1. 외력의 평형
고체역학은 물체에 작용하는 외력이 평형 상태를 이룰 때 물체의 거동을 다룬다. 교수님들이 말을 어렵게 해서 그렇지 쉽게 말해 물체에 작용하는 합력이 0일 때만 신경 쓰겠다는 뜻이다. 즉, 고체역학에서는 물체에 작용하는 외력의 합이 항상 0이다. 이것이 힘과 모멘트의 평형(force and moment equilibrium)을 말하는 것이고 이 조건을 이용하면 알려진 힘을 이용해 미지의 힘, 예를 들면 반력을 계산해 낼 수 있게 된다.
변형체의 평형에서는 다음 두 가지 가정을 한다. 고체역학의 기본 가정이라고 할 수 있다.
- Small deformation: 변형이 아주 작다고 가정한다.
- Equlibirium like rigid body: 평형은 강체의 경우와 동일하게 다룬다.
2. 평형 방정식
2.1. 동적 평형 (Dynamic Equilibrium)
고체역학에서는 다루지 않지만 간단하게 짚고 넘어가자. 동적 평형은 뉴턴의 제2법칙의 일반형이다.
\begin{align} &\sum{\textbf{F}} = m\textbf{a} \\\\ &\sum{\textbf{M}} = I\boldsymbol{\alpha} \end{align}
\begin{align} m&: \text{ body mass} \\\\ I&: \text{ mass moment of inertia} \\\\ \boldsymbol{a}&:\text{ acceleration} \\\\ \boldsymbol{\alpha}&:\text{ angular acceleration} \end{align}
2.2. 정적 평형 (Static Equlibrium)
고체역학에서 다루는 평형이다. 가속도가 0이므로 동적 평형 방정식에서 우변이 0이 되는 것 뿐이다.
$$ \boldsymbol{a} =0,\ \boldsymbol{\alpha} = 0:\text{ static condition} \\\\ \text{then, } \sum{\textbf{F}} = 0,\ \sum{\textbf{M}} = 0 $$
평형 방정식을 자주 사용하는 스칼라 형태로 표현해보면 아래와 같다.
\begin{align} \sum{\boldsymbol{F}} &= \sum{F_x\boldsymbol{i} + F_y\boldsymbol{j} + F_z\boldsymbol{k}} \\\\ &= \sum{F_x}\boldsymbol{i} + \sum{F_y}\boldsymbol{j} + \sum{F_z}\boldsymbol{k} \end{align}
\begin{align} \sum{\boldsymbol{M}} &= \sum{M_x\boldsymbol{i} + M_y\boldsymbol{j} + M_z\boldsymbol{k}} \\\\ &= \sum{M_x}\boldsymbol{i} + \sum{M_y}\boldsymbol{j} + \sum{M_z}\boldsymbol{k} \end{align}
따라서 평형 방정식은 아래와 같다.
$$ \sum{F_x} = 0,\quad \sum{F_y} = 0,\quad \sum{F_z} = 0 $$
$$ \sum{M_x} = 0,\quad \sum{M_y} = 0,\quad \sum{M_z} = 0 $$
2.3. 2차원 문제
2차원에서의 평형 방정식은 아래처럼 세가지 조건만 따지면 된다.
$$ \sum{F_x} = 0,\quad \sum{F_y} = 0,\quad \sum{M_z} = 0 $$
3. 용어 (Terminology)
- 정정 문제(static determinate problems): 평형 방정식의 수와 미지 반력의 수가 일치하는 문제
- 부정정 문제(static indeterminate problems): 미지 반력의 수가 평형 방정식의 수보다 많은 문제
- 공점력(concurrent force): 힘의 작용선들이 한 점에서 만나는 힘
- 공면력(coplanar force): 힘의 작용선들이 동일 평면상에 존재하는 힘
4. 반력 (Reaction)
반력은 지지점(support)에서 하중(load)과 평형을 이루기 위해 발생하는 힘이다. 지지의 종류에 따라 적절한 반력을 가정해야 평형 방정식의 수와 반력의 수를 일치시켜 풀 수 있는 정정 문제를 만들 수 있다. 보통 하중은 알고 있고 반력이 평형 방정식의 미지수가 되기 때문이다.
반력은 지지점에서 구속된 자유도에서 나타난다. 예를 들어 $x$방향 변위를 구속하면 $x$방향으로 반력이 나타나게 된다. 해석을 위해 구속된 자유도에 반력을 가정할 때 방향 설정은 무원칙이다. 계산 결과가 양수(+)가 나오면 가정한 반력의 방향과 반력의 방향이 '일치'하는 것이고 음수(-)가 나오면 불일치하는 것이다. 즉 반력의 방향이 처음 가정한 방향의 반대 방향인 것이다.
