촉면에 발생하는 단위 면적당 평균 지지력이다. 아래 그림 8에서 지지 면적(bearing area)은 $A=ab$가 된다. 이때 지압 응력은 아래와 같다.

$$ \sigma_b = \frac{P}{A_b} = \frac{P}{ab} $$

지압 응력은 압축 응력(compressive stress)이다.

4.2. Pin 연결부의 지압 응력

두께 $t$인 판재에 직경 $d$인 리벳 접합을 한 경우 지압면을 아래 그림 9에 표시했다.

리벳의 단면을 보면 지압면은 아래와 같다고 할 수 있다.

단면에 작용하는 화살표는 지압력(bearing force)이다. 이때 지압 면적은 이 bearing force의 투영 면적(projection area)이 된다. 화살표를 잘 보면 세로 방향은 상쇄되어 없어지고 투영 방향만 남는 것을 쉽게 알 수 있다.

$$ A_b = dt $$

따라서 지압 응력은 아래와 같다.

$$ \sigma_b = \frac{P}{A_b} = \frac{P}{dt} $$

추후에 나사 체결류의 강도 분석을 할 때 지압 응력을 고려할 필요가 있다. 체결부를 bearing joint로 설계한다면 나사는 전단 응력(shear stress)에 의해 파손되는 경우를 고려하고 피체결부는 지압 응력(bearing stress)에 의한 파손을 고려해야 한다. 지압 응력에 의한 파손된다면 체결된 판재가 뭉개지거나 구멍의 뒷부분이 찢겨 나가게 된다. MIL 규격 등에서는 판재의 두께와 구멍(hole)의 크기에 따라 설계에 적용하는 최소 살 두께 $e$를 규정하고 있다.

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