4.1. 고정 지지 (Fixed Support)
고정 지지는 완전히 박아버린 것이다. 따라서 모든 방향의 변위와 회전이 구속된다. 용접과 같은 조건에 사용한다. 따라서 반력은 모든 방향에서 나타난다. 2차원 문제에서 고정 지지의 자유도 구속 조건(constraitns)은 아래와 같다.
$$ u_x =0,\quad u_y=0,\quad \theta_z=0 $$
4.2. 핀 지지 (Pin Support)
핀 구속은 모든 방향의 변위를 구속하지만 회전은 자유롭다. 리벳과 같은 조건에 사용한다. 2차원 문제에서 핀 지지의 자유도 구속 조건은 아래와 같다.
$$ u_x =0,\quad u_y=0 $$
4.3. 롤러 지지 (Roller Support)
롤러 구속은 한 방향의 변위만 구속하고 회전은 자유롭다. 말 그대로 롤러나 그냥 얹혀 있는 조건에 사용한다. 2차원 문제에서 롤러 지지의 자유도 구속 조건은 아래와 같다.
$$ u_y = 0 $$
4.4. 안내롤러 지지 (Guided Roller Support)
안내롤러 구속은 한 방향의 변위와, 한 방향의 회전을 구속한다. 안내롤러는 평면에 달린 레일을 타고 왕복 운동을 하는 조건이다. 모델을 간략화하기 위해 대칭 조건을 부여할 때 사용한다. 2차원 문제에서 안내롤러 지지의 자유도 구속 조건은 아래와 같다.
$$ u_x = 0,\quad \theta_z = 0 $$
4.5. 트러스(Truss)에서 반력 가정 방법
트러스는 얇은 봉재(bar)이기 때문에 굽힘에 저항하지 못한다고 본다. 따라서 트러스는 기본적으로 핀 지지를 한다. 이 핀 지지점에 몇 개의 트러스가 연결되느냐에 따라서 반력을 가정하는 방법을 달리한다.
(1) Pin support에 하나의 bar가 연결된 경우
Bar는 축부재(axial member)이기 때문에 축방향으로 반력을 가정한다. 반력을 축별로 나눠 봐야 의미가 없고 미지수만 많아지기 때문이다.
(2) Pin support에 두 개 이상의 bar가 연결된 경우
두 개 이상의 bar가 연결된 경우에는 좌표축의 방향대로 반력을 가정한다. 부재의 축방향으로 반력을 가정하면 부재의 각도에 따라 매번 계산을 해야 하고 부재가 많아질수록 가정한 반력의 개수가 많아져 미지수만 많아지기 때문이다.
4.6. 반력을 구하는 방법
반력은 평형 방정식을 이용해 구할 수 있다. 2차원 문제에서 평형 방정식은 아래 세 개의 식을 이용하는 것이다.
$$ \sum{F_x} = 0,\quad \sum{F_y} = 0,\quad \sum{M_z} = 0 $$
이때 모멘트 평형은 기준점을 달리하며 몇 개를 만들어도 좋다. 기준점에 작용하는 힘(하중과 반력 모두)은 거리가 0이므로 기준점에 대한 모멘트가 0이 되어 모두 사라진다. 따라서 미지수가 많은 점을 기준점으로 잡고 모멘트 평형식을 세우면 계산량이 줄게 된다.
4.6.1. 트러스 (Truss)
아래 그림 7에 있는 삼각형 트러스의 예를 보자. A점은 핀 지지되어 있고 B점은 롤러 지지 되어 있다. 그림 7의 지지점에 반력을 표시했다.
그림 7에 표현된 외력의 평형을 구해보자. 아래와 같이 평형 방정식을 쓸 수 있다.
\begin{align} \sum{F_x} &= A_x + P = 0 \\\\ \sum{F_y} &= A_y + B_y = 0 \\\\ \sum{M_z|_A} &= B_yL - P\left(\frac{L}{2}\tan{\theta}\right) = 0 \end{align}
$A_x$는 $F_x$의 평형으로 바로 구할 수 있고 $B_y$는 모멘트 평형으로 구할 수 있다. $A_y$는 $F_y$의 평형에 의해 $B_y$와 크기는 같고 방향은 반대가 된다.
4.6.2. 외팔보 (Cantilever)
아래 그림 8과 같은 외팔보를 생각해보자. 점 A에서 고정 지지이고 반력을 바로 표시했다.
그림 8에 표현된 외력에 대해 평형 방정식을 세워보면 아래와 같다.
\begin{align} \sum{F_x} &= A_x - P\cos{\theta} = 0 \\\\ \sum{F_y} &= A_y - P\sin{\theta} = 0 \\\\ \sum{M_z|_A} &= -(P\sin{\theta})L + M_A = 0 \end{align}
각 식으로 $A_x, A_y, M_A$를 구할 수 있다.
4.6.3. 지브 크레인 (Jib Crane)
아래 그림 9와 같이 트러스로 이루어진 크레인을 생각해보자. 트러스 부재는 bar이므로 축부재이고 핀 연결을 한다.
모두 핀 연결이므로 반력 모멘트 없이 반력만 나타난다. 지지점에 트러스가 하나씩만 연결되어 있으므로 반력은 축부재의 축방향으로 가정했다.
\begin{align} \sum{F_x} &= A_x - R_B\cos{\theta} = 0 \\\\ \sum{F_y} &= R_B\sin{\theta} - P = 0 \\\\ \sum{M_z|_B} &= A_xL - \frac{PL}{\tan{\theta}} = 0 \end{align}
평형 방정식의 수는 세 개이지만 미지수는 두 개다. 이런 시스템을 과결정 시스템(overdetermined system)이라고 한다. 이 경우는 힘 평형식을 쿵짝쿵짝하면 모멘트 평형식이 만들어지므로 서로 종속이 되어 아무거나 써서 반력을 구해도 된다.
5. 분포 하중의 처리 방법
5.1. 등가 집중 하중 (Equivalent Concentrated Load)
분포 하중이 있을 경우 평형 방정식을 만들기가 곤란해진다. 이럴 때는 분포 하중을 등가 집중 하중(equivalent concentrated load)으로 바꾸어 취급한다. 등가 집중 하중은 분포 하중의 총합이 도심(centroid) 위치에 작용한다고 생각하는 것이다.
등가 집중 하중의 크기는 아래와 같다. $q(x)$는 횡분포하중 밀도(laterally distributed load intensity)로 '단위 길이당 힘(force per unit length)'을 단위로 갖는다.
$$ P_{eq} = \int_{x_1}^{x_2} {q(x)}dx $$
등가 집중 하중의 작용점의 위치는 분포 하중의 도심으로 아래와 같이 구한다.
\begin{align} P_{eq}\bar{x} &= \int_{x_1}^{x_2}{q(x)}dx \cdot \bar{x} \\\\ &= \int_{x_1}^{x_2} {xq(x)}dx \end{align}
따라서,
$$ \bar{x} = \frac{1}{P_{eq}}\int_{x_1}^{x_2} {xq(x)} dx $$
5.2. 등분포 하중 예제
다음 그림 11과 같이 단순보(simple beam)에 등분포 하중 $q(x)=q_0$가 작용할 때 등가 집중 하중과 작용점의 위치를 구해보자.
등가 집중 하중은 아래와 같이 구한다.
\begin{align} P_{eq} &= \int_{x_1}^{x_2}{xq(x)}dx \\\\ &= \int_{L_1}^{L_1+a} {xq_0} dx \\\\ &= q_0\left[x\right]_{L_1}^{L_1+a} = q_0a \end{align}
작용점의 위치는 아래와 같이 구한다. 등분포라 도심이 중앙이지만 적분으로 한 번 구해 봤다.
\begin{align} \bar{x} & = \frac{1}{P_{eq}} \int_{x_1}^{x_2} {xq(x)} dx \\\\ &= \frac{1}{P_{eq}}\int_{L_1}^{L_1+a} {xq_0} dx \\\\ &= \frac{1}{P_{eq}}q_0\left[\frac{x^2}{2}\right]_{L_1}^{L_1+a} \\\\ &= \frac{q_0}{2P_{eq}}\left[\left(L_1+a\right)^2 - L_1^2\right] \\\\ &= L_1 + \frac{a}{2} \end{align}
반력을 구하기 위해 평형 방정식을 세운다.
\begin{align} \sum{F_x} &= A_x = 0 \\\\ \sum{F_y} &= A_y + B_y + P_{eq} = 0 \\\\ \sum{M_z|_A} &= -P_{eq}\bar{x} + B_yL = 0 \end{align}
따라서 반력은 다음과 같이 정리된다.
$$ A_x = 0,\quad A_y = P_{eq}\left(1 - \frac{\bar{x}}{L}\right),\quad B_y = \frac{P_{eq}\bar{x}}{L} $$
